REVISIÓN DEL ANÁLISIS PARTICIONAL

1. REVISIÓN DEL ANÁLISIS PARTICIONAL Elaborado por: Daniel Montoya Pérez Código: 201010006142

2. 2.1. IDEA CENTRAL Se considera la interacción en doble sentido entre dos campos escalares X y Y, con variables de estado x(t) y y(t) respectivamente, que están representadas por las ecuaciones diferenciales de primer orden: Donde f(t) y g(t) son las fuerzas aplicadas. Mediante el método de integración aguas arriba de Euler en ambos términos se tendría:

3. Donde , etc. Al variar en el instante del tiempo n=0, 1, 2, … se tiene: Donde están dados por las condiciones iniciales. En el esquema monolítico el sistema de ecuaciones anterior se soluciona para cada paso de tiempo.

4. 2.1.1. ESCALONAMIENTO Un método de solución más simple se logra con el empleo de un sistema partición escalonado con predicción en y, así: Donde es un valor predicho o simplemente predictor. Las opciones más comunes son: (llamada la predicción del último valor) y . El avance más grande de éste método consiste en que el sistema se puede solucionar en paralelo.

5. Si en el diagrama anterior se omiten las comunicaciones entre campos iguales (Ax y Ay), obtendríamos un diagrama de escalera, de donde deriva su nombre de escalonado.

6. 2.1.2. PREOCUPACIONES Estabilidad En los problemas lineales, la primera preocupación que encontramos es la degradación de la estabilidad de la solución debida a la predicción y el cambio en el tiempo. Sin embargo, como se muestra en Partitioned analysis of coupled mechanical systems, Invited Plenary Lecture, 4th World Congress in Computational Mechanics, el procedimiento de escalonamiento no perjudica la estabilidadni la precisión del métodoen tanto en integrador y el predictor seanapropiadamenteseleccionados. De echo los procedimientos de escalonado son muy efectivos para sistemas acoplados de tipo parabólicos de primer orden.

7. Sin embargo, para los sistemas oscilatorios de segundo orden, la reducción en la estabilidad de la solución puede ser drástica o incluso catastrófica. Por lo general es menor que la obtenida con el método monolítico, pero puede ser recuperada por medio de iteración entre los campos. La iteración se lleva realiza mediante sustituciones cíclicas en la misma porción de tiempo. Sin embargo, la iteración entre campos es más costosa que la reducción de la escala temporal y se logra la misma precisión. También se sabe que la solución del problema monolítico es más costosa que la del problema escalonado, por lo que se debe realizar un balance costo beneficio. Precisión

8. En problemas fuertemente no lineales, la estabilidad y la precisión están fuertemente entrelazadas, por lo que se consideran una sola en la definición del método. En la figura 2.4(a) se puede ver que el sistema de escalonamiento simple no es aplicable al problema de paralelización entre campos, debido a que se debe resolver en orden serial, primero X y luego Y. La variación de la figura 2.4(b) permite que el programa avance en su estado interno concurrentemente y se pueda realizar la paralelización entre campos.

9. 2.1.3 AYUDAS DEL ANALISIS PARTICIONAL En la siguiente figura se muestran las diferentes ayudas de compensación que se pueden emplear en el método de escalonamiento: Algunas de ellas ya se discutieron con anterioridad y las demás se presentan más adelante.