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Kapitel 11 Heteroskedastizität

Kapitel 11 Heteroskedastizität. Der Sachverhalt. Modell y = X b + u , Ordnung von X : n x k Annahme A6: Var{u} = s 2 I Annahme 6 impliziert konstante Varianz der Störgrößen (Homoskedastizität): Var{ u t } = s 2 , t = 1,…, n

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Kapitel 11 Heteroskedastizität

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  1. Kapitel 11Heteroskedastizität

  2. Der Sachverhalt Modell y = Xb + u,Ordnung von X: nxk Annahme A6: Var{u} = s2I Annahme 6 impliziert konstante Varianz der Störgrößen (Homoskedastizität): Var{ut} = s2, t = 1,…,n In der Realität trifft diese Annahme nicht immer zu; man spricht dann von Heteroskedastizität; Var{u} = diag(s12, …, sn2) = s2W= s2 diag(w1, …, wn) Fragestellungen: • Konsequenzen von Heteroskedastizität • Möglichkeiten zum Identifizieren von Heteroskedastizität • Alternative Verfahren, die bei Heteroskedastizität verwendet werden können Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  3. Ein Beispiel 70 Haushalte (HH): Monatliches HH-Einkommen und Ausgaben für Güter des dauerhaften Konsums Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  4. Ein Beispiel, Forts. Residuen e = y- ŷ aus Ŷ = 44.18 + 0.17 X X: Monatliches HH-Einkommen Y: Ausgaben für Güter des dauerhaften Konsums Je größer das Einkommen, umso mehr streuen die Residuen! Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  5. Typische Situationen für Heteroskedastizität Heteroskedastizität tritt typischerweise auf bei • Querschnittserhebungen, etwa von Haushaltsdaten (siehe obiges Beispiel) oder in verschiedenen Regionen • Modell mit stochastischen Regressionskoeffizienten • Daten sind mit einem Messfehler behaftet, wobei der Messfehler einen Trend aufweist • Daten aus dem Bereich der Finanzmärkte wie Wechselkurse oder Renditen von Wertpapieren Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  6. Beispiel: Stochastische Regressionskoeffizienten Im Modell Yt = a + btXt + ut gelte bt =b + et et ist eine für alle t identisch und unabhängig verteilte Variable mit Varianz se2 Das Modell kann geschrieben werden als Yt = a + bXt + vt mit Störgrößen vt = ut + Xtet Achtung! Die Varianz der vt ergibt sich zu Var{vt} = su2 + Xt2se2 und ist nicht konstant Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  7. Beispiel: Modetrend im Konsum Bereitschaft, einen Modetrend mitzumachen, hängt vom Einkommen ab: Konsum folgt Modetrends eher in Haushalten mit hohen Einkommen Konsumfunktion enthält keinen Regressor, der diese Bereitschaft repräsentiert: Daher steckt diese Information in der Störgröße Da die Bereitschaft zum Mitmachen mit dem Regressor Einkommen hoch korreliert, müssen wir mit Heteroskedastizität rechnen: Bei kleinen Einkommen allgemein geringe Bereitschaft; bei hohen Einkommen streut Bereitschaft stärker Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  8. OLS-Schätzer b • Für b = (X‘X)-1 X‘y = b + (X‘X)-1 X‘u ergibt sich mit E{u} = 0, dass b erwartungstreu ist • Mit Var{u} = s2 W = s2 diag(w1, … , wn) findet man Var{b} = s2 (X'X)-1 X'WX (X'X)-1 b ist nicht effizient (nach Gauss-Markov ist Var{b} = s2(X'X)-1 die minimale Varianz von b) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  9. Konsequenzen von Heteroskedastizität • Die OLS-Schätzer b für b • sind erwartungstreu • sind konsistent • haben die Kovarianzmatrix Var{b} = s2 (X'X)-1 X'WX (X'X)-1 • sind keine effizienten Schätzer • sind unter allgemein erfüllten Bedingungen asymptotisch normalverteilt • Der Schätzer s2 = e'e/(n-k) der Varianz der Störgrößen s2 ist verzerrt (e: Vektor der OLS-Residuen) • Aus s2(X'X)-1 bestimmte Standardfehler sind verzerrt • Achtung! Richtung der Verzerrung kann nicht angegeben werden! • Achtung! t- und F-Test liefern irreführende Ergebnisse Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  10. Tests auf Heteroskedastizität Residuen sollten wegen Unverzerrtheit von b die Heteroskedastizität anzeigen Tests auf Basis der Residuen • Goldfeld-Quandt-Test • Glejser-Test • Breusch-Pagan-Test • White-Test Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  11. Goldfeld-Quandt-Test Nullhypothese: