高等代数 CAI 课件

1. 高等代数CAI课件 合作民族师专数学系 制作时间：2008年

2. 高等代数CAI课件 • 第六章 向量空间 • 第七章 线性变换 • 第八章 欧氏空间 • 第九章 二次型 • 第一章 基本概念 • 第二章 多项式 • 第三章 行列式 • 第四章 线性方程组 • 第五章 矩阵 合作民族师专数学系 制作

3. 第一章 基本概念 第一节 集合 第二节 映射 第三节 数学归纳法 第四节 数环和 数域

4. 第一节 集合 • 一 集合的概念 • 1 集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素用表示 是集合的元素，读为： 属于.用P表示。不是集合V的元素，读为：不属于. • 2 集合的表示 • 所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素；一种是描述法：给出这个集合元素所具有的特征性质. • 设 M是具有某些性质P的全部元素所成的集合，就可写成 • M={x | xP} • 注 : 不包含任何元素的集合称为空集，记作Φ.

5. 二 集合间的关系 • 子集: 如果集合A的元素全是集合 B的元素，那么就称A是B的子集合，记为AB。 • 相等: 如果两个集合 A与 B含有完全相同的元素，那么它们就称为相等，记为A=B. • 即 如果AB且BA 则 A=B. • 三 集合间的运算 • 1 交集: 设 A和 B是两个集合，由既属于 A又属于 B的全体元素所成的集合称为 A与 B的交，记为AB. • 2 并集: 把属于集合A且属于集合B的全体元素所成的集合称为 A与 B的并，记为 AB. • 3差集: 从集合中去掉属于 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做 (或A-B)。 • 4 补集:从全集中去掉属于 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为B在A中的补集, 记做B补.

6. 第二节 映 射 • 一 相关概念及性质定理 • 定义1 （集合的映射） 设、 为集合。如果存在法则 ，使得中任意元素 在法则 下对应 中唯一确定的元素（记做 ），则称 是到 的一个映射，记为 如果 ，则 称为 在 下的像， 称为 在 下的原像。 • 所有元素在 下的像构成的 的子集称为在 下的像，记做 ，即 。 • 若 都有 则称 为单射。若 都存在 ，使得 ，则称 为满射。如果 既是单射又是满射，则称 为双射，或称一一对应。 • 定理1 令f 是集合A到B的一个映射。那么以下两个条件是等价的：（i）f是一个双射；（ii）存在B到A的一个映射g，使得g。f=JA, f。g=jB .当条件（ii）成立时，映射g是由f唯一确定的。ｇ称为f的逆映射。 • 例1是全体整数的集合， 是全体偶数的集合，定义 • f : n2n ｎＰ 这是Ｐ到 的一个映射.

7. 例２ 设 是一个集合，定义 . • 即 把 的每个元素都映到它自身，称为集合 的恒等映射或单位映射，记为 例7任意一个定义在全体实数上的函数 • 都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形. • 关于 Ａ到 Ｂ的映射 应注意： • 1）与 可以相同，也可以不同； • 2）对于 Ｂ中每个元素ｂ ，需要有 Ａ中一个唯一确定的元素与它对应； • 3）一般， Ｂ中元素不一定都是 Ａ中元素的像； • 4） 中不相同元素的像可能相同；

8. 二 映射的乘法(合成) • ,设 及 分别是集合 到 ， 到 的映射，乘积 定义为 • , • 即相继施行 和 的结果， 是 到 的一个映射. • 对于集合到 集合的任何一个映射 显然都有 • . • 映射的乘法适合结合律.设 分别是集合 到 ， 到 ， 到 的映射，映射乘法的结合律就是 • . • 注: 映射的乘法不适合交换律 • 设 是集合 到 的一个映射，用 代表 在映射 下像的全体，称为 在映射 下的像集合.显然 . 如果 ，映射 即为满射。

