Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 5 , LO XVIII w Szczecinie • ID grupy: 97/15/mf/g1 • Opiekun: Maja Kotłowska • Kompetencja: Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: Liczby Fibonacciego • Semestr/rok szkolny: V / 2011-2012

3. Leonardo Fibonacci (ur.1175 zm.1250) to włoski matematyk, który żył w latach 1175 – 1250 , Jego ojciec, Guilielmo z rodziny Bonacci, zajmował stanowisko dyplomatyczne w Afryce północnej i Fibonacci tam właśnie się kształcił. Pierwsze lekcje matematyki pobierał od arabskiego nauczyciela w mieście Boużia (dziś algierska Bidżaja). Dużo podróżował najpierw razem z ojcem, później samodzielnie, odwiedzając i kształcąc się w takich miejscach jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. W czasie swych podróży po Europie i po krajach Wschodu miał okazję poznać osiągnięcia matematyków arabskich i hinduskich, między innymi dziesiętny system liczbowy. Leonardo Fibonacci z Pizy

4. Około 1200r. Fibonacci zakończył podróże i powrócił do Pizy. • Napisał szereg rozpraw matematycznych, z których wiele zaginęło. Wśród prac, których kopie zachowały się do czasów współczesnych znajdują się: • Liber Abaci (1202)Księga Rachunków, gdzie opisał system pozycyjny liczb i wyłożył podstawy arytmetyki, • Practica geometriae(1220), będące połączeniem algebry i geometrii, • Flos(1225) oraz • Liber quadratorum (1225)

5. Historia odkrycia ciągu Fibonacciego Leonardo Fibonacci, matematyk włoski, w swojej książce LiberAbbaci opublikowanej w 1202 r., zajął się problemem dotyczącym szybkości rozmnażania się stada królików. Przebiega ono według następujących zasad. -Na początku mamy F nowo narodzonych królików i o każdej parze królików zakładamy, że:-nowa para staje się płodna po miesiącu życia;-każda płodna para rodzi jedną parę nowych królików w miesiącu;-króliki nigdy nie umierają. Oryginalne pytanie Fibonacciego brzmiało:ile będzie par królików po upływie roku? Najczęściej pyta się, ile będzie par królików po upływie k miesięcy - oznaczamy tę liczbę przez Fk i nazywamy liczbą Fibonacciego. Z warunków rozmnażania się królików można wywnioskować, że w kolejnym miesiącu liczba par królików jest równa liczbie par z poprzedniego miesiąca, gdyż króliki nie wymierają, plus liczba par nowo narodzonych królików, a tych jest tyle, ile było par dwa miesiące wcześniej, gdyż tylko te pary mogą rodzić nowe pary królików. To rozumowanie, gdy zastąpić w nim "liczbę królików" przez "liczbę Fibonacciego", prowadzi do określenia danej liczby Fibonacciego w zależności od liczb Fibonacciego w dwóch poprzednich miesiącach.

6. „Króliki Fibonacciego”

7. Ciąg Fibonacciego – ciągliczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch Ciąg został podany w 1202 roku przez Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazwę ciąg Fibonacciego spopularyzował w XIX w. Édouard Lucas 1.podstawowe związki pomiędzy wyrazami tego ciągu

8. Kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego. Kwestia, czy zaliczać zero do ciągu Fibonacciego, jest dyskusyjna. Część autorów rozpoczyna ciąg od pozostałych Wyrazy ciągu Fibonacciego to:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181. 1.podstawowe związki pomiędzy wyrazami tego ciągu

9. Podstawowe zwiĄzki • Teoretycznie wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego mogą być obliczone wprost z definicji, jest to jednak metoda na tyle wolna, że stosowanie jej ma tylko sens dla niewielu początkowych wyrazów ciągu, nawet na bardzo szybkich komputerach. Wynika to z tego, że definicja wielokrotnie odwołuje się do wartości poprzednich wyrazów ciągów. Drzewo wywołań takiego algorytmu dla parametru musi mieć co najmniej liści o wartości 1. Ponieważ ciąg Fibonacciego rośnie wykładniczo, oznacza to wyjątkowo słabą wydajność.