Homoskedastizität Alternative: Zwei Regime mit s12 und s22 als Varianz der Störgrößen; Zugehörigkeit zu Regimen wird durch Variable Z angezeigt Beispiel: y1 = X1b1 + u1, Var{u1} = s12In1 (Regime 1) y2 = X2b2 + u2, Var{u2} = s22In2 (Regime 2) Nullhypothese: s12 = s22 F-Test: Si: Summe der quadrierten Residuen für i-tes Regime Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  12. Goldfeld-Quandt-Test, Forts. Das Testverfahren läuft in folgenden Schritten ab: • Sortieren der Beobachtungen nach steigenden Werten von Z • Entfernen von 2c Beobachtungen in der Mitte der sortierten Beobachtungen • Getrennte OLS-Anpassung an die ersten n1 und die letzten n2 Beobachtungen [typischerweise n1 = n2 = (n-c)/2] und Bestimmung der OLS-Schätzer bi und der Summen der quadrierten Residuen Si (i = 1,2) • Berechnen der Teststatistik F; sie ist unter H0 exakt oder näherungsweise F-verteilt mit n2-c-k und n1-c-k Freiheitsgraden Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  13. Konsumfunktion, Forts. • Test, ob zwei Regime: (1) X<4000 und (2) X>4000; Modelle: • A: gemeinsam (n = 70): Ŷ = 44.18 + 0.17 X, S = 2,094.511, s = 175.5 • B(1): X < 4000 (n1 = 48): Ŷ = 119.71 + 0.13 X, S1 = 627.648, s1 = 117 • B(2): X > 4000 (n2 = 22): Ŷ = -155.34 + 0.20 X, S2 = 1,331.777, s2 = 258 • F-Teststatistik: • p-Wert: 0.000004; Nullhypothese kann nicht gehalten werden • Achtung! Ursache für Ablehnung kann sein: s12 ≠ s12; aber auch b1 ≠b2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  14. Glejser-Test Modell für Heteroskedastizität mit p-Vektoren zt und d, Interzept d1, p-1 Variablen Z2, …, Zp zu prüfende Nullhypothese: H0: d2 = … = dp = 0 also st2 = f(d1) für alle t, d.h. Homoskedastizität Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  15. Konsumfunktion, Forts. • Glejser-Test, ob st2 = d1 + Xtd2 • Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X • Anpassen der Residuen: e2 = -6385 + 10.9 X • t-Test: t = 4.3, p-Wert: 0.0001 • Nullhypothese kann nicht gehalten werden Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  16. Glejser-Test, Forts. Der Test läuft in den folgenden Schritten ab: • Ermitteln der OLS-Residuen et durch OLS-Anpassung des zu prüfenden Modells • Regression einer dem funktionalen Zusammenhang f entsprechenden Funktion der Residuen auf die Variablen Z2, …, Zp • Test der Nullhypothese: d2 = … = dp = 0 mittels Wald-Test bzw. t-Test (wenn p = 2) Funktionaler Zusammenhang f und Residuen-Modell • Regression von et2 auf (zt' d) zum Test von st2 = s2 (zt' d) • Regression von log et2 auf (zt' d) für st2 = s2 exp{zt' d} Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  17. Breusch-Pagan-Test Modell für Heteroskedastizität mit p-Vektoren zt und d, Interzept d1, p-1 Variablen Z2, …, Zp zu prüfende Nullhypothese: H0: d2 = … = dp = 0 also st2 = f(d1) für alle t, d.h. Homoskedastizität Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  18. Breusch-Pagan-Test, Forts. Der Test läuft in den folgenden Schritten ab: • Ermitteln der OLS-Residuen et durch Anpassen des zu prüfenden Modells • Berechnung des Schätzers se2 = e'e/n und Transformation der quadrierten Residuen et2 in die Größen gt = et2/ se2 • Regression der gt auf die Variablen Z2, …, Zp • Berechnen der Lagrange-Multiplier Teststatistik LM(H) = 1/2 [g'Z(Z'Z)-1Z'g], die unter H0 asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung mit p-1 Freiheitsgraden folgt Berechnung von LM(H) = nRg2 mit dem Bestimmtheitsmaß Rg2 der Regression der transformierten Residuen gt auf die Variablen Z2, …, Zp Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  19. Konsumfunktion, Forts. • Breusch-Pagan-Test, ob st2 = d1 + Xtd2 • Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X • Berechnen von gt = et2/ se2 • Anpassen der transf. Residuen: g = -0.213 + 0.0004 X • Rg2= 0.2143, LM(H) = 70 (0.2143) = 15.0, p-Wert: 0.0001 • Die Nullhypothese kann nicht gehalten werden Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  20. White-Test Test der Nullhypothese: H0: st2 = s2 für alle t gegen die unspezifizierte Alternative, H0 sei unrichtig Test vergleicht die Kovarianzmatrix (X'X)-1 X'WX (X'X)-1 und ihr Pendant bei Homoskedastizität, (X'X)-1 Teststatistik: