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Formulación de problemas

Formulación de problemas. Ejemplo sencillo de producción Fábrica de muebles Dos productos: sillas modelo A y B Demanda estimada (máxima): A: 100 B: 400 Beneficios por unidad: A: 6000 B: 3000 Requisitos de producción: A: 20 hh B: 15 hh

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  1. Formulación de problemas • Ejemplo sencillo de producción • Fábrica de muebles • Dos productos: sillas modelo A y B • Demanda estimada (máxima): A: 100 B: 400 • Beneficios por unidad: A: 6000 B: 3000 • Requisitos de producción: A: 20 hh B: 15 hh • Disponibilidad de trabajadores: 5000 hh/mes

  2. Formulación de problemas • Función objetivo: beneficios max 6000 xA + 3000 xB • Restricciones: • Capacidad de fabricación 20 xA + 15 xB 5000 • Límites de demanda 0  xA  100 , 0  xB  400

  3. Formulación de problemas • Planteamiento: max 6000 xA + 3000 xB s.a 20 xA + 15 xB 5000 0  xA  100 0  xB  400

  4. Formulación de problemas • Estimación costes generación eléctrica • Obtener función cuadrática de costes c (x ) = a + bx + cx2 • Dados un conjunto de observaciones, ( xi , yi ) • Encontrar la mejor función cuadrática que se ajuste a ellas • Mínimo error en el ajuste

  5. Formulación de problemas • Datos

  6. Formulación de problemas • Planteamiento • Función objetivo ( 5806 - a - b 130 - c 1302 )2 + ( 6142 - a - b 140 - c 1402 )2 + ( 7336 - a - b 145 - c 1452 )2 + ... • En formato compacto min i ( yi - a - bxi - cxi 2 )2 • Función cuadrática de a, b, c

  7. Formulación de problemas • Problema de transporte • Descripción del problema: • Atender demanda de dos productos PR1 y PR2 • Para cuatro clientes C1, C2, C3 y C4 • Desde tres almacenes A1, A2 y A3 • Se dispone de datos sobre demandas, capacidades y costes 7

  8. Formulación de problemas • Datos: Capacidades de almacenes Almacén A1 Almacén A2 Almacén A3 8500 11500 10300 Demandas de clientes Cliente C1 Cliente C2 Cliente C3 Cliente C4 Producto PR1 1700 1200 1100 1000 Producto PR2 750 950 500 450 Coste de transporte PR1 Cliente C1 Cliente C2 Cliente C3 Cliente C4 Almacén A1 9 46 39 28 Almacén A2 22 23 12 30 Almacén A3 24 20 50 13 Coste de transporte PR2 Cliente C1 Cliente C2 Cliente C3 Cliente C4 Almacén A1 12 55 40 32 Almacén A2 25 27 15 35 Almacén A3 28 70 56 18 8

  9. Formulación de problemas • Otros datos: Espacio ocupado por los productos Producto PR1 Producto PR2 3 5 • Costes fijos: • Independientes de la cantidad • Cada envío supone unos costes de 5000 • ¿Tiempos de entrega? Se ignoran 9

  10. Formulación de problemas • Planteamiento del problema: • Variables: Cantidades a transportar desde cada almacén i a cada cliente j de cada producto k, xijk • Función objetivo: Minimizar los costes de transporte totales minxijkcijkxijk 10

  11. Formulación de problemas • Planteamiento del problema: • Función objetivo: 9x111 + 12x112 + 46x121 + 55x122 + 39x131 + 40x132 + 28x141 + 32x142 + 22x211 + 25x212 + 23x221 + 27x222 + 12x231 + 15x232 + ... • Restricciones: • Satisfacción de la demanda de cada cliente ixijk = djkj,k 11

  12. Formulación de problemas • Restricciones: • Formulación de satisfacción de demanda x111 + x211 + x311 = 1700, x112 + x212 + x312 = 750, x121 + x221 + x321 = 1200, ... • Capacidad de los almacenes kek jxijkvii • Formulación 3(x111+x121+x131+x141) + 5 (x112+x122+x132+x142)  8500, 3(x211+x221+x231+x241) + 5 (x212+x222+x232+x242)  11500, ... 12