10. Podstawowe związki • Istnieje równie prosta i znacznie szybsza metoda. Obliczamy wartości ciągu po kolei: F0, F1, F2 i tak aż do Fn, za każdym razem korzystając z tego, co już obliczyliśmy. Nie musimy nawet zapamiętywać wszystkich obliczonych dotychczas wartości – ponieważ wystarczą dwie ostatnie. Daje to złożoność liniową – o wiele lepszą od wykładniczej złożoności poprzedniej metody. Metoda ta może być postrzegana jako zastosowanie programowania dynamicznego.

11. Podstawowe związki • Kilka mniej znanych twierdzeń na temat ciągu Fibonacciego: • Za wyjątkiem jednocyfrowych liczb ciągu Fibonacciego zawsze cztery, albo pięć następujących po sobie wyrazów ciągu ma tę samą liczbę cyfr w układzie dziesiętnym.

12. Podstawowe związki • Jedynymi liczbami w całym ciągu • Fibonacciego, będącymi kwadratamiliczb całkowitych są 1 i 144. • Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta – przez 3. Ogólniej: jeśli numer n dzieli się przez k, to liczba Fn dzieli się przez Fk. Zachodzi jeszcze silniejszy związek: największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb

13. Tożsamosci liczb fibonacciego Wykaż że zachodzi tożsamość:

14. Tozsamosci liczb fibonacciego Co można tak zobaczyć: Oznaczmy: Mamy: a dla uogólnionych współczynników dwumianowych zachodzi: Zatem: Oraz dla n>1:

15. czyli ilorazów sąsiadujących ze sobą wyrazów ciągu Fibonacciego to tzw. złota liczba lub złota proporcja definiowana jako dodatnie rozwiązanie równania  2.związki ze złotą liczbą oraz liczbami Lucasa

16. Jest ona także pierwiastkiem wielomianu x2 − x − 1 oraz równania x + x−2 = 2 Zauważmy, że w powyższym dowodzie informacja o początkowych wyrazach ciągu czy też jakichkolwiek innych nie była wykorzystywana. Przeto dla dowolnego ciągu 2.związki ze złotą liczbą oraz liczbami Lucasa

17. Liczby Fibonacciego – związki ze złotą liczbą oraz liczbami Lucasa Dodatni pierwiastek tego równania zwany jest złotą liczbą. Zachodzi interesujący związek pomiędzy złotą liczbą a ciągiem Fibonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .... Okazuje się, że ilorazy kolejnych wyrazów ciągu przybliżają coraz lepiej złotą liczbę.

18. Liczby Fibonacciego – związki ze złotą liczbą oraz liczbami Lucasa

19. Liczby Fibonacciego – związki ze złotą liczbą oraz liczbami Lucasa • Złota liczba pojawia się też w interesującym wzorze na n-tą liczbę Fibonacciego: • Zaokrąglając tę liczbę do najbliższej naturalnej, otrzymamy dokładną wartość Fn .

20. Liczby Fibonacciego – związki ze złotą liczbą oraz liczbami Lucasa • Zachodzą równości:

21. CIĄG LUCASA Ciąg Lucasa jest pewną odmianą ciągu Fibonacciego Liczby Lucasa tworzone są w taki sam sposób jak liczby Fibonacciego, jednak początkowe liczby są równe 2 i 1. Każda następna liczba Lucasa jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg Lucasa to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący: L0 = 2L1 = 1 Ln = Ln-1 + Ln-2,   dla n > 1 Początkowe wartości ciągu Lucasa to:2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, ...

