LEYES Y TEOREMAS APLICADOS

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERIA : ESCUELA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL CURSO : CIRCUITOS Y MAQUINAS ELECTRICAS VI CICLO SET. 2011 LEYES Y TEOREMAS APLICADOS EN LOS CIRCUITOS ELECTRICOS ING° CESAR LOPEZ AGUILAR Docente del Departamento de Energía y Física

2. LEYES DE OHM Georg Simon Ohm en 1827 determinó la ley que lleva su nombre y que a continuación dice : La resistencia es la propiedad física de un elemento ó un dispositivo que impide el flujo de corriente y se representa con el símbolo R. Un resistor opera dentro de su intervalo especificado de corriente  I y puede ser modelado mediante las leyes de Ohm. PRIMERA LEY DE OHM .- Se ha demostrado que la corriente I que circula por una resistencia es direstamente proporcional a la V, siempre y cuando la temperatura en el resistor permanezca constante. U = R . I R = V / I(  ) Donde : V = Tensión en Voltios ( V ). I = Corriente en Amperios ( A ) R = Resistencia en Ohmios (  ). La resistencia R es la constante de proporcionalidad que relaciona a la tensión y corriente. V - I I - V 2

3. CONTINUACION SEGUNDA LEY DE OHM .- La resistencia R de un conductor es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su área transversal A. R =  ( L / A ) Donde :  = Resistividad eléctrica (  - m ) ó (  - mm² / m ) L = Longitud de la resistencia en m. A = Es el área transversal en m² y mm² LOS SUPERCONDUCTORES .- Son los materiales que transportan energía eléctrica sin disipación. Estudiando la temperatura de algunos materiales conductores próximos a cero Kelvin se consigue obtener resistividades casi nulas. Este fenómeno fue inicialmente observado en algunos metales entre ellos se encuentran el : Mercurio, cadmio y estaño. Actualmente en la composición de los superconductores se utiliza una mezcla de óxidos de metales : Talio, calcio, bario y cobre. Los físicos están haciendo estudios para obtener superconductores adecuados a altas temperaturas, pues consiguiendose ésto no habrá mas disipación de energía eléctrica revolucionando de este modo el transporte de energía. 3

4. FORMULAS QUE SE DERIVAN DE LA LEY DE OHM U² / R R . I P / I R . I² P U  P.R U . I U / R U / I R I  P / R P / I² P / U U² / P 4

5. LEY DE JOULE James Prescott Joule en 1841 descubrió la relación entre la corriente y el calor ó la energía producida determinándose así la ley que lleva su nombre y que a continuación dice : Cuando un resistor se calienta debido al paso de una corriente eléctrica se dice que ocurre el EFCTO JOULE. En un intervalo de tiempo dado la energía eléctrica que el resistor consume es disipada en forma de calor. Entonces la potencia eléctrica consumida es igual a la potencia eléctrica disipada esto es : P = U . I = R . I² = U² / R Vatios De estas expresiones podemos afirmar lo siguiente : - La potencia en un resistor aumenta si la corriente aumenta. - La potencia de un resistor, bajo una tensión constante, aumenta si disminuye su resistencia. De la formulas anteriores podemos afirmar que :  / t = R . I²  = t . R . I² Ley de joule Esta expresión nos permite calcular la energía eléctrica convertida en energía térmica en un intervalo de tiempo. 5

6. LEYES DE KIRCHHOFF Gustav Robert Kirchhoff en 1847 estableció dos leyes que relacionan la corriente y la tensión en los circuitos eléctricos. PRIMARA LEY DE KIRCHHOFF ( LKC ).- La suma algebraica de las corrientes en un nodo es cero en todo instantante. Esto es : I1 - I2 - I3 = 0 y I1 + I3 - I2 - I4 - I5 = 0 I2 I3 I2 A A I1 I1 I3 I4 I5 I1 = I2 + I3 I1 + I3 = I2 + I4 + I5 En forma general podemos afirmar que : Las sumatoria de las corrientes que llegan es igual a la sumatoria de las corrientes que salen.  ILLEGAN =  ISALEN Notese que las corrientes que entran al nodo son positivas mientras las que salen son negativas. 6

