Correction TD SA n°11

1. Correction TD SA n°11 Système multivariable Représentation fréquentielle Représentation d’état

2. Matrice de transfert H(p)=Y(p)/U(p)

3. Discussion sur le modèle obtenu • Le système réagit plus vite à des variations de pression d’alimentation de gaz de combustion (constante de temps de 5minutes) qu’a des variations de débit d’eau de refroidissement. • La matrice H(p) n’est pas diagonale, il y a donc couplage. • Les signes « + » de H11(p) et « – » de H21(p) rend compte du fait que lorsque la pression de gaz de combustion augmente, le débit de sortie augmente et la température de sortie de distillat est plus faible. • Les signes « – » de H12(p) et « – » de H22(p) rend compte du fait que lorsque le débit d’eau de refroidissement augmente, alors le débit de sortie ainsi que la température de sortie de distillat diminue.

4. Schéma-bloc de la régulation proposé Consigne de débit de sortie du distillat Pression du gaz de combustion - + + Débit de sortie du distillat Consigne de température de sortie du distillat Température de sortie du distillat + + - Débit d’eau de refroidissement

5. Couplage des 2 boucles Si R1(p) est un correcteur PI; L’effet Intégrale (I) de cette correction impose une erreur statique nulle en régime permanent. Cela implique qu’une variation de consigne de température (l’autre entrée) ne modifie pas la valeur permanente du débit de sortie de distillat. Il y a tout de même un régime transitoire de perturbation du au couplage de ces 2 sorties.

6. En éliminant de la 1er équation, et de la seconde, il vient: Représentation d’état La modélisation fréquentielle fournie correspond, dans le domaine temporel, à la donnée d’équations différentielles couplées:

7. Ce système est-il commandable? • Calculons le rang de la matrice de commandabilité • Instruction Maple: with(linalg); rank(augment(B,A.B)); On trouve 2 • Par le calcul: Mc= Colonne C4=(-1/10)C2  On élimine la colonne C4 Colonne C3=(-1/5)C1  On élimine la colonne C3 Il reste les 2 1er colonnes dont le déterminant vaut -1, la matrice est de rang 2 Rang(Mc)=Dim(A)=Ordre du système  Le système est commandable: Il existe une commande U(t) qui permet de l’amener depuis un état quelconque X1 vers un état quelconque X2 Concrètement, pour notre cas d’étude: Tant que notre modèle est valable, on peut amener le débit de sortie du distillat, ainsi que sa température à n’importe quelle valeurs souhaitées

8. Représentation d’état de la boucle fermée L’équation d’état du système en BO est: On souhaite générer une commande de la forme: On en déduit l’équation d’état de la BF cherchée Dès lors que l’on peut piloter une sortie indépendamment de l’autre Elles sont découplées  sont diagonales

9. L=? et T=? pour découpler les sorties et imposer les dynamiques correspondantes L’énoncé indique de poser Cela permet de simplifier les calculs (qui sont déjà bien lourd): Calculons: On veut: • Que les 2 matrices ci-dessus soient diagonales • Que les valeurs propres de la matrice soient égales à

10. Conditions algébriques pour remplir les conditions Les 2 conditions précédentes donnent des conditions sur les valeurs des éléments des matrices L et T: Avec les valeurs ci-dessus, la commande permet de découpler la variation du débit de distillat de sa température de sortie.en conservant les constantes de temps obtenues en boucle ouverte relatives à chacune des entrées