22. Niech Fn oznacza n-tą liczbę ciągu Fibonacciego. W ciągu Lucasa zachodzą równości: Ln = Fn-1 + Fn+15Fn = Ln-1 + Ln+1F2n = LnFn Podobnie jak w przypadku liczb Fibonacciego, stosunki kolejnych liczb Lucasa dążą także do liczby złotego podziału  Φ= 5 + 1 2 = 1,6180339887498948482...  Stosunek Ln Fn między odpowiednimi liczbami Lucasa i Fibonacciego dąży do 5 . Ciągi Lucasa zostały zdefiniowane w końcu XIX wieku przez Edouarda Lucasa i służą do wyszukiwania liczb pierwszych. Ciągi Lucasa znajdują zastosowanie w algorytmach szyfrowania.

23. Złoty podział • Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. "fi"). b a a+b

24. . Niektórzy muzykolodzy dopatrują się istnienia ciągu Fibonacciego w utworach muzycznych oraz w budowie instrumentów. Ciąg Fibonacciego przypisuje się proporcjom części w skrzypcach budowanym przez Antonio Stradivariego[potrzebne źródło]. Przede wszystkim jednak zależności takie występują w utworach muzycznych - najczęściej w proporcjach rytmicznych. Węgierski muzykolog Erno Lendvai[7] wykrył wiele takich zależności w muzyce Beli Bartóka, przede wszystkim w Muzyce na instrumenty strunowe, perkusję i czelestę, gdzie w cz. I kolejne odcinki formy zaczynają się w następującym porządku: zakończenie ekspozycji - t. 21 początek stretto - t. 34 kulminacja części - t. 55 koniec części - t. 89. 3.wybrane tożsamości

25. W drugiej połowie XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Szczególnie często sięgali do niego kompozytorzy stosujący technikę serialną, np.: Karlheinz StockhausenKlavierstück IX, Luigi NonoIl canto sospeso, ChristobalHalffterFibonacciana[8]. Na ciągu Fibonacciego stosowanym równocześnie w przód i wstecz zbudowane jest Trio klarnetoweKrzysztofa Meyera. Jednostką miary jest w tym utworze ćwierćnuta, a kolejne odcinki różnią się obsadą. I tak np.: kolejne odcinki grane przez fortepian mają długość: 89, 55, 34, 21, 13 ćwierćnut wszystkie instrumenty razem grają: 21, 34, 55, 89, 144 ćwierćnut[9]. Ciąg Fibonacciego został użyty również we współczesnej muzyce. Zespół TOOL na albumie Lateralus w tytułowym utworze użył ciągu Fibonacciego do stworzenia linii wokalnej. 3.wybrane tożsamości

26. Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki - czarnymi 4.interpretacje geometryczne i empiryczne

27. Teoretycznie wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego mogą być obliczone wprost z definicji, jest to jednak metoda na tyle wolna, że stosowanie jej ma tylko sens dla niewielu początkowych wyrazów ciągu, nawet na bardzo szybkich komputerach. Wynika to z tego, że definicja wielokrotnie odwołuje się do wartości poprzednich wyrazów ciągów. Drzewo wywołań takiego algorytmu dla parametru musi mieć co najmniej liści o wartości 1. Ponieważ ciąg Fibonacciego rośnie wykładniczo, oznacza to wyjątkowo słabą wydajność. 4.interpretacje geometryczne i empiryczne

28. Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb: 5.związek z trójkątem Pascala

29. Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona - rozwinięcia . Na przykład: Inaczej: licząc miejsca w wierszu od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa 5.związek z trójkątem Pascala

30. Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe . Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala. 5.związek z trójkątem Pascala

31. Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki. W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...). W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...). W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35) W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej. Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe. Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej. 5.związek z trójkątem Pascala

32. Zastosowania: W genetyce w odniesieniu do genów kumulatywnych. Biorąc co drugi wiersz zaczynając od wiersza drugiego (1:2:1) trójkąt pokazuje stosunki rozszczepień w przypadku cech determinowanych przez geny kumulatywne. 5.związek z trójkątem Pascala

33. TRÓJKĄT PASCALA, A LICZBY FIBONACCIEGO

34. Kilka początkowych wyrazów w ciągu Fibonacciego to także liczby pierwsze[4] a mianowicie: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229.. Wydaje się prawdopodobne, że liczb pierwszych w ciągu Fibonacciego istnieje nieskończenie wiele, lecz problem ten jak dotąd nie doczekał się rozstrzygnięcia. 6.system pozycyjny o podstawie wyznaczonej przez ciąg fibonacciego,itp.