7. CONTINUACION SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF ( LKV ).- En cualquier malla, la suma algebraica de los tensiones a lo largo de sus ramas , recorridos en sentido arbitrario, es nula. En la siguiente si recorremos el circuito en sentido horario, a partir del punto A , una vuelta hasta cumplir una vuelta tenemos : + - R1 La expresión general esta dado por :  U = 0 La sumatoria de tensiones alrededor de una malla es nula. A B I1 I4 E1 R2 R4 E2 I2 D C R3 I3 + - - R1 . I1 + E1 + R2 . I2 - R3 . I3 - E2 - R4 . I4 = 0 Los signos - se deben a que el sentido de la corriente es contrario al sentido adoptado y usamos el signo + cuando el sentido de la corriente coincide con el sentido adoptado 7

8. CONTINUACION RECOMENDACIONES PARA LA SOLUCION DE RESDES ELECTRICAS 1.- Marcar con letras todos los nodos de la red. 2.- Marcar todas las mallas. 3.- Marcar arbitrariamente, los sentidos de las intensidades de las corrientes en . los diversos ramos de la red. 4.- Adoptar arbitrariamente el sentido de la malla ( horario ó antihorario ). 5.- Considerando que existan n nodos y m mallas en la red : - Escoger la LKC para los n -1 nodos. - Escoger la LKV para m mallas principales. 6.- Escriba las ecuaciones y constate si el número de ecuaciones son las ade- . cuadas para solucionar el problema. 7.- Resolver el sistema de ecuaciones. En caso que resulte un valor negativo para la intensidad de corriente de un determinado ramo se debe invertir el sentido adoptado arbitrariamente colocando el sentido convencional y expresar el resultado en valor absoluto. Si ese ramo tiene un generador la corriente convencional debe entrar por el polo negativo y salir por el positivo; caso contrario será un receptor. 8

9. CONTINUACION Ejemplo.- En la figura se le solicita encontrar : a.- Cual es la intensidad que circula por las baterias. b.- Cual es el valor de la tensión entre los puntos A y B. c.- Cual de las dos baterias esta funcionando como receptor. 5  E1 = 6 V - + B A E2 = 12 V - + 10  9

10. TEOREMA DE LA SUPERPOSICION EL principio de superposición exige que el efecto total de varias causas que actúan simultáneamente es igual a la suma de los efectos de las causas individuales actuando una a la vez. Para aplicar el principio de superposición se requiere desactivar todas las fuentes independientes menos una y calcular la respuesta debida a esa fuente. Después se repite el proceso inhabilitando todas, menos una segunda fuente. La respuesta total será la suma de todas las respuestas individuales. NOTAS : 1.- Cuando se considera una fuente independiente, las demás se fijan en cero. . Entonces una fuente independiente de voltaje aparece como un corto . Circuito con voltaje cero. 2.- Si una fuente independiente de corriente se fija en cero, no fluye corriente . alguna, aparece como un circuito abierto. 3.- Es importante destacar que si existe una fuente dependiente debe mante- . nerse activa ( inalterada ) durante el proceso de superposición. Ejemplo.- Calcular la corriente I , en el resistor de 6 Ohmios , de la figura, aplicando el teorema de superposición. 10

11. CONTINUACION 3  I Procedimiento.- 1.- Fijar en cero la fuente de corriente ( circuito . abierto ) y se calcula i1. . Lo demás permanece constante. + - 6 V 6  2 A 2.- Luego se fija en cero la fuente de tensión ( corto circuito ) y se calcula i2. . Lo demás permanece constante. 3.- La corriente total es la suma de i1 e i2. 3  I1 3  I2 + - 6 V 6 V 6  6  2 A i1 = 6 / 9 A i2 = [ 3 / ( 3 + 6 ) ] . 2 = 6 / 9 A I = i1 + i2 = 6 / 9 + 6 / 9 = 12 / 9 = 4 / 3 A 11