  13. Formulación de problemas • Modelo resultante (un producto): min 9x11 + 22x21 + 24x31 + 46x12 + 23x22 + 20x32 + 39x13 + 12x23 + 50x33 + 28x14 + 30x24 + 13x34 s.a x11 + x21 + x31 = 1700 x12 + x22 + x32 = 1200 x13 + x23 + x33 = 1100 x14 + x24 + x34 = 1000 x11 + x12 + x13 + x14 1500 x21 + x22 + x23 + x24 2500 x31 + x32 + x33 + x34 1500 xij 0 i = 1,2,3 j = 1,2,3,4 • Solución: x11 = 1500, x21 = 200, x22 = 700, x23 = 1100, x32 = 500, x34 = 1000 1 = -13, 2 = 0, 3 = -3, 1 = 22, 2 = 23, 3 = 12, 4 = 16 13

  14. Formulación de problemas • Problema de transporte • Formulación en AMPL • set ORIG; # orígenes • set DEST; # destinos • param supply {ORIG} >= 0; # cantidades disponibles en orígenes • param demand {DEST} >= 0; # cantidades a servir en destinos • check: sum {i in ORIG} supply[i] >= sum {j in DEST} demand[j]; • param cost {ORIG,DEST} >= 0; # costes de transporte por unidad • var Trans {ORIG,DEST} >= 0; # número de unidades a transportar • minimize total_cost: • sum {i in ORIG, j in DEST} cost[i,j] * Trans[i,j]; • subject to Supply {i in ORIG}: • sum {j in DEST} Trans[i,j] = supply[i]; • subject to Demand {j in DEST}: • sum {i in ORIG} Trans[i,j] = demand[j]; 14

  15. Formulación de problemas • Planteamiento del problema: • Otras restricciones: • Variables no pueden tomar valores negativos, xijk 0 • Otras consideraciones: • Costes fijos de envío: • Sumar 5000 a la función objetivo por cada variable distinta de cero 15

  16. Formulación de problemas • Planteamiento del problema: • Costes fijos de envío: • Se introducen nuevas variables, zijk • Estas variables valen: • 1 si se produce un envío (si xijk > 0) • 0 si no se produce • Término adicional en la función objetivo: ...+5000 ijkxijk 16

  17. Formulación de problemas • Planteamiento del problema: • Relación entre las variables x y z : xijk K zijk donde K es constante suficientemente grande (mayor que cualquier valor razonable de x ) • Condición sobre z : zijk {0,1} i,j,k 17

  18. Formulación de problemas • Campaña de publicidad • Se quiere llevar a cabo una campaña de promoción de un nuevo producto • Para ello se dispone de un presupuesto a invertir en diferentes medios publicitarios • El objetivo es alcanzar la mayor audiencia posible de clientes potenciales 18

  19. Formulación de problemas • Campaña de publicidad • Medios disponibles: televisión, revistas, radio, periódicos, buzoneo • Datos Audiencia Televisión Revistas Radio Periódicos Buzoneo 3 2 1 1,5 2 Costes Televisión Revistas Radio Periódicos Buzoneo 6 2,5 1 1,2 1 Recursos necesarios Televisión Revistas Radio Periódicos Buzoneo Máximo Escritores 12 5 2 4 3 200 Ilustradores 12 8 0 6 4 300 Auxiliares 2 2 2 2 2 200 19

  20. Formulación de problemas • Campaña de publicidad • Otros datos: • Presupuesto: 100 millones de Pta • Campaña debe utilizar al menos tres medios • Audiencia que se alcanza invirtiendo z millones de Pta. en un medio: a z 0,7 donde a constante indicada en la tabla 20

  21. Formulación de problemas • Campaña de publicidad • Variables: • unidades de publicidad compradas a cada medio, xi • Función objetivo: audiencia alcanzada, iai xi o en el caso no lineal, iai xi0,7 21

  22. Formulación de problemas • Campaña de publicidad • Restricciones • Presupuesto: iai xi  P • Disponibilidad de recursos: irij xi  dj j • No negatividad: xi  0 • Número mínimo de medios: izi  3, xi  K zi , zi  {0,1} i zi  k xi ¿ valor de k ? 22

  23. Formulación de problemas • Asignación de tripulaciones • Determinar: Número de tripulaciones a tener disponibles durante los próximos meses • Las tripulaciones pueden tomarse de una reserva, o devolverse a dicha reserva • Se desea emplear el número mínimo de tripulaciones necesario 23