35. Różni się od ciągu Fibonacciego tym, że każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich trzech wyrazów zamiast dwóch. Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890.. Stała "Tribonacciego" jest granicą ciągu : (gdzie jest n-tym wyrazem ciągu 'Tribonacciego') czyli analogiem złotej liczby dla ciągu Fibonacciego. Jest ona pierwiastkiem wielomianu x3 − x2 − x − 1 oraz równania x + x−3 = 2 i wynosi ok. 1.83929. 6.system pozycyjny o podstawie wyznaczonej przez ciąg fibonacciego,itp.

36. 7. Wzór Bineta Jawny wzór na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego możemy otrzymać np. korzystając z metody funkcji tworzących. Można zatem zdefiniować ciąg i dla tego ciągu fn obliczyć wzór na jego n-ty wyraz. Funkcja tworząca dla tego ciągu ma postać :

37. Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki - czarnymi. 8.poznanie określenia ciągu rekurencyjnego I oraz II stopnia jako uogólnień ciągów geometrycznych i arytmetycznych

38. Niektórzy muzykolodzy dopatrują się istnienia ciągu Fibonacciego w utworach muzycznych oraz w budowie instrumentów. Ciąg Fibonacciego przypisuje się proporcjom części w skrzypcach budowanym przez Antonio Stradivariego. Przede wszystkim jednak zależności takie występują w utworach muzycznych - najczęściej w proporcjach rytmicznych. Węgierski muzykolog Erno Lendvai wykrył wiele takich zależności w muzyce Beli Bartóka, przede wszystkim w Muzyce na instrumenty strunowe, perkusję i czelestę, gdzie w cz. I kolejne odcinki formy zaczynają się w następującym porządku: zakończenie ekspozycji - t. 21 początek stretto - t. 34 kulminacja części - t. 55 koniec części - t. 89. 8.poznanie określenia ciągu rekurencyjnego I oraz II stopnia jako uogólnień ciągów geometrycznych i arytmetycznych

39. 9.poznanie przykładów uogólnień i opracowanie własnych prób modyfikacji ciągu liczb Fibonacciego

40. Teoretycznie wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego mogą być obliczone wprost z definicji, jest to jednak metoda na tyle wolna, że stosowanie jej ma tylko sens dla niewielu początkowych wyrazów ciągu, nawet na bardzo szybkich komputerach. Wynika to z tego, że definicja wielokrotnie odwołuje się do wartości poprzednich wyrazów ciągów. Drzewo wywołań takiego algorytmu dla parametru musi mieć co najmniej liści o wartości 1. Ponieważ ciąg Fibonacciego rośnie wykładniczo, oznacza to wyjątkowo słabą wydajność. Istnieje równie prosta i znacznie szybsza metoda. Obliczamy wartości ciągu po kolei: F0, F1, F2 i tak aż do Fn, za każdym razem korzystając z tego, co już obliczyliśmy. Nie musimy nawet zapamiętywać wszystkich obliczonych dotychczas wartości – ponieważ wystarczą dwie ostatnie. Daje to złożoność liniową – o wiele lepszą od wykładniczej złożoności poprzedniej metody. Metoda ta może być postrzegana jako zastosowanie programowania dynamicznego. 9.poznanie przykładów uogólnień i opracowanie własnych prób modyfikacji ciągu liczb Fibonacciego

