Cours d’électromagnétisme

1. Cours d’électromagnétisme Ibrahim El Aouadi

2. Plan • Introduction à l’électromagnétisme • Les régimes variables et les équations de Maxwell • Les équations de Maxwell dans le vide • Ondes électromagnétiques dans le vide. Ondes plans progressives • Etude des ondes plans progressives monochromatiques • Polarisation des ondes plans progressives • Energie électromagnétique et vecteur de Poynting

3. REF • Electromagnétisme: Fondements et Applications, J. P. Perez, R. Carles, R. Fleckinger. DUNOD, PARIS 2002 • Le cours de physique de Feynman: mécanique 1 & 2 (éditions DUNOD 1999) • Comprendre et Appliquer l’électromagnétisme, J.P. Longchamp (éditions MASSON 1990) • Travaux dirigés de physique, M. Denizart, R. Jagut et G. Soum. Hachette Université

4. structure & propriétésde la matière (physique, chimie, vivant…) électrotechnique : production & acheminement d’énergie, conversion énergie mécanique  électromagnétique télécommunication : stockage et transmission de l’information • dans l’univers il y a des charges électriques qui interagissent entre elles. • des charges en mouvement génèrent des courants électriques. • ces charges engendrent des champs électrique et magnétique. • toutes ces grandeurs, plus quelques constantes fondamentales (c, eo, mo), sont reliées entre elles par un ensemble cohérent d’équations • l’interaction magnétique = l’interaction entre les charges en mouvement • L’interaction électrique + magnétique = électromagnétique la théorie électromagnétique

5. RAPPELS: Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes Le gradient: champ de vecteur attaché à un champ scalaire f Le vecteur Nabla : La divergence: champ scalaire attaché à un champ de vecteur

6. Le rotationnel: champ de vecteur attaché à un champ de vecteur A Le laplacien scalaire ; le laplacien vectoriel

7. Application

8. Chapitre I: Introduction à l’électromagnétisme L'interaction entre charges électriques fixes a permis de définir le champ électrostatique à partir de la force qui s'exerce sur une charge témoin de valeur q : L'expérience montre cependant que l'interaction entre charges en mouvement ne peut se réduire à une force électrostatique. Il convient donc de généraliser ce champ en analysant les forces qui s'exercent sur les charges en mouvement.

9. Dans un référentiel galiléen, la force qui s'exerce sur une charge en mouvement peut être séparée en deux parties. L'une, indépendante de la vitesse, est une généralisation de la force électrostatique que l'on appelle la force électrique. L'autre dépend de la vitesse de la particule et lui est orthogonale; on l'appelle la force magnétique.

10. I Magnétostatique dans le vide I.1 définition: Lorsque deux circuits parcourus par des courants électriques constants sont placés au " voisinage " l'un de l'autre, ils sont soumis à des actions. L'étude de ces actions est le domaine de la magnétostatique. La densité volumique de charges dans un conducteur parcouru par un courant constant est nul si bien que l'origine des forces ne peut être attribué à l'existence de champs électriques. Enfin ce phénomène ne se limite pas aux circuits électriques, les substances aimantées sont le siège d'interactions de même nature.(c’est un courant dont les paramètres électrique ne dépend pas du temps)

11. I.2 Interaction entre deux charge électrique en mouvement - et cas classique z y x

12. Soient 2 charges et animées respectivement des vitesses V1 et V2, puisque on travail dans le cas classique ( et avec C vitesse de la lumière). Entre les 2 charges existe deux types d’interactions: • Interaction électrostatique: Avec la distance entre les 2 charges E : champ électrique créé dans le référentiel R par la charge au point où se trouve

13. Interaction magnétique: Avec On pose perméabilité du vide ( permittivité du vide) donc:

14. Toute charge en mouvement crée dans le vide un champ magnétique : D’une manière générale C’est la force de Lorentz

15. Force de LAPLACE Considérons un tronçon de circuit filiforme de longueur dl, vecteur dont le sens définit l’orientation positive de l’intensité I qui parcourt le fil, ce tronçon étant placé dans un champ magnétostatique B, le tronçon de circuit est alors soumis à une force résultante, appelée force de Laplace, dont l’expression est: Rq: l’origine de cette force est la force de Lorentz qui s’applique aux porteurs de charge contenus dans le fil ( la force de Laplace apparait comme la forme « macroscopique » de la force de Lorentz)