12. CONTINUACION SIMBOLOGIA UTILIZADA Fuente de tensión .- Esquematiza una batería y/o una fuente independiente de tensión, la corriente ingresa por el borne negativo. Cuando se inhabilita dentro del circuito se produce el corto circuito entre sus bornes. +- V Fuente de corriente.- Esquematiza una fuente de co-rriente independiente el sentido de circulación esta indicado en el símbolo. Cuando se inhabilita dentro del circuito se produce el circuito abierto. I Fuente dependiente.- Es un generador de tensión ó corriente cuyos valores dependen de otra variable del circuito. Fuente de corriente ó tension dependientes.- Esquema-tiza una fuente de corriente ó tensión dependiente. Este tipo de fuentes no pueden ser inhabilitados por ningún motivo. NO SE USARA +- nI ó nV 12

13. FUENTE DEPENDIENTES DESCRIPCION SIMBOLO + - Id Fuente de voltaje controlado por corriente ( FVCC ),  es la ganancia de la FVCC . Las unidades de  son voltios / amperios. + Vc = 0 ic - Vd =  Ic Id Ic = 0 Fuente de voltaje controlado por tensión ( FVCV ), b es la ganancia de la FVCV . Las unidades de b son voltios / voltios. + - + Vc - Vd = b Vc Fuente de corriente controlado por tensión ( FCCV ), g es la ganancia de la FCCV . Las unidades de g son amper / voltios. + - Ic = 0 + - Vd Id = g Vc Vc + - Fuente de corriente controlado por corriente ( FCCC ), d es la ganancia de la FVCV . Las unidades de d son voltios / voltios. + - Vd Id =d Vc Vc = 0 ic 13

14. TEOREMA DE THEVENIN El Ing. Francés M. L. Thévenin en 1883 desarrollo y publicó el teorema que lleva su nombre, es una potente y excelente herramienta en la solución de circuitos eléctricos. El teorema de Thévenin plantea que cualquier circuito cuyos elementos son resistencias y fuentes de energía con un par de terminales identificados , pueden reemplazarse por una conbinación, en serie, de una fuente de tensión ideal Vth y una resistencia Rth. Donde : Vth = Voltaje del circuito abierto en los dos terminales . Rth = Es la razón del voltaje en circuito abierto y la corriente de corto circuito en el par de terminales. El objetivo de este teorema es reducir determinada parte del circuito a una fuente y un solo elemento. Este circuito equivalente reducido, conectado al resto del circuito , permitirá determinar la corriente ó el voltaje de interés. SOLAMENTE TRABAJAREMOS CON FUENTES INDEPENDIENTES Para facilitar la comprensión del desarrollo del presente teorema presentare-mos a continuación un procedimiento y es el siguiente : 14

15. PROCEDIMIENTO PASO OPERACION ESQUEMA A Identificar el circuito A y B CIRCUITO A CIRCUITO B CIRCUITO A B Separar el circuito A del B Rth C Sustituir el circuito A con su equivalente de Thevenin. + Rth - Vth C Reconectar el circuito B y de- terminar la variable de interés. + Rth CIRCUITO B - Vth

16. RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO 1.- Fijar adecuadamente los terminales donde se va aplicar el teorema de . Thévenin. 2.- Para obtener la resistencia equivalente Rth de Thévenin cortocircuitar las . fuentes independientes y hacer la reducción ( serie ó paralelo ) hasta llegar . a obtener Rth. 3.- Utilizar la metodología de divisores de tensión para encontrar la tensión . equivalente de Thévenin entre los terminales. 4.- Hacer el circuito equivalente de Thévenin y reemplazar en el modelo los . valores encontrados en los cálculos. 5.- Si tiene algún inconveniente consultar con el Profesor. 16

17. CONTINUACION Ejemplo.- Utilizando el teorema de Thevenin calcular la corriente I por el resistor R en el circuito de la fig. Todas las reistencias entan en Ohmios. I 5 4 5 4 + + 20 R 20 - - 50 V 50 V