41. Różni się od ciągu Fibonacciego tym, że każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich trzech wyrazów zamiast dwóch[5]. Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890.. Stała "Tribonacciego" jest granicą ciągu : (gdzie jest n-tym wyrazem ciągu 'Tribonacciego') czyli analogiem złotej liczby dla ciągu Fibonacciego. Jest ona pierwiastkiem wielomianu x3 − x2 − x − 1 oraz równania x + x−3 = 2 i wynosi ok. 1.83929. 9.poznanie przykładów uogólnień i opracowanie własnych prób modyfikacji ciągu liczb Fibonacciego

42. W kształtach wielu roślin widać linie spiralne. Na przykład na owocu ananasa 8 takich linii biegnie w jedną stronę a 5 lub 13 w przeciwną. Na tarczy słonecznika może się krzyżować 55 spiral z 89 (liczby te bywają większe). Również różyczki kalafiora ułożone są spiralnie. U większości roślin takie organy, jak łodyga, liście czy kwiaty rozwijają się z małego, centralnie usytuowanego skupiska komórek - merystemu. Każdy zawiązek nowego organu (zwany primordium) wyrasta z merystemu w innym kierunku, pod pewnym kątem w stosunku do zawiązka, który pojawił się wcześniej. Okazuje się, że u wielu roślin ten kąt jest taki sam i że to właśnie dzięki niemu powstają wspomniane linie spiralne. Ten kąt to w przybliżeniu 137,5 stopnia (jest to tak zwany "Złoty kąt"). "Złotego kąta" nie da się wyrazić ułamkiem zwykłym. Jego dopełnienie do 360 stopni wynosi w przybliżeniu 5/8 kąta pełnego, dokładniej jest to 8/13 kąta pełnego, jeszcze dokładniej 13/21 i tak dalej (oparcie na liczbach Fibonacciego), ale żaden ułamek zwykły nie odpowiada mu ściśle. Kiedy pojawiają się kolejne zawiązki, to jeśli każdy następny utworzy z poprzednim wspomniany "złoty kąt", nigdy nie dojdzie do tego, by dwa z nich (lub więcej) rozwijały się w tym samym kierunku. Dzięki temu organy nie wyrastają z merystemu promieniście, lecz układają się w linie spiralne. U wielu roślin kwiatowych, których wzrost następuje wzdłuż linii spiralnych, liczba płatków wyraża się którąś z liczb Fibonacciego. Jaskry mają po 5 płatków, kwiaty sangwinarii po 8 płatków, kwiaty wielu gatunków z rodzaju starzec po 13, astry często po 21, niektóre złocienie po 34, a aster nowoangielski po 55 lub po 89. Ponadto liczby Fibonacciego często powtarzają się w opisach budowy owoców i warzyw. Na przykład przekrój poprzeczny banana jest pięciokątem. Ciąg Fibonacciego w biologii

44. Muszla, której kształt układa się zgodnie z przebiegiem tzw. Spirali Fibonacciego

45. Niektórzy muzykolodzy dopatrują się istnienia ciągu Fibonacciego w utworach muzycznych oraz w budowie instrumentów. Ciąg Fibonacciego przypisuje się proporcjom części w skrzypcach budowanym przez Antonio Stradivariego. Przede wszystkim jednak zależności takie występują w utworach muzycznych - najczęściej w proporcjach rytmicznych. Węgierski muzykolog Erno Lendvai wykrył wiele takich zależności w muzyce Beli Bartóka, przede wszystkim w Muzyce na instrumenty strunowe, perkusję i czelestę, gdzie w cz. I kolejne odcinki formy zaczynają się w następującym porządku: zakończenie ekspozycji - t. 21 początek stretto - t. 34 kulminacja części - t. 55 koniec części - t. 89. W drugiej połowie XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Szczególnie często sięgali do niego kompozytorzy stosujący technikę serialną, np.: Karlheinz StockhausenKlavierstück IX, Luigi NonoIl canto sospeso, ChristobalHalffterFibonacciana. Na ciągu Fibonacciego stosowanym równocześnie w przód i wstecz zbudowane jest Trio klarnetoweKrzysztofa Meyera. Jednostką miary jest w tym utworze ćwierćnuta, a kolejne odcinki różnią się obsadą. I tak np.: kolejne odcinki grane przez fortepian mają długość: 89, 55, 34, 21, 13 ćwierćnut wszystkie instrumenty razem grają: 21, 34, 55, 89, 144 ćwierćnut[9]. Ciąg Fibonacciego został użyty również we współczesnej muzyce. Zespół TOOL na albumie Lateralus w tytułowym utworze użył ciągu Fibonacciego do stworzenia linii wokalnej. Ciąg Fibonacciego w muzyce