9. 第三节 数 学 归 纳 法 • 一 最小数原理 • 内容：设S是自然数集的一个非空子集，则S中必含有一个最小数 • 二 数学归纳法 • 第一数学归纳法：设一个与自然数有关的命题，如果有 • 当N=1时 命题成立 • 假设当N=K 命题成立时，可以推出命题对N=K＋1Y也成立。那么命题对一切自然数都成立。 • 第二数学归纳法：设一个与自然数有关的命题，如果有 • 当N=1时 命题成立 • 假设当命题对一切不大于K的自然数都成立时，可以推出命题对N=K＋1Y也成立。那么命题对一切自然数都成立。

10. 第四节 数 环 和 数 域 • 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的. • 一 概念 • 定义2 （数环） 设 是某些复数所组成的集合。如果 对复数的加、减、乘、运算是封闭的，即对 内任意两个数和，必有a＋b，a－b,ab∈K，则称K为一个数环。 • 定义3（数域） 设 是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 内任意两个数和 （ 可以等于 ），必有 ，则称K为一个数域。 • 即：设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域. • 例1典型的数域举例： 复数域C； 实数域R； 有理数域Q； A = {i |∈Q}，其中i = .

11. 例2所有可以表成 a+b形式的数组成一数域，其中a,b为任意有理数. • 例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的. • 二 性质 • 命题 零环是唯一一个有限环。 • 命题 任意数域K都包括有理数域Q。 • 证明设 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 。于是 • 。 • 进而 Z , • 。 • 最后， Z ， ， .这就证明了 Q K。证毕。

12. 第二章 多项式 • 第一节 一元多项式的定义和运算 • 第二节 多项式的整除性 • 第三节 多项式的最大公因式 • 第四节 多项式的分解 • 第五节 重因式 • 第六节 多项式函数 多项式的根 • 第七节 复数和实数域上多项式 • 第八节 有理数域上多项式

13. 第一节 一 元 多 项 式 • 一 一元多项式 • 定义1设n是一非负整数，把字母X的形式表达式 • a0+a1x+a2x2+a3x3+…anxn, (1) • 称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式， 其中a0、a1、a2、、…an全属于数域P。 • 在多项式（1）中，a0称为零次项或常数项，aixi称为i次项，ai叫做i次项的系数.以后用g(x)或f(x)等来表示多项式. • 注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式. • 定义2如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f(x)与g(x)就称为相等，记为f(x)=g(x). • 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0. • 在（1）中，如果n0，那么anxn称为多项式（1）的首项，an称为首项系数，n称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式f(x)的次数记为0(f(x)).

14. 二 多项式的运算 • 设f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…anxn, g(x)=b0+b1x+b2x2+…bmxm (m<n) • f(x)与g(x)的和为： • f(x)+g(x)= (a0+ b0)+(a1+ b1)x +(a2+ b2)x2+…+(am+bm)xm+…(an+bn)xn, • f(x)与g(x)的乘积为: • f(x) g(x)= c0+c1x+c2x2+…+cn+mxn+m • 其中k次项的系数是ck=a0bk+a1bk-1+…+ak-1b1+akb0.k=0,1,2,…n+m. • 利用多项式的加法，可以定义多项式的减法：f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x)). • 显然，数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P上的多项式.

15. 三 多项式的运算满足以下的一些规律： • 1. 加法交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x). • 2. 加法结合律： (f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)) • 3. 乘法交换律：.f(x)g(x)=g(x)f(x) • 4. 乘法结合律：(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)) • 5. 乘法对加法的分配律：f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x) • 6. 乘法消去律：若f(x)g(x)=f(x)h(x)且f(x)0，则g(x)=h(x). • 定义3所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域.