16. I.3 Champ magnétique créé par un courant stationnaire Considérons un matériau conducteur formant un circuit fermé parcouru par des charges mobiles de densité et de vitesse moyenne v au point P

17. En un point M suffisamment éloigné de P, la charge ( � élément de volume de ce matériau) apparaît comme une charge ponctuelle mobile avec la vitesse v ; cette charge en mouvement crée le champ magnétique élémentaire :

18. I.4 Loi de Biot et Savart Soient: - (C) : circuit filiforme orienté, définissant le courant I. - M est un point de l’espace. - Un élément en P du fil crée en M un champ magnétique : Avec

19. Le vecteur r donne la position de l’endroit où on calcule le champ, par rapport à l’élément de circuit qui est la source de ce champ. (r = PM) ! • (C) crée en M un champ magnétique: Il s’agit de la loi de Biot et Savart. Dans le système international le champ magnétique s’exprime en Tesla (T), le courant électrique en ampères (A) et les longueurs en mètres (m). La constante mo vaut alors 4p 10-7.

20. II Equations locales de la magnétostatique II.1- Divergence de Alors:

21. II.2 Flux de du champ magnétique En utilisant le théorèmede Green-Ostrogradski - Pour une surface fermée S  : est un champ à flux conservatif

22. soit est une surface fermée En tout point de , est perpendiculaire au champ magnétique. Donc Donc:

23. II.3 Potentiel vecteur : potentiel vecteur Calculons avec: Alors:

24. Exemple: • Fil filiforme: • charge discrète:

25. On montre que: Alors: (régime stationnaire) Le champ magnétique est définie en tout point de l’espace par:

26. II.4 Circulation de , théorème d’Ampère On considère un contour Γ orienté. ne dérive donc pas d’un potentiel, car sinon Où: est dans le même sens que le sens positif de Γ . Is est la somme algébrique des courants qui traversent S dans le sens positif associé à Γ Dans notre cas

27. Enoncé du théorème d’Ampère: Dans le vide, la circulation du champ magnétique le long d’une courbe fermée Γ est égale au produit par 0 de la somme algébrique des intensités I des courants qui traversent la surface S définie par Γ. Le signe de I est lié au sens de parcours sur Γ, c’est-à-dire au sens de qui est donné par la règle du tire-bouchon II.5 Dipôle magnétique: C’est toute boucle parcouru par un courant I et de dimension très faibles par rapport aux distance ou on calcule son effet I x x << r M

28. On montre que On appelle le moment magnétique dipolaire la quantité: Alors:

30. Méthodes de calcul du champ magnétique I- calcul direct par la loi de Biot et Savart + cas général Soit un circuit C parcouru par un courant I. le champ magnétique élémentaire dB crée en un point P par un élément dl du circuit est:

31. Cas particulier: en fait dans certains cas, lorsque les systèmes de courants possèdent un axe ou un plan de symétrie, on peut déterminer la direction de B, son module s’obtient alors par une intégrale unique

32. II- application du théorème d’Ampère. • Parmi tous les courbes fermées on choisi celle qui permet un calcul simple de la circulation de B. pour cela il faut connaitre à priori la symétrie du champ magnétique. • Bien que le théorème d’Ampère soit général, on ne peut l’utiliser que pour des systèmes de courant possédant un haut degré de symétrie

33. III a partir du potentiel vecteur • Connaissant , on déduit de la relation avec

34. Chapitre II: Les régimes variables et les équations de Maxwell

35. Induction électromagnétique I- données expérimentales de base: L’induction électromagnétique est un phénomène multiforme dans les différents aspects ont étés découverte est étudiées par le physicien « Faraday » au début de 19eme cycle. • Production d’un courant électrique dans un circuit fermé ne comprenant pas de pile, à partir de champs magnétiques. • Loi de Lenz (Heinrich Lenz 1804-1865) • Loi de Faraday (Michael Faraday 1791-1867)

36. Expériences typiques qui font intervenir l’induction • Expérience 1: La figure ci dessous illustre une boucle conductrice reliée à une multimètre. Puisqu’il n’y a pas de pile oud’autre source de f.e.m., il n’y a pas de courant dans le circuit. Pourtant, si on approche un barreau aimanté de la boucle, un courant apparait dans le circuit. Le courant disparait lorsque le barreau aimanté s’immobilise. Si on éloigne ensuite le barreau aimanté de la boucle, un courant réapparait, mais dans le sens opposé.