n-faches Bestimmtheitsmaß Re2 der Hilfsregression der quadrierten Residuen et2 auf die Regressoren des Modells, ihre Quadrate und gegebenenfalls auch auf ihre Produkte W = nRe2 W folgt asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung; Zahl der Freiheitsgrade ist gleich der Anzahl der geschätzten Koeffizienten weniger Eins Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  21. Konsumfunktion, Forts. • White-Test, ob st2 = s2 für alle t • Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X • Anpassen der Residuen: e2 = -18185 + 18.4 X – 0.0008 X2 • Re2= 0.226, W = 70 (0.226) = 15.82, p-Wert: 0.0004 • Die Nullhypothese kann nicht gehalten werden Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  22. Inferenz bei Heteroskedastizität • Kovarianzmatrix von b: • Var{b} = s2 (X'X)-1 X'WX (X'X)-1 Verwendung von (X'X)-1 führt zu verfälschten Ergebnissen Vermeidung von Fehlern durch • Verwendung der korrekten Varianzen • Transformation des Modells so, dass die Störgrößen homoskedast sind Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  23. Schätzen von Var{b} Nach White: heteroskedasticity consistent Kovarianzmatrix statt Var{b} = s2 (X'X)-1 X'WX (X'X)-1 Daraus erhält man die „White-Standardfehler“ für die bi Achtung: Simulationen zeigen, dass die White-Standardfehler die tatsächlichen Standardfehler unterschätzen! EViews verwendet White-Standardfehler als Option der OLS-Schätzung Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  24. Konsumfunktion, Forts. • Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X • Der Standardfehler des Koeffizienten von X beträgt 0.0091 • Der White-Standardfehler beträgt 0.0120 • Der nicht korrigierte Standardfehler unterschätzt um mehr als 30% Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  25. Variablen-Transformation Bei bekannter funktionaler Form der Abhängigkeit der st2: Transformation so, dass die Störgrößen des transformierten Modells homoskedast sind Beispiel: • Modell Yt = a + bXt + ut hat heteroskedaste Störgrößen: st2 = dZt2 für t = 1, …, n; oder Var{u} = s2W = s2 diag(Z12, …, Zn2) • Mit vt = ut/Zt ergibt sich Var{vt} = Var{ut}/Zt2 = s2 • Transformiertes Modell erfüllt Annahme 6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  26. Gewichtete LS-Schätzer Minimieren der Summe der Abweichungsquadrate für transformiertes und nicht-transformiertes sind verschieden! Beispiel: Modell Yt = a + bXt + ut mit Var{ut} = st2 = dZt2 • Beim nicht-transformierten Modell wird minimiert: St (Yt – a – bXt)2 • Beim transformierten Modell wird minimiert: Stwt (Yt – a – bXt)2 mit Gewichten wt = Zt-2 Achtung! wt = wt-1/2 mit wt aus W; Var{u} = s2W = s2 diag(Z12, …, Zn2) Diese Gewichtete LS-Schätzung ist ein Fall der GLS-Schätzung (generalized LS-Schätzung) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  27. Konsumfunktion, Forts. Transformation von Yt = a + b Xt + ut durch Division durch √Xt Entspricht den Gewichten wt = Xt-1/2 Die angepasste Funktion ist • Achtung! R2 der Schätzungen mit und ohne Gewichtung sind nicht vergleichbar! • EViews erlaubt gewichtete LS-Schätzung als Option der Modellanpassung Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  28. GLS-Schätzer Transformation von Yt = xt‘b + ut mit Var{ut} = st2 durch Dividieren durch st ergibt das Modell Yt/st = Yt*= xt/stb + ut/st = xt/stb + vt mit Var{vt} = 1 Die Annahme 6 der Homoskedastizität ist für das Modell in transformierten Variablen erfüllt, die OLS-Schätzer sind beste Schätzer. Das Schätzen der Parameter des Modells in transformierten Variablen entspricht der gewichteten OLS- oder GLS-Schätzung. Achtung! In den meisten Fällen sind die st2 nicht bekannt! Hackl, Einführung in die Ökonometrie

  29. FGLS-Schätzer Bei unbekannten Parametern in den Gewichten st: 2-stufiges Verfahren • Anpassen des Modells ohne Gewichtung und Schätzen der Varianzen st2 (Regression von et2) • Transformation der Variablen: Division durch geschätzte st • Anpassen des Modells in transformierten Variablen Man spricht von einem FGLS-Schätzer (feasible GLS-Schätzer), auch vom „anwendbaren“ oder „geschätzten GLS-Schätzer“ Hackl, Einführung in die Ökonometrie

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