16. 第二节 多 项 式 的 整 除 性 • 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算除法，并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系. • 一、整除的概念 • 定义4数域P上的多项式g(x)称为整除f(x)，如果有数域P上的多项式h(x)使等式f(x)=g(x)h(x)成立.用“g(x)|f(x)”表示g(x)整除f(x)，用“”表示g(x)不能整除f(x). • 当g(x)|f(x)时，g(x)就称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式. • 二、整除的性质 • 1. 任一多项式f(x)一定整除它自身. • 2. 任一多项式f(x)都能整除零多项式0. • 3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式. • 4. 若f(x)|g(x)，g(x)|f(x)则f(x)=cg(x),其中c为非零常数. • 5. 若f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则f（x)|h(x)（整除的传递性）. • 6 若f(x)|g(x)，f(x)| h(x)，则f（x)| g(x) + h(x) • 7 若f(x)|g(x)，任意多项式h(x)，则f(x)|g(x) h(x)

17. 8 若， 则 • 其中是数域P上任意的多项式.通常，称为的一个组合. • 由以上性质可以看出，f(x)与它的任一个非零常数倍cf(x)(c≠0)有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，f(x)常常可以用cf(x)来代替. • 三 带余除法 • 带余除法的内容 对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，使f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1)成立，其中或者，并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的. • 带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商，r(x)称为g(x)除f(x)的余式. • 当时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.

18. 定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x)，g(x)，其中，g(x)|f(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式为零.定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x)，g(x)，其中，g(x)|f(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式为零. • 带余除法中g(x)必须不为零，但g(x)|f(x)中，g(x)可以为零.这时f(x)=g(x) =0. • 最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若f(x)，g(x)是P[x]中两个多项式， K是包含P的一个较大的数域.当然，f(x)，g(x)也可以看成是K[x]中的多项式.从带余除法可以看出，不论把f(x)，g(x)看成是P[x]中或者是K[x]中的多项式，用g(x)去除f(x)所得的商式及余式都是一样的.因此，若在P[x]中g(x)不能整除f(x)，则在K[x]中，g(x)也不能整除f(x). • 四 举例 • 例1 证明若，则 • 例2求K 、L，使 . • 例3 若，则.

19. 第三节 多 项 式 的 最 大 公 因 式 • 一 多项式的最大公因式 • 定义1 如果多项式h(x)既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，那么h(x)就称为f(x)与g(x)的一个公因式. • 定义2 设f(x)与g(x)是P[x]中两个多项式. P[x]中多项式h(x)，称为f(x) • 与g(x)的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件： • 1）h(x)是f(x)与g(x)的公因式； • 2）f(x)与g(x)的公因式全是h(x)的因式. • 例如，对于任意多项式f(x)，f(x)就是f(x)与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0. • 二 最大公因式的性质 • 引理 如果有等式f(x)=g(x)q(x)+r(x) (1)成立，那么f(x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因式. • 定理2对于F[x]的任意两个多项式f(x),g(x)，在F[x]中一定存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表成f(x)，g(x)的一个组合，即有F[x]中多项式u1(x),u2(x)使d(x)= u1(x)f(x)+u2(x)g(x). (2) 成立。

20. 由最大公因式的定义不难看出，如果d(x)是f(x)，g(x)的两个最大公因式，那么一定有d(x)|c d(x)与c d(x)|d(x)，也就是说c d(x)也是f(x)与g(x)最大公因式。这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用（f(x)，g(x)）来表示首项系数是1的那个最大公因式. • 定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm). • 注：定理2的逆不成立. • 例如令 f(x)=x ,g(x)=x+1, • 则 x(x+2)+(x+1)(x-1)=2x2+2x-1. • 但2x2+2x-1.显然不是f(x)与g(x)的最大公因式. • 但是当(2)式成立，而d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式，则d(x)一定是f(x)与g(x)的一个最大公因式.