37. Experience 2: Danscette experience, on utilise un dispositifcomprennantdeux boucles conductricesrapprochees l’une de l’autre sans se toucher. Si on ferme l’interrupteur S pour etablir un courant dans la boucle de droite, l’amperemetreenregistre un courant induit de façonsoudaine et brèvedans la boucle de gauche. Si on ouvreensuite l’interrupteur, un autre courant apparaitbrièvementdans la boucle de gauche, maiscettefoisdans le sensopposé. On obtient un courant induitseulmentlorsqu’il y a une variation de courant dans la boucle de droite (en fermant et en ouvrant l’interrupteur), et non lorsque le courant est constant –meme dans le cas d’un courant intense.

38. Applications • Transformateurs • Générateurs / moteurs • Plaque à induction

39. Comment cela fonctionne ? • l’induction électromagnétique: Production d’un courant électrique dans un circuit fermé ne comprenant pas de pile, à partir d’un champ magnétique. • C’est la mise en mouvement d’électrons dans un circuit conducteur mis en présence d’un champ magnétique. • Création d’une f.e.m induite • Le déplacement de charge qui entraine l’induction électromagnétique est dû à la force de Lorentz: • La force électromotrice: le travail qui est fourni au circuit par unité de charge pour faire circuler ces charges dans le circuit

40. Comment cela fonctionne ? • Le déplacement de charge qui entraine l’induction électromagnétique est dû à la force de Lorentz • Il y a création d’un courant électrique induit dans un conducteur en mouvement dans un champ magnétique: les charges se déplacent avec le conducteur, avec une vitesse dans un champ magnétique(Induction de Lorentz). • Il y a création d’un champ électrique induit dans un circuit quelconque, dû à un champ magnétique variable dans le temps. Ce champ électrique induit entraine, à son tour, un courant induit(Induction de Neumann).

41. Description du phénomène électromagnétique Expérimentalement, il a été constaté la création d’un courant électrique induit : • dans un circuit conducteur fixe placé dans un champ magnétique variable dans le temps. • dans un circuit conducteur dont les propriétés spatiales varient dans le temps, placé dans un champ magnétique constant dans le temps : • l’orientation du circuit varie dans le temps, • l’aire du circuit varie dans le temps, • la position du circuit varie dans le temps.

42. Variation du champ magnétique • La variation du champ magnétiquedans la boucle conductrice produit un courant induit sur cette boucle.

43. 2a. Variation de l’aire • La variation d’aire d’un anneau conducteur dont la surface est traversée par un champ magnétique produit un courant induitsur l’anneau.

44. 2b. Variation de l’angle • Le changement d’orientation de la surface d’un anneau conducteur dans un champ magnétique produit un courant sur l’anneau.

45. 2c. Variation de position • Lorsqu’une boucle se déplace dans un champ magnétique non uniforme, il y a création d’un courant induit .

46. Le flux magnétique • Il y a création d’un courant induit si le nombre de lignes de champs qui traversent la surface délimitée par le conducteur varie dans le temps : • Variation du champ magnétique B • Variation de l’aire A • Variation de l’angle θ • Définir le flux magnétique, qui est proportionnel au nombre de lignes de champs qui traverse cette surface

47. Le flux magnétique • Le flux magnétique dans un champ uniforme est défini par : • Unité: le Weber (Wilhelm Weber 1804-1891)

48. Le flux magnétique • Le flux magnétique dans un champ non uniformeest défini par : • est un élément de surface Sur une surface fermée, le flux est nul (2e loi de Maxwell )

49. Loi de Faraday • La loi de Faraday: • La f.é.m. induite sur une boucle conductrice constituée de spires est « La force électromotrice induite dans un circuit fermé est proportionnelle au taux de variation du flux du champ magnétique traversant la surface délimitée par le circuit par rapport au temps »

50. Loi de Faraday • Alors la variation de flux est : A B B