理论力学（三）

1. 理论力学（三） 刚体力学，非线性系统 2011.11

2. 刚体的概念和性质 • 刚体是一种质点系，其中所有质点的相对位置一直保持不变。 • 刚体不发生任何形变。固体的物体受力时，如果形变较小，可以近似地视为刚体。 • 刚体有形状，有大小，有质量分布。我们研究宏观世界的物体运动时，如果物体的大小不能忽略，用质点模型就不够全面，这时可以使用刚体模型。

3. 刚体的自由度 • 在三维空间中运动的刚体，其自由度为6。 • 平动自由度3。决定了刚体上的一点的位置。 • 转动自由度3。其中，2个自由度决定刚体上的某根轴线的方向，剩下的1个自由度决定刚体绕此轴旋转的角度。 • 决定刚体上的一点的坐标需要3个自由度。决定刚体上的另一点又需要2个自由度（3个自由度，减去这两点之间的距离固定的约束条件）。决定第三个点还需要1个自由度（3个自由度，减去它与前这两点之间的距离固定的2个约束条件）。再增加点自由度不增。一共还是6个自由度。

4. 刚体的本体坐标 • 本体坐标系是固定在刚体上的坐标系。它是随刚体一起运动的。刚体上的任意一点在本体坐标系中的坐标值恒定不变。 • 空间坐标是我们所在的实验室惯性系的坐标（可视为“静止”坐标）。 • 要表示一个刚体的状态，首先要用三个空间坐标表示本体坐标系的原点位置，此外还要能表征本体坐标的坐标轴方向。

5. 刚体的运动方式 • 平动。刚体上任何一点都有相同的速度（和加速度）。本体坐标方向保持不变。可以用刚体上的一点的运动表征整个刚体的运动。自由度为3（3个平动自由度）。 • 定轴转动。刚体围绕一个固定的轴作转动。自由度为1。 • 平面运动。刚体每个质点的运动都限制在一个平面内，限制不同质点的平面彼此平行。自由度为3（2个平动自由度，1个转动自由度）。 • 定点转动。刚体转动时，其上某一点固定。（3个转动自由度） • 一般运动。自由度为6（3个平动，3个转动）

6. 欧拉定理 • 定理：具有一个固定点的刚体的任意位移等效于绕该定点的某一轴线的转动。 • 如果能寻找到轴线和旋转的角度，使原始位置的刚体经过一次旋转就能到达指定位置，则欧拉定理即获得证明。 • 实际上，由于原点不动，只需要本体坐标的x轴单位向量和y轴单位向量到达目标位，刚体整个就到达目标位。

7. 欧拉定理的证明 • 确定旋转轴是xx'的垂直平分面与yy'的垂直平分面的交线。轴上任意一点到x和x'等距，同时到y和y'也等距。 • 图中黑的球面三角与红的球面三角全等。因此当x转到x'时，y也同时转到y'。因此，刚体通过一次旋转，到达了指定位置。这样，描述原点固定的刚体的状态就等价于描述一次转动。 第24次课

8. e r o 转动后刚体上某一点的新位置 • 设e为转轴的方向向量。刚体上的任意一点的位置 r在三个方向上分解： • 平行方向： • 垂直方向： • 速度切向： • 在绕 e 轴旋转一定角度q之后，新位置为：

9. 转动的4元数描述 • 也可以用4元数来表示转动。 • 4元数是具有实部及3个虚数单位(i, j, k) 虚部的4元复数，表示为： • 其中虚数自身的乘积都是-1，可代表三维空间的三个相互垂直的方向。不同虚数相互的乘积（这里用 * 表示）满足矢量叉乘的规则：

10. 四元数的运算规则 • 4元数可以进行加减乘运算。由于矢量叉乘规则，因此4元数的乘法也同样不满足交换律。但结合律和分配律都是满足的，可进行一般的代数运算。将4元数q写为纯数n和矢量v两部分，运算结果为：