21. 三 多项式互素 • 定义3 P[x]中两个多项式f(x),g(x)称为互素（也称为互质）的，如果 • ((f(x),g(x))=1 • 显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然. • 定理3 P[x]中两个多项式f(x)，g(x)互素的充要条件是有P[x]中多项式u(x),v(x)使f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. • 四 互素多项使的性质 • 1如果f(x),g(x)都与多项式h(x)互素，那么乘积f(x)g(x)也与h(x)互素。 • 2如果多项式h(x)总整除多项式f(x)与g(x)的乘积，而h(x)与f(x)互素,那么h(x)一定整除g(x)。 • 3. 若多项式g(x),h(x)都整除f(x)，而g(x)与h(x)互素，那么乘积g(x)h(x)也整除f(x)。 • 推广：对于任意多个多项式fi(x)(i=1,2,…n)，d(x)称为fi(x)(i=1,2,…n)的一个最大公因式，如果d(x)具有下面的性质： • 1）d(x)|fi(x) (i=1,2,…n); • 2）如果fi(x)(i=1,2,…n)的任意一个公因式都整除d(x)，那么d(x)叫做fi(x)(i=1,2,…n)的最大公因式. • 我们仍用（f1(x),f2(x),…fn(x)）符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明fi(x)(i=1,2,…n)的最大公因式存在，而且可以用辗转相除法求出。 • 同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式ui(x) (i=1,2,…n),使 • u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+…+un(x)fn(x)=d(x) • 如果d(x)=1，那么fi(x)(i=1,2,…n)就称为互素的.同样有类似定理3的结论. • 注意： 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一. • 例如x2-1|(x-1)(x+1),但x2-1不能整除(x-1),且x2-1也不能整除(x+1). • 2) 性质1中没有互素的条件,则不成立. • 3）多个多项式互素时,它们并不一定两两互素. • 例如,多项式f1（x）=x2-3x+2 ,f2（x）=x2-5x+6 ,f3（x）=x2-4x+3 • 是互素的，但（f1（x）,f2（x））=x-2 • 令数域K是含有数域F的，若p(x)是F[X]的多项式f(x)与g(x)在F[X]中的首项系数为1的最大公因式,而d(x)是f(x)与g(x)在K[X]中首项系数为1的最大公因式,那么p(x)=d(x). • 即从数域F过渡到数域K时,f(x)与g(x)的最大公因式本质上没有改变. • 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形.

22. 注意： 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一. • 例如x2-1|(x-1)(x+1),但x2-1不能整除(x-1),且x2-1也不能整除(x+1). • 2) 性质1中没有互素的条件,则不成立. • 3）多个多项式互素时,它们并不一定两两互素. • 例如,多项式f1（x）=x2-3x+2 ,f2（x）=x2-5x+6 ,f3（x）=x2-4x+3 • 是互素的，但（f1（x）,f2（x））=x-2 • 令数域K是含有数域F的，若p(x)是F[X]的多项式f(x)与g(x)在F[X]中的首项系数为1的最大公因式,而d(x)是f(x)与g(x)在K[X]中首项系数为1的最大公因式,那么p(x)=d(x). • 即从数域F过渡到数域K时,f(x)与g(x)的最大公因式本质上没有改变. • 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形.

23. 第四节 因 式 分 解 定 理 • 一 不可约多项式 • 例 • . • 定义1 数域F上次数大于零的多项式p(x)称为域F上的不可约多项式(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域F上的两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积. • 根据定义，一次多项式总是不可约多项式，一个多项式是否可约是依赖于系数域的. • 显然，不可约多项式p(x)的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数大于零的多项式一定是不可约的。由此可知，不可约多项式p(x)与任一多项式f(x)之间只可能有两种关系，或者p(x)|f(x)或者(p(x),f(x))=1. • 定理1如果p(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x),g(x) p(x)|f(x)g(x),一定推出p(x)|f(x)或者p(x)|g(x). • 推广：如果不可约多项式p(x)整除一些多项式fi(x)(i≥2)的乘积，那么p(x)至少整除这些多项式之中的一个.

