havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 3

1. havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 3

2. Een experiment twee of meer keer uitvoeren • De productregel gebruik je ook als je hetzelfde experiment • 2 of meer keren uitvoert. • De productregel • Voor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de • gebeurtenis G2 bij het andere experiment geldt : • P(G1 en G2) = P(G1) ·P(G2) 3.1

3. Experimenten herhalen totdat succes optreedt • In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de • vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. • Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt. 3.1

4. Trekken met en zonder terugleggen 3.2

5. voorbeeld • In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn. • P(rr) = • P(rode en witte) = 2 · P(rw) = De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn. Er zijn 50 – p witte knikkers 3.2

6. Kleine steekproef uit grote populatie • Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je • trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 3.2

7. Toevalsvariabelen • Bij het kansexperiment uit opgave 32 wordt aselect (= willekeurig) • een leerling uit de klas gekozen. • X = de leeftijd van de leerling. • Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een toevalsvariabele. • complementregel P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0) • somregel  P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) 3.3

8. Kansverdelingen • De kansverdeling van X is een tabel waarin bij elke waarde • van X de bijbehorende kans is vermeld. kanshistogram De som van de kansen in een kansverdeling is altijd 1. Uniform verdeelde toevalsvariabele kansverdeling waarin alle kansen gelijk zijn. 3.3

9. Onafhankelijke toevalsvariabelen • De toevalsvariabelen X en Y zijn onafhankelijk als voor elke mogelijke x en y geldt : • P(X = x onder de voorwaarde Y = y) = P(X = x) 3.3

10. De verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X • Stel de verwachtingswaarde van X op. • Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. • Tel de uitkomsten op. • De som is E(X). • Dus E(X) = x1· P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + … + xn · P(X = xn). 3.3

11. Succes en mislukking De complement-gebeurtenis van succes. Een Bernoulli-experiment is een kansexperiment waarbij je alleen op de gebeurtenissen succes en mislukking let. De kans op succes wordt aangegeven met p. De kans op mislukkig is dan 1 - p. 3.4

12. Het binomiale kansexperiment • Een binomiaal kansexperiment is een kansexperiment dat bestaat uit • n gelijke Bernoulli-experimenten. • Hierbij hoort de toevalsvariabele X = het aantal keer succes. • Bij een binomiaal kansexperiment is : • n het aantal keer dat het Bernoulli-experiment wordt uitgevoerd • p de kans op succes per keer • X het aantal keer succes • De kans op k keer succes is gelijk aan • P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k. n k 3.4

13. De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k) 3.4

14. 3.4

15. Werkschema: binomiale kansen berekenen • Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X • Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. • Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7) 3.4

16. Berekenen van n 3.4

17. De standaardafwijking • Deviatie d = x – x ( de afwijking van het gemiddelde ) • Standaardafwijkingσ = √gemiddelde van (x – x)2 • Het berekenen van σ doe je met (TI) 1-Var Stats L1,L2 σx of (Casio) 1VAR xσn 3.5

18. De standaardafwijking 3.5

19. De somregel voor de verwachtingswaarde • Voor de toevalsvariabelen X en Y geldt : • E(X + Y) = E(X) + E(Y) 3.5

20. De somregel voor de standaardafwijking • Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt • de somregel voor de standaardafwijking • σx+ y = √σ2x + σ2y • VAR(X) = σ2x(de variantie van X) • σ2x+ y = σ2x + σ2y • dus • VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y) 3.5

21. De standaardafwijking van een binomiale toevalsvariabele • Bij de binomiale toevalsvariabele X met parameters n en p is • de verwachtingswaarde E(X) = np • de standaardafwijking σX=√np(1– p) 3.5