1 / 22

九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 )

退出. 九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 ). 3.2 特殊的平行四边形 (2) 菱形 , 正方形的性质及判定. 有一个角 是直角. 有一个角 是直角. 矩形. 平行四边形. 有一组 邻边相等. 有一组 邻边相等. 两组对边分别平行. 菱形. 四边形. 等腰梯形. 一组对边平行另一组对边不平行. 正方形. 梯形. 直角梯形. 两腰相等. 腰与底垂直. 四边形之间的关系. 四边形之间有何关系？. 特殊的平行四边形之间呢？. 还记得它们与平行四边形的关系吗 ?. 能用一张图来表示它们之间的关系吗 ?. A. A.

latoya
Télécharger la présentation

九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 )

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 退出

  2. 九年级数学(上)第三章 证明(三) 3.2 特殊的平行四边形(2) 菱形,正方形的性质及判定

  3. 有一个角 是直角 有一个角 是直角 矩形 平行四边形 有一组 邻边相等 有一组 邻边相等 两组对边分别平行 菱形 四边形 等腰梯形 一组对边平行另一组对边不平行 正方形 梯形 直角梯形 两腰相等 腰与底垂直 四边形之间的关系 • 四边形之间有何关系？ • 特殊的平行四边形之间呢？ • 还记得它们与平行四边形的关系吗? • 能用一张图来表示它们之间的关系吗?

  4. A A D D B B C C A D 回顾 思考 B C 驶向胜利的彼岸 矩形的性质,推论 • 定理:矩形的四个角都是直角. • ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900. • 定理:矩形的两条对角线相等. • ∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. ∴AC=BD. 推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在△ABC中,∠ACB=900, ∵AD=BD,

  5. A A D D B B C C A D 回顾 思考 B C 驶向胜利的彼岸 矩形的判定,直角三角形的判定 • 定理:有三个角是直角的四边形是矩形. • ∵∠A=∠B=∠C=900, ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:对角线相等的平行四边形是矩形. • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB. ∴四边形ABCD是矩形. • 定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 在△ABC中, ∵AD=BD=CD, ∴ ∠ACB=900.

  6. D 1 我思,我进步 A C B 驶向胜利的彼岸 菱形的性质 • 定理:菱形的四条边都相等. 已知:如图,四边形ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=DA. • 分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC. ∴ AB=BC=CD=AD.

  7. 我思,我进步 2 D O A C B 驶向胜利的彼岸 菱形的性质 • 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. 已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O. 求证: (1).AC⊥BD; (2).AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ADC和∠ABC. • 分析:根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”来证明. 证明:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. ∴AC⊥BD. (2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD; ∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

  8. 例题欣赏 A E B D C 菱形性质的应用 • 已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=900, ∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积

  9. D 1 我思,我进步 A C B 驶向胜利的彼岸 菱形的判定 • 定理:四条边都相等的四边形是菱形. 已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.. 求证:四边形ABCD是菱形. • 分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形.. ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.

  10. 2 我思,我进步 D O A C B 驶向胜利的彼岸 菱形的判定 • 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是菱形. • 分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可. • 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴ DA=DC. ∴四边形ABCD是菱形.

  11. 我思,我进步 1 A D B C 驶向胜利的彼岸 正方形的性质 • 定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. • 已知:四边形ABCD是正方形. • 求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900. • (2)AB=BC=CD=DA. • 分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证. • 证明: ∵四边形ABCD是正方形, ∴四边形ABCD是矩形,也是菱形. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900, AB=BC=CD=DA.

  12. 我思,我进步 2 A D O B C 正方形的性质 • 定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. • 已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线. • 求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO; (2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC. • 分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证. • 证明: ∵四边形ABCD是正方形, ∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形. ∴AO=CO,BO=DO; AC=BD; AC⊥BD; AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

  13. 我思,我进步 1 A D B C 驶向胜利的彼岸 正方形的判定 • 定理:有一个角是直角的菱形是正方形. • 已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. • 求证:四边形ABCD是正方形. • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. • 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900. ∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.

  14. 我思,我进步 2 A D O B C 驶向胜利的彼岸 正方形的判定 • 定理:对角线相等的菱形是正方形. • 已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. • 求证:四边形ABCD是正方形. • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可. • 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.

  15. 我思,我进步 3 A D O B C 正方形的判定 • 定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. • 求证:四边形ABCD是正方形. • 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可. • 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形.

  16. 例题欣赏 如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥AC交AB于M，交CB于的延长线于F， 求证：AB、EF互相平分。 • 思路点拨：连接AF、BE、BD，欲证AB、EF互相平分，只要证四边形AFBE为平行四边形即可，为此，只要证AE=BF即可。 证明：连接AF、BE、BD ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD 又∵EF⊥AC ∴EF//BD ∴ED=AE 又∵ED//FB ∴FB=AE ∴四边形FBDE是平行四边形 又∵FB//AE ∴FD=ED ∴四边形AFBE是平行四边形 又∵E是AD的中点 ∴AB、EF互相平分

  17. D A C D B O A C B 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 菱形的性质 • 定理:菱形的四条边都相等. • ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD. • 定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. • ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

  18. D A C D B O A C B 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 菱形的判定 • 定理:四条边都相等的四边形是菱形. • 在四边形ABCD中, • ∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形. • 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. • ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形.

  19. A A D D O B B C C 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 正方形的性质 • 定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. • ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA. • 定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. • ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

  20. A A D D O B B C C 回顾 思考 驶向胜利的彼岸 正方形的判定 • 定理:有一个角是直角的菱形是正方形. • ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴四边形ABCD是正方形. • 定理:对角线相等的菱形是正方形. • ∵四边形ABCD是菱形,AC=DB. ∴四边形ABCD是正方形. • 定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. • ∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形.

  21. D O A C P A D ◎ ◎ ◎ B 独立 作业 ◎ Q B ◎ C ◎ P90习题3.5 2、3题 2.菱形的面积等于其 对角线乘积的一半. 3、已知，如图,A,B,C,D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库P和Q分别位于AD和DC上,且PD=QC.证明:两条直路BP=AQ,且BP⊥AQ.

  22. 下课了! 再 见 结束寄语 • 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.

More Related