24. 二 因式分解定理 • 因式分解及唯一性定理 • 内容：数域F上次数大于零的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域F上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式 • f(x)=p1(x)p2(x)…pr(x)=q1(x)q2(x)…qs(x), • 那么必有r=s，并且适当排列因式的次序后有 qi(x)=cipi(x),i=1,2,…r. • 其中ci是一些非零常数. • 应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的. • 在多项式f(x)的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是f(x)的分解式成为 • f(x)=ap1k1(x)p2k2(x)…ptkt(x), • 其中a是各首项系数的乘积，pi(x)是不同的首项系数为1的不可约多项式，而ki是正整数.这种分解式称为标准分解式

25. 如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式f(x)与g(x)的最大公因式d(x)就是那些同时在f(x)与g(x)的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在f(x)与g(x)中所带的方幂中较小的一个.如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式f(x)与g(x)的最大公因式d(x)就是那些同时在f(x)与g(x)的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在f(x)与g(x)中所带的方幂中较小的一个. • 由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础. • 若f(x)与g(x)的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则f(x)与g(x)互素. • 注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域F上一个多项式是否可约一般都是很困难的. • 例 在有理数域上分解多项式为不可约多项式的乘积.

26. 第五节 重 因 式 • 一 重因式的定义 • 定义1 不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的n 重因式,如果p(x)n整除f(x),但p(x)n+1不整除f(x). • 如果n=1，那么p(x)称为f(x)的单因式；如果n>1，那么p(x)称为f(x)的重因式. • 显然，如果f(x)的标准分解式为 • f(x)=ap1k1(x)p2k2(x)…ptkt(x), • 那么pi(x)(i=1,2,…n)分别是f(x)的k1重，k2重，… ,kn重因式.指数ki=1的那些不可约因式是单因式；指数ki>1的那些不可约因式是重因式.

27. 注意:定理1的逆定理不成立.如 • , , • 是 的2重因式,但根本不是 是因式.当然更不是三重因式. • 推论1 如果不可约多项式是多项式的一个重因式,那么是 ， ,…, 的因式,但不是的因式 • 推论2不可约多项式p(x)是多项式f(x)的重因式的充要条件是p(x)是f(x)与 • f′(x)的公因式. • 推论3多项式f(x)没有重因式的充要条件是f(x)与f′(x)互素。 • 这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域F过渡到含F的数域K时都无改变,所以由定理1有以下结论: • 若多项式f(x)在F中没有重因式,那么把f(x)看成含F的某一数域K上的多项式时,f(x)也没有重因式. • 例1判断多项式f(x)=x5+2x4-2x3-8x2-7x-2有无重因式

28. 三 去掉重因式的方法 • 设f(x)有重因式,其标准分解式为 • f(x)=ap1k1(x)p2k2(x)…ptkt(x), 那么由定理1 • f′(x)=p1k1-1(x)p2k2-1(x)…ptkt-1(x)g(x), • 此处g(x)不能被任何pi(x)整除.于是 • (f′(x),f(x))=d(x)=p1k1-1(x)p2k2-1(x)…ptkt-1(x), • 用d(x)去除f(x)所得的商为g(x) • f(x)=ap1(x)p2(x)…pt(x), • 这样得到一个没有重因式的多项式g(x).且若不计重数,g(x)与f(x)含有完全相同的不可约因式.把由g(x)找pi(x)的方法叫做去掉重因式方法.

29. 第六节 多 项 式 函 数 • 到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式. • 一 多项式函数 • 设f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…anxn, (1) • 是R[x]中的多项式，c是R中的数，在(1)中用c代x所得的数 • a0+a1c+a2c2+a3c3+…ancn, • 称为f(x)当x=c时的值,记为f(c). • 这样，多项式f(x)就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数. • 因为f(c)在与数域R中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果 • u(x)=f(x)+g(x),v(x)=f(x)g(x) • 那么 u(c)=f(c)+g(c),v(c)=f(c)g(c)