11. 四元数表示旋转 • 转动可以用一个归一化的4元数来表示。 • 对比可知得到的是角度为2q的旋转。

12. 旋转的复合 • 两次旋转连续进行可以复合为一次 • 连续多次的旋转最后都能用一次旋转替代，这与欧拉定理是一致的。 • 4元数用了4个分量表示一次旋转，而旋转的自由度为3，用矢量部分就能表示。冗余的1个量对应于加入了模为1的归一化条件的约束条件。 • 用4元数表示旋转的方法广泛应用于计算机的3维绘图等方面。

13. 刚体旋转的矩阵表示 • 以z轴为转轴，进行一次转动，转动q之后刚体上任意一点的空间坐标变为 • 变换矩阵为 • 同样我们可以获得绕x轴或绕y轴旋转的变换矩阵。

14. 旋转时坐标的矩阵变换 • 用[e]表示任意矢量e的空间坐标排成的列。 • 本体坐标系从原始位置转动到当前位置，其3个轴的单位基矢量为ex，ey，ez。把3个单位基矢量的空间坐标排为3列，构成矩阵3x3的矩阵R =[ [ex] [ey] [ez] ] 。则矩阵R是旋转的变换矩阵。此矩阵的各列是归一的且彼此正交（单位基矢量性质）。 • 因 RTR=I，故|R|不为0，有逆矩阵存在，右乘R-1得RT=R-1。此矩阵的逆矩阵是自身的转置。 • 刚体上本体坐标为(x,y,z)的任意一点当前空间位置为 [r’] = x[ex] + y[ey] + z[ez] = [R][r] 这给出旋转前后刚体上任一点（在原坐标系中的）坐标的变换。

15. 欧拉定理的矩阵证明 • 由于R是单位基矢量为ex，ey，ez的空间坐标排为3列构成，因此（基矢量下标加0是指旋转前的坐标）： [ ex0，ey0，ez0 ] R = [ ex，ey，ez ] • 这给出了旋转前后单位基矢量的变换。 • 刚体从初始位置，不管经过多少次定点旋转，最终位置与初始位置之间的变换矩阵R可通过单位基矢量的坐标排列得到。若存在转轴X，它在旋转变换R作用下不变，即说明可以通过一次旋转从初始位置转到最终位置。 因初始时的|R|=1，需舍弃负根。 第25次课

16. 欧拉角 • 转动自由度为3，可以用3个角度来表示刚体的转动。首先，沿z轴旋转j角。然后沿x轴旋转q角。最后沿着z轴旋转y角。 • 前两次旋转确定了z轴的指向，如同地球球面上的点用经纬度确定，这两个参量确定了z轴单位向量。

17. 欧拉角旋转的矩阵表示 • 其中，角 j称为进动角，角 q称为章动角，角 j称为自转角。欧拉角经过三次沿坐标轴的转动，转动之后刚体上任意一点的空间坐标变为（e右肩标是欧拉角旋转的顺序） • 或反过来从空间坐标求本体坐标：

18. 欧拉角旋转的矩阵表示 • 因此

19. 有限角旋转的不可交换性 • 旋转的次序是不可交换的，例如同样是做以x为轴转90°，再以y为轴转90°，z轴的方向指向-y，但如果次序相反，则z轴最终指向x，可见结果不同。同样，如果旋转用4元数表示，这意味着4元数相乘不满足交换率。如果旋转用矩阵表示，这等价于矩阵相乘也不满足交换率。 z z y y x x

20. 无穷小角度旋转的可交换性 • 但无限小角度的旋转次序是可交换的。分析一下4元数相乘，不满足交换率的项是叉乘项 • 当转动角是一阶无穷小的2dq时候，q=1+edq，两次连续进行时，叉乘项是二阶小量，可被忽略。 • 因此，无穷小角度旋转是可交换的，且能表示为转轴方向的大小为dq的矢量，并满足合成法则。

21. 旋转的角速度及刚体点速度 • 无限小角度的旋转可以用矢量edq表示，刚体上任意一点的位移为 • 定义转动的角速度矢量为 • 因此，刚体上任意一点的速度为；