  24. Formulación de problemas • Asignación de tripulaciones • Condiciones: • Se deben cubrir las horas de vuelo: Noviembre 440 Diciembre 580 Enero 600 Febrero 420 • Cada tripulación puede hacer un máximo de 40 h. de vuelo al mes 24

  25. Formulación de problemas • Asignación de tripulaciones • Otras condiciones: • Cada nueva tripulación debe ser entrenada • Durante el primer mes, entrenamiento cuesta 10 h. a nueva tripulación y a una tripulación ya veterana • Como máximo pueden tomarse de la reserva tres tripulaciones en un mes 25

  26. Formulación de problemas • Asignación de tripulaciones • Variables: • Tripulaciones asignadas cada mes, xt • Var. auxiliares para facilitar la formulación • Número de tripulaciones a añadir at y a devolver a la reserva dt en cada mes • Función objetivo: txt 26

  27. Formulación de problemas • Asignación de tripulaciones • Restricciones: • Cumplimiento de las horas: 40xt - 10at ht • Límite nuevas tripulaciones: at 3 • Necesidades de entrenamiento: xtat • Relación entre variables: xt+1 = xt + at -dt • No negatividad: xt , at , dt  0 • Integralidad: xt , at , dt enteras 27

  28. Formulación de problemas • Problema resultante min txt s.a 40xt - 10at ht xt+1 = xt + at -dt xtat at 3 xt , at , dt  0 xt , at , dt enteras

  29. Formulación de problemas • Optimización de carteras • Dada una cantidad de dinero a invertir • Determinar proporciones a invertir en distintos activos • Criterios para seleccionar activos: • Rentabilidad • Riesgo 29

  30. Formulación de problemas • Optimización de carteras • Datos rentabilidades/riesgos: 30

  31. Formulación de problemas • Optimización de carteras: • Datos para la formulación • Rentabilidades medias y objetivo: r = ( 1.6 4.6 6.2 5.6 0.7 -0.4 ) ,  = 5 • Riesgos: matriz de covarianzas, 26 56 28 45 21 -19 56 248 89 141 31 -15 R = 28 89 223 63 -22 -63 45 141 63 137 -22 -82 21 31 -22 -22 72 16 -19 -15 -63 -82 16 77 31

  32. Formulación de problemas • Optimización de carteras • Variables: • Proporción de la cartera en activo i , xi • Función objetivo: • Riesgo de la cartera, medido por la varianza xTR x • Restricciones: rentabilidad objetivo 32

  33. Formulación de problemas • Optimización de carteras • Restricciones • Rentabilidad, rTx   • Normalización, eTx =1 • No negatividad, x 0 33

  34. Formulación de problemas • Optimización de carteras • En formato menos compacto • Rentabilidad, iri xi  • Normalización, ixi=1 • No negatividad, xi 0 • Función objetivo, irij xi xj

  35. Formulación de problemas • Modelo resultante min xTR x s. a rTx   eTx =1 x 0 • Solución: x = ( 0 0 0.32 0.55 0 0.13 )T

  36. Formulación de problemas • Problema de producción • Una empresa fabrica 3 productos: A, B y C empleando 5 equipos: I, II, III, IV y V • El producto C requiere una unidad de A y 2 de B • Los beneficios por unidad son: A: 20 B: 8 C: 38 • Los tiempos necesarios por unidad son I II III IV V A 0.8 0.5 0.1 0.3 B 0.25 0.1 0.15 C 0.15 • El número de equipos disponibles es I: 20 II: 5 III: 10 IV: 4 V: 6 • Cada equipo se puede operar 200 horas en un mes

  37. Formulación de problemas • Problema de producción max 20 xA + 8 xB + (38 - 20 - 16) xC s.a 0.8 xA + 0.25 xB 4000 0.1 xB 1000 0.5 xA + 0.15 xB 2000 0.1 xA + 0.15 xC 800 0.3 xA 1200 - xA + xC 0 - xB + 2 xC 0 xA , xB , xC 0

  38. Formulación de problemas • Problema en forma estándar max 20 xA + 8 xB + (38 - 20 - 16) xC s.a 0.8 xA + 0.25 xB + sI= 4000 0.1 xB + sII = 1000 0.5 xA + 0.15 xB + sIII = 2000 0.1 xA + 0.15 xC + sIV= 800 0.3 xA + sV= 1200 - xA + xC + sA = 0 - xB + 2 xC + sB = 0 x , s 0