30. 定理1(余数定理) 用一次多项式去除多项式f(x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(c). • 如果f(x)在x=c时函数值f(c)=0，那么c就称为f(x)的一个根或零点. • 由余数定理得到根与一次因式的关系. • 推论c是f(x)的根的充要条件是f(x)能被x-c整除. • 由这个关系，可以定义重根的概念.c称为f(x)的k重根，如果x-c是f(x)的k重因式.当k=1时，c称为单根；当k>1时，c称为重根. • 定理2 R[x]中n(0)次多项式f(x)在数域R中的根不可能多于n个，重根按重数计算. • 二 多项式相等与多项式函数相等的关系 • 在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有f(x),g(x) • f(x)g(x) • 而对于R中所有的数c都有 f(c)=g(c) • 由定理2不难对这个问题给出一个否定的回答. • 定理3如果多项式f(x),g(x)的次数都不超过n,而它们对n+1个(或更多个)不同的数有相同的值,那么f(x)=g(x). • 因为数域中有无穷多个数，所以定理3说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域R上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.

31. 三 综合除法 • 根据余数定理,要求f(x)当x=c时的值,只需用带余除法求出用x-c除f(x) 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法. • 设f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an • 并且设f(x)=(x-c)q(x)+r (2) • 其中q(x)=b0xn-1+b1xn-2+b2xn-3+…+bn-2x+bn-1 • 比较等式(2)中两端同次项的系数.得到 • a0=b0 • a1=b1-cb0 • a2=b2-cb1 • ……… • an-1=bn-1-cbn-2 • an=r-cbn-1 • 这样,欲求系数bi,只要把前一系数bi-1乘以c再加上对应系数ai,而余式r也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式: • c| a0 a1 a2 … an-1 an • +) cb0 cb1 … cbn-2 cbn-1 • b0 b1 b2 bn-1 r • 表中的加号通常略去不写. • 例1 用x+3除f(x)=x4+x2+4x-9. • 例2求t,使f(x)=x3-3x+t有重因式 • 注意 :若f(x)缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零. • 四 拉格朗日插值公式 • 已知次数不超过n的多项式f(x)在数域R中的n+1个数a1,a2,…an+1 的值b1,b2,…bn+1.设 • f(x)=这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式. • 例3 求次数小于3的多项式f(x),使 • f(1)=1,f(-1)=3,f(2)=3.

32. 四 拉格朗日插值公式 • 已知次数不超过n的多项式f(x)在数域R中的n+1个数a1,a2,…an+1 的值b1,b2,…bn+1.设 • f(x)=这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式. • 例3 求次数小于3的多项式f(x),使 • f(1)=1,f(-1)=3,f(2)=3. • 五 综合除法的应用 • 下面介绍将一个多项式表成一次多项式x-c的方幂和的方法.所谓将n次多项式f(x)表成(x-c)的方幂和，就是把f(x)表示成 • f(x)=an(x-c)n+an-1(x-c)n-1+…+a1(x-c)+a0 • 的形式.如何求系数ai(i=0,1,2,…n)，把f(x)改写成上式的形式，就可看出a0就是f(x)被(x-c)除所得的余数，而ai(I=1,2,…n)就是f(x)被(x-c)除所得的商式的系数.进而又可看出商式被x-c除所得的余式为a1，而ai(I=2,3,…)就是商式被x-c除所得商式的系数.这样逐次用x-c除所得的商式，那么所得的余数就是ai(i=0,1,2,…n).

33. 例4将f(x)=x4+2x3-3x2+x+5展开成x+2的多项式. • 解 令f(x)=(x+2)4+a(x+2)3+b(x+2)2+c(x+2)+d，则 • 问题变为把多项式f(x)表成x+2的方幂和,由综合除法： • -2 | 1 2 -3 1 5 • +) -2 0 6 -14 • ------------------------------------------------------- • -2 | 1 0 -3 7 |-9 • +) -2 4 -2 • ------------------------------------------------------ • -2 | 1 -2 1 |5 • +) -2 8 • ----------------------------------------------- • -2 | 1 -4 |9 • +) -2 • ---------------------------------- • 1|-6 • 所以 • f(x)=(x+2)4-6(x+2)3+9(x+2)2+5(x+2)-9，.