22. 欧拉角角速度的矩阵变换 • 无限小角度的旋转可以用矢量表示，因而角速度也是矢量。对于欧拉角随时间变化产生的角速度为：

23. 角速度引起的欧拉角和4元数变化 • 同样，也可以直接计算： • 角速度使得4元数随时间产生变化： • 其中，w0是空间坐标的4元数矢量，而w是本体坐标的角速度4元数矢量。 作业：4.1，4.3，4.4，4.5 第26次课

24. 旋转的角加速度及刚体点加速度 • 旋转的角加速度定义为 • 刚体上任意一点的速度为 • 因此，刚体上任意点的加速度由角加速度和向心（轴）加速度引起。

25. 一般运动时刚体点的速度 • 本体坐标原点O移动时刚体上任意一点P的速度为： • 若以刚体上另一点O'为本体坐标系原点则又有 • 因为P点的任意性，可知 w = w'，即角速度与本体坐标的原点选择无关。

26. 转动瞬心和瞬轴 • 刚体做一般运动时，本体坐标中有一点C的速度为0： • 这一点我们叫它转动瞬心。若以这一点为本体坐标系的原点，刚体在这一瞬间围绕这点做纯转动。这时刚体上的任意一点P的速度为 • 而过C点且沿着 w方向轴线上，各点速度都为0，我们称这个轴线为转动瞬轴。

27. 转动瞬心的寻找 • 转动瞬心可以直接求解： • 利用刚体上任意两点P、Q的速度方向均分别与CP、CQ垂直的性质，可以做垂线获得交点，即为瞬心C点。 • 利用滚动接触点找转动瞬心。当刚体与空间静止的物体接触并在其上做纯滚动时，接触点即为转动瞬心。

28. 空间极迹和本体极迹 • 各个时刻的转动瞬心在空间坐标中留下的轨迹称为空间极迹。极迹，类似南北极点留下的轨迹。 • 由于不同时刻有不同的点成为转动瞬心，转动瞬心在本体坐标系中也留下了轨迹，称为本体极迹。 • 刚体的转动可以看作是本体极迹在空间极迹轨道上做纯滚动的过程。

29. 刚体的动量和角动量 • 将刚体看成质点系，其动量为（带撇为质心系）： • 即刚体的总动量等价于全部质量集中在质心的质点的动量。而刚体的角动量为： • 刚体的角动量等效于质心的质点的角动量，以及围绕质心的角动量 L' 两部分。

30. 刚体的角动量和惯量张量 • 质心系中围绕质心的角动量 L' 可表示为： • 这里定义了惯量张量（其中I是单位张量）： • 惯量张量这里写为并矢形式，它也有矩阵形式。

31. 角动量和惯量张量的矩阵表示 • 角动量 L' 写成矩阵的表达式 • 可知惯量张量的矩阵表达为（离散和连续情况）：

32. 刚体的动能 • 刚体的动能为： • 也可表示为等效质心质点的动能和围绕质心旋转的动能两部分。

33. 惯量张量的一些性质 • 惯量张量是对称的矩阵。 • 在本体坐标系中计算惯量张量，其分量保持不变。 • 惯量张量给出了刚体的力学性质，用于计算角动量和动能十分便利。 • 惯量张量对角项总为正（≥0），称为相应的轴的转动惯量，非对角项称为惯量积，对于对称情况，惯量积为0。 • 由于动能的非负性质，惯量张量也是非负的二次型矩阵。特别地，当惯量张量只有对角项不为0时，3个对角项都必须是非负的。

34. 惯量张量的主轴 • 一般情况下，角动量 L的方向并不与角速度 w方向平行。只在特殊情况下两者平行： • 满足这种条件的轴的方向称为主轴方向，这个条件也等价于求方程的非零解，因此，要求线性方程组的系数行列式为0： • 行列式为0的条件得到了关于 l的一元三次方程，有3个解，都是非负的实数：

35. 惯量张量的本征值和本征向量 • 同时，l也是惯量张量矩阵的本征值，非0解 w 的方向向量即为该本征值对应的本征向量。由于惯量张量是对称的，不同的本征值对应的本征向量彼此垂直： • 相同的本征值时（重根），它们的本征向量的线性组合也是本征向量，可在它们线性组合构成的平面内找到两个相垂直的本征向量。