46. Złota proporcja to klasyczny element matematyki. Pochodzi już ze starożytności, związany jest ze złotym podziałem. Okazuje się, że Liczby Fibonacciego są ściśle z nią związane. Od czasów starożytności znany jest termin boska proporcja (łac. divina proportio) nazywana częściej złotą proporcją lub też złotym stosunkiem. Podział odcinka a na dwie części oraz a-x jest złotym podziałem tego odcinka, jeśli cały odcinek a tak ma się do swojej większej części, jak większa część ma się do mniejszej części a-x. Boską proporcją jest stosunek a/x. Złota proporcja

47. Z tego, że stosunek dwu kolejnych Liczb Fibonacciego jest bliski złotej liczbie φ, wynika, że pokazany obok prostokąt jest w przybliżeniu złotym prostokątem. Złoty prostokąt

48. Złoty podział w architekturze ● Zasada złotego podziału znana od starożytności, znalazła zastosowanie w architekturze antycznej, romańskiej oraz w sztuce renesansu i klasycyzmu; ● Okna w budowlach w stylu renesansowym ( szerokość do wysokości była w stosunku 5:8 ); ● renesansowe pałace włoskie, np. Palazzo Strozzi, Palazzo Rucelai, Santa Maria Novella, Kaplica Palazzo Vendrai; ● także inne świątynie, np. Partenon na Akropolu.Złoty kanon przejęli od starożytnych artyści renesansowi, choć nie traktowali go już w tak ortodoksyjny sposób. Co prawda istniała opcja estetyczna, według której plan i proporcje kościoła podłużnego winny odpowiadać kształtom i proporcjom ludzkiego ciała (Francesco di Giorgio, Filarete), a proporcje dobrze zbudowanego człowieka powinny odpowiadać prostym figurom geometrycznym, kołu i kwadratowi.

49. Liczby Fibonacciego tworzą system liczbowy. KAŻDA liczba całkowita może być przedstawiona jako suma liczb Fibonacciego 1 000 000= 832 040 +121 393+46 368+144+55 • -są tylko dwie liczby Fibonacciego. , które są kwadratami: 1 i 144 • -są dokładnie dwie liczby Fibonacciego, które są sześcianami: 1 i 8 • Występują w molekułach DNA, strukturze kryształu, orbitach planet i galaktyk, wirach wodnych, huraganach. Ciekawostki

50. Ciekawostki - Istotnie zdumiewające jest również umiejscowienie złotego podziału wśród roślin. Jeśli przyjrzymy się układowi listków na wspólnej łodydze, to okaże się iż między każdymi dwiema parami listków trzecia leży w miejscu złotego cięcia. Najbardziej znanym przykładem występowania liczb w przyrodzie są zapewne układy pestek w tarczach słoneczników.- Złoty podział wykorzystuje się też do określania proporcjonalnej budowy człowieka. Stosunek odległości pępka człowieka od ziemi - do jego wzrostu. Zazwyczaj wynosi 1:1,6 (czyli jest to złoty podział ). Stosunek ten nazywany jest "pępkiem Pitagorasa".- Spirale na szyszce tworzone przez jej łuski są prawoskrętne i lewoskrętne. Nie zawsze szyszki, nawet tego samego gatunku, mają identyczną liczbę spiral. Jednak z wyjątkiem kilku procent badanych szyszek, łuski układają się wzdłuż spiral, których liczba jest związana z liczbami Fibonacciego.