34. 第七节 复系数和实系数多项式的因式分解 • 一 复系数多项式因式分解定理 • 代数基本定理 每个次数大于零的复系数多项式在复数域中至少有一个根. • 利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为： • 每个次数大于零的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成： • 复系数多项式因式分解定理 每个次数大于零的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积. • 因此，复系数多项式具有标准分解式 • f(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αn) • 其中αi是不同的复数，i是正整数.标准分解式说明了每个n(n>0)次复系数多项式恰有n个复根（重根按重数计算）.

35. 二 实系数多项式因式分解定理 • 对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果是实系数多项式f(x)的复根，那么的共轭数也是f(x)的根,并且与有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对. • 实系数多项式因式分解定理 每个次数大于零的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式. • 因此，实系数多项式具有标准分解式 • 其中全是实数，,是正整数，并且是不可约的，也就是适合条件.. • 代数基本定理虽然肯定了次方程有个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.

36. 三 次多项式的根与系数的关系. • 令 • (1) • 是一个(>0)次多项式,那么在复数域中有个根因而在中完全分解为一次因式的乘积: • 展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系. • 其中第个等式的右端是一切可能的个根的乘积之和,乘以. • 若多项式 • 的首项系数那么应用根与系数的关系时须先用除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式: • 利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式. • 例1求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式. • 例2. 分别在复数域和实数域上分解为标准分解式.

37. 第八节 有 理 系 数 多 项 式 • 一 有理数域上不可约多项式 • 作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式. • 定义1：若是一个整系数多项是f(x)的系数互素，那么f(x)叫做一个本原多式。 • 高斯引理 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。 • 定理1 若是一个正系数（n>0)次多项式f(x)在有理数域上可约，那么f(x)总可以分解成次数都小于n的两个多项式的乘积. • 定理2 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积. • 以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.

38. 推论 设，是整系数多项式，且是本原多项式，如果，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数多项式. • 可以用下面方法判断多项式的不可约： • 定理3 艾森斯坦（Eisenstein）判别法：设f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an • 是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p，使 • （ⅰ）最高次项系数a0不能被p整除， • （ⅱ）其余各项的系数都能被p整除， • (ⅲ)常数项an不能被p2整除， • 那么多项式f（x）在有理数域上不可约。 • 由艾森斯坦判断法得到: • 有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如.,其中是任意正整数. • 艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件. • 有时对于某一个多项式,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把适当变形后,就可以应用这个判断法.

39. 例3设是一个素数,多项式 • 叫做一个分圆多项式,证明在中不可约. • 证明：令，则由于 • , • , • 令，于是 • , • 由艾森斯坦判断法，在有理数域上不可约，也在有理数域上不可约.

40. 二 有理系数多项式的有理根 • 设 • 是一个有理系数多项式.选取适当的整数乘，总可以使是一个整系数多项式.如果的各项系数有公因子，就可以提出来，得到 • , • 也就是 • 其中是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子. • 如果一个非零的整系数多项式的系数没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式都可以表示成一个有理数与一个本原多项式的乘积，即 • . • 可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果 • , • 其中都是本原多项式，那么必有 • 因为与只差一个常数倍，所以的因式分解问题，可以归结为本原多项式的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的. • 定理4设 • 是一个整系数多项式.而是它的一个有理根,其中互素,那么 • (1) ;特别如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子. • (2) 其中是一个整系数多项式. • 给了一个整系数多项式,设它的最高次项系数的因数是,常数项的因数是那么根据定理12,欲求的有理根,只需对有限个有理数用综合除法来进行试验. • 当有理数的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算. • 首先,1和-1永远在有理数中出现,而计算与并不困难.另一方面,若有理数是的根,那么由定理12, • 而也是一个整系数多项式.因此商 • 都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进行试验.(我们可以假定与都不等于零.否则可以用或除而考虑所得的商.) • 例1求多项式 • 的有理根. • 例2 证明 • 在有理数域上不可约. • 例3 证明多项式f(x)=x4-2x3+8x-10在有理数域上不可约。