36. 本征向量坐标系中的惯量张量 • 以3个相互垂直的本征向量方向为轴向建立本体直角坐标系，即本征向量坐标系，此时有 • 同样处理另外两个方向，可得惯量张量为对角阵

37. 本体坐标系的旋转变换 • 一般情况下，本体坐标系并非本征向量坐标系，但可以通过一次旋转，从本征向量坐标系（不带撇）变换到一般的本体坐标系（带撇）。旋转矩阵R为归一化的3个本征列向量并排排列得到。 • 旋转矩阵R满足正交归一的条件，其逆矩阵即为自身的转置。

38. 转动惯量 • 惯量张量的对角项是转动惯量，特别是取本征向量坐标系时，惯量张量只有对角项的转动惯量不为零。当质心不在转轴上时，有平行轴定理 • 均匀对称简单几何体的转动惯量为 • 这里 Lx Ly是物体在x和y方向的尺度。N是与几何体形状有关的正整数（方3，圆4，球5）。

39. 转动惯量的计算 作业：4.2，4.6，4.8，4.9 第27次课

40. 惯量椭球 • 定义任意方向的转动惯量 I使得刚体绕该方向轴线转动时，动能为 • 转动惯量 I与方向有关，当然与角速度大小无关。沿轴线方向截取长度为 的点，当方向变动时，该点的轨迹就是一个椭球面： • 这即为惯量椭球。

41. 惯量椭球的应用 • 利用主轴方向的3个主转动惯量，可方便地构建惯量椭球。 • 对于任意方向，从惯量椭球面到中心的距离 d，可得到转动惯量 I=d-2从而可计算动能T=I w2/2。 • 角动量的方向就是椭球面的法线方向。事实上，沿着椭球面法线方向即为椭球方程左端的梯度方向： • 惯量椭球是较“圆”的椭球，因为每个主转动惯量都不大于其他两个主转动惯量之和（由定义可证），因而椭球的3个轴相差不大。

42. 举例 • 求均质圆锥体的惯量张量，原点在底面圆心。

43. 举例 • 均质立方体顶点位于原点且三个边分别位于三个坐标轴上，边长为a。求惯量张量并做对角化。

44. 欧拉动力学方程 • 牛顿矢量力学对刚体定点旋转问题的处理。在本体坐标系中：

45. 以拉格朗日法求方程 • 拉格朗日方程处理刚体定点旋转问题，结果不变。

46. 拉格朗日法得到欧拉动力学方程 • 由角速度的欧拉角表达式得 • 求 w对 y偏导时，y增加对本体坐标系中的矢量是反向旋转，而求力矩时在空间坐标系中，是正向旋转。 • 依对称性同样可得x和y方向的动力学方程。

47. 四元数的动力矩方程 • 四元数处理刚体定点旋转问题，结果不变。

48. 自由转动的刚体 • 定点转动的刚体不受外力矩（或合外力矩为0），称为自由刚体。由于总力矩为0，因而角动量守恒。又约束转动时没有力矩做功，刚体的动能守恒。当刚体转动时，角动量的本体坐标分量会不断变化，但它的大小不会变化。因此有两个守恒量： • 当然也可以直接积分得到这两个守恒量。力矩方程分别点乘w积分，或者点乘（I1wx，I2wy，I3wz）积分即可。

49. 自由转动的刚体求解 • 从中解出以wz表示的wx，wy： • 可以解析求解，得到关于第一类不完全椭圆积分的特殊函数，由于数学上繁琐就不再详解和讨论。

50. 自由转动刚体的几何图示 • 以本体坐标系中的惯量椭球代表刚体，转动角速度w与惯量椭球交点Q处，有固定的切平面。这是因为切面的法线方向即为守恒的角动量的方向，因此切平面都是彼此平行的；同时，原点O到切平面的距离也固定： • 而Q点也是转动瞬心，因此，转动的空间极迹在此固定平面内，本体极迹在惯量椭球上。惯量椭球在平面上做（原点O固定的）纯滚动。