  39. Formulación de problemas • Posibles soluciones • ¿Puede ser solución fabricar las cantidades xA = 2500 , xB = 5000 , xC = 2000 ? (sI = 750, sII = 500, sIII = 0, sIV = 205, sV = 450, sA = 200, sB = 400) • ¿Puede ser solución fabricar solo C? xA = 2500 , xB = 5000 , xC = 2500 (z = 95000) (sI = 750, sII = 500, sIII = 0, sIV = 175, sV = 450, sA = 0, sB = 0) III = -47.5, A = -3.75, B = 0.875 • La solución es: xA = 1000 , xB = 10000 , xC = 1000 (z = 102000) (sI = 700, sII = 0, sIII = 0, sIV = 550, sV = 900, sA = 0, sB = 8000)

  40. Formulación de problemas • Problema dual min 40 yI + 10 yII + 20 yIII + 8 yIV + 12 yV s.a 0.8 yI + + 0.5 yIII + 0.1 yIV + 0.3 yV - zA - w1 = 20 0.25 yI + 0.1 yII + 0.15 yIII + - zB - w2 = 8 0.15 yIV + zA + 2zB - w3 = 2 y , z , w 0

  41. Formulación de problemas • Planificación de generación eléctrica • Se dispone de una central de generación • Determinar niveles óptimos de generación • Para una estimación de precios • Correspondiente a 24 horas del día siguiente • Beneficios • Ingresos basados en precios de mercado • Costes asociados a la tecnología 41

  42. Formulación de problemas • Planificación de generación eléctrica • Restricciones tecnológicas • Límites a la generación 0  gt 400 • Mínimos técnicos gt { 0 , [100,400] } • Límites en los cambios de nivel de generación De un periodo al siguiente, cambio máximo de 50 MWh 42

  43. Formulación de problemas • Planificación de generación eléctrica • Costes de generación • Costes variables 55 + 6.4 g + 0.001 g2 • Costes fijos Arranque: 720 , Parada: 260 • Precios estimados 3.47 3.67 6.17 6.36 6.36 8.68 8.78 8.70 7.50 6.32 6.38 6.37 43

  44. Formulación de problemas • Planificación de generación eléctrica • Variables: niveles de generación gt • Función objetivo: beneficios totales t ( pt gt - 55 - 6.4 gt - 0.001 gt2 ) • Restricciones: • Límites a los cambios de nivel -50  gt - gt -1  50 • ¿Arranques y paradas? 44

  45. Formulación de problemas • Restricciones planificación generación • Valores permitidos de las variables gt = 100 zt+ wt , 0  wt 300zt , zt  {0,1} • Cambios en nivel de generación -50  wt - wt -1  50 • Costes de arranque • Cuándo se produce un arranque: yt  {0,1} • Costes totales de arranque: 720 tyt • Relación con otras variables: zt - zt -1  yt 45

  46. Formulación de problemas • Generación central ciclo combinado • Central eléctrica: dos modos de operación • Ciclo de gas • Ciclo combinado (gas + carbón) • Características diferentes en ambos ciclos • Costes • Capacidad • Restricciones que ligan los ciclos

  47. Formulación de problemas • Datos • Costes operación: gas: cg + agx + bgx2 combinado: cc + acx + bcx2 • Costes arranque: gas: sg combinado: sc • Capacidades: gas: ug combinado: uc (mínimo: lc )

  48. Formulación de problemas • Datos • Tiempos mínimos: • Entre arranque gas y arranque combinado: tc • Entre apagado y arranque: ta • Otros datos: • Precios de mercado conocidos: pt • Objetivo: • Beneficios

  49. Formulación de problemas • Variables • Generación de energía en cada periodo: xt • Ciclo de gas funcionando: yt • Ciclo combinado funcionando: zt • Arranque del ciclo de gas: vt • Arranque del ciclo combinado: wt • Función objetivo t [ ptxt - yt (cg + agx + bgx2 ) - zt (cc + acx + bcx2 - cg - agx - bgx2 ) - vt cg - wt cc ]

  50. Formulación de problemas • Restricciones ztlc xt  ytug + zt (uc - ug ) wt  yt-t’t’ = 0,...,tc vt  1 - yt-t’t’ = 1,...,ta vt  yt - yt -1 wt  zt - zt -1 zt  yt yt , zt , vt , wt  { 0,1 }

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