41. 都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进行试验.(我们可以假定与都不等于零.否则可以用或除而考虑所得的商.)都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进行试验.(我们可以假定与都不等于零.否则可以用或除而考虑所得的商.) • 例1求多项式 • 的有理根. • 例2 证明 • 在有理数域上不可约. • 例3 证明多项式f(x)=x4-2x3+8x-10在有理数域上不可约。

42. 第三章 行列式 • 第一节 线性方程组与行列式 • 第二节 排列 • 第三节 n阶行列式 • 第四节 余子式与行列式展开 • 第五节 克莱姆规则

43. 第一节线性方程组与行列式 • 一. 初等代数回顾 • 1. 二阶行列式与二元一次方程组 • 2. 三阶行列式与三元一次方程组 • 二. 线性方程组 • 三. 后续内容介绍

44. 二阶行列式与二元一次方程组 • 二阶行列式的定义: • 二阶行列式与二元一次方程组的解的关系: 当二元一次方程组 的系数行列式 时, 它的解为:

45. 三阶行列式与三元一次方程组 • 三阶行列式的定义: • 三阶行列式与三元一次方程组的解的关系: 当三元一次方程组 的系数行列式 时, 它的解为:

46. 其中:

47. 线性方程组 由若干个含有n个未知数的一次方程构成的方程组称为n元线性 方程组. 线性方程组中方程的个数未必等于未知数的个数. n元线性 方程组的一般形式是: (1) 其中, x1, x2,,xn表示未知数, aij, bi(i=1,2,,m, j=1,2, ,n)表示已知 的常数, 称为aij未知数的系数, 称bi为常数项. 方程组(1)的一个解是指这样的一组数(k1, k2,,kn), 用它们依 次代替方程组(1)的未知数x1, x2,,xn后, (1)中的每一个方程都成为 恒等式.

48. 后续内容介绍 线性方程组及其解法是线性代数的基本内容之一, 同时线性代数的其它内容, 像矩阵、线性空间等, 都与它有着十分密切的内在联系。 关于线性方程组需要解决的问题有: 线性方程组是否有解?如果有解, 它有多少个解? 如何求出这些解? 在初等代数中我们已经知道, 二、三元线性方程组可用系数行列式判断是否有唯一解, 而且在有唯一解时还可用行列式表示出这个唯一的解。 对一般的n元线性方程组是否也可用行列式判断它是否有唯一的解并用行列式表示出这个唯一的解? 回答是肯定的。本章将首先把二、三阶行列式的定义推广到一般的n阶行列式并讨论其性质, 然后给出线性方程组有唯一解的条件及这个唯一解的求解公式。在下一章我们将讨论一般的线性方程组的解法。

49. 第二节 排列 • 一. 基本概念 • 1. 排列: n个数码1,2,…,n的一个排列是指由这n个数码组成的一个有序组. n个数码的不同排列共有n!个. • 2. 反序数: 在一个排列里, 如果一个较大的数排在一个较小的数的前面, 则称这两数构成一个反序. 一个排列中所有反序的个数称为这个排列的反序数. 例如排列213的反序数是1, 而排列231的反序数是2. • 3. 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶)数, 则称这个排列为奇(偶)排列. 例如213是奇排列, 231是偶排列. • 4. 对换: 把一个排列中的数码i和j的位置互换, 而其它数码的位置保持不变则得到一个新的排列. 对排列进行的这样一种变换称为一个对换, 并用符号(i, j)表示.

50. 第二节 排列 • 二. 基本性质 • 定理1. 设i1i2…in和j1j2…jn是n个数码的任意两个排列, 那么总可以由i1i2…in经过一系列对换而得到j1j2…jn. • 定理2. 每一个对换都改变排列的奇偶性. • 定理3. 当n2时, n个数码的奇排列与偶排列的个数相等, 各为n!/2.