SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES Tema 6 * 3º ESO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Tema 6.3 * 3º ESO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Sistemas equivalentes • SISTEMAS EQUIVALENTES • Dos sistemas son equivalentes cuando tienen la misma solución. • El sistema x + y = 2 es equivalente a x = 2 - y • 2.x – 2.y = 4 x – y = 2 • Al aplicar en una ecuación la Regla de la suma o la regla del producto, estamos haciendo ecuaciones equivalentes a las dadas. • Si eso lo hacemos en las dos ecuaciones de un sistema, lo que hacemos es hallar sistemas equivalentes. • El sistema x + y = 2 es equivalente a 2.x + 2.y = 4 • x – y = 0 x – y + 2 = 2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Método de Sustitución • PASOS • 1.- Despejamos una incógnita cualquiera (x o y) de una ecuación cualquiera (1). Normalmente la más fácil de despejar. • 2.- Sustituimos la expresión resultante del paso anterior por la incógnita de la otra ecuación (2), con lo que resulta una ecuación con una incógnita. • 3.- Resolvemos la ecuación. • 4.- Sustituimos el valor obtenido en la expresión donde se encuentre la otra incógnita (Paso 2) y calculamos su valor. • 5.- Comprobamos la solución obtenida. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Método de Sustitución • Si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de la otra ecuación, resulta otro sistema equivalente. • Ejemplo_1 • Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) • 3.x - y = 2 (2) • De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : • x = 4 – 3.y • Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : • 3.(4 – 3.y) – y = 2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Operando … • 12 – 9.y – y = 2 • 12 – 2 = 9.y + y • 10 = 10.y • y = 1 • Llevando ese valor a la ecuación (1), tenemos … • x = 4 – 3.y = 4 – 3.1 = 4 – 3 = 1 • O sea x = 1 • La solución del sistema es x = 1, y = 1  P(1, 1) • No son dos soluciones, sino una única solución. • Podemos comprobar que cumplen las dos ecuaciones: • x + 3.y = 4 (1) • 3.x - y = 2 (2) Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Ejemplo_2 • Sea el sistema: 2x + 3y = 12 (1) • 3x - 4y = 1 (2) • De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : • 2.x = 12 – 3.y  x = (12 – 3.y ) / 2  • x = 12 / 2 – 3.y / 2  x = 6 – 1,5 y • Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : • 3.(6 – 1,5y) – 4y = 1 • Operando … • 18 – 4,5.y – 4.y = 1  18 – 1 = 4,5.y + 4.y •  17 = 8,5 .y  y = 17 / 8,5  • y = 2 • Ya tenemos la mitad de la solución del sistema, el valor de y. • Ahora hay que hallar el valor de x. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Llevando ese valor a la ecuación ( 1 ), tenemos … • x = 6 – 1,5.y  x = 6 – 1,5.2  x = 6 – 3 = 3 • x = 3 • La solución del sistema es: x = 3, y = 2  P(3 , 2) • Comprobación: 2.3 + 3.2 = 12  12 = 12 • 3.3 – 4.2 = 1  1 = 1 • Ejemplo_3 • Sea el sistema: x + 3.y = - 8 (1) • 3.x – 4.y = 15 (2) • De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : • x = – 8 – 3y • Y se sustituye su expresión en la ecuación (2) : • 3 (– 8 – 3y) – 4y = 15 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Operando … • - 24 – 9.y – 4.y = 15  - 24 – 15 = 9.y + 4.y  • - 39 = 13.y  y = - 39 / 13 • y = - 3 • Ya tenemos la mitad de la solución del sistema, el valor de y. • Ahora hay que hallar el valor de x. • Llevando ese valor a la ecuación (1), tenemos … • x = - 8 – 3.y  x = - 8 – 3. (- 3)  x = - 8 + 9 = 1 • x = 1 • La solución del sistema es: • x = 1 , y = - 3  P(1 , – 3) • Comprobación: 1+ 3.(-3) = - 8  - 8 = - 8 • 3.1 – 4.(-3) = 15  15 = 15 • La comprobación siempre es muy importante por si nos hemos equivocado en el proceso o al operar. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Ejemplo_4 • Sea el sistema: x + y = 2 (1) • x – y = 0 (2) • Ya hemos visto al comienzo del tema que la solución es el par (1 , 1). • Veamos si nos da esa solución: • De la ecuación (1) se despeja la incógnita “x” : • x = 2 – y • Y se sustituye su expresión en la otra ecuación: • (2 – y)+ y = 2 • Operando … • 2 – y + y = 2  2 = 2 • La ecuación siempre se cumple, valga lo que valga y. • Luego la ecuación es indeterminada: y = infinitas soluciones. • Como x = 2 – y , x también tendrá infinitas soluciones. • ¿Dónde está el fallo, puesto que debía darnos x=1 e y=1 ?. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

SISTEMAS DE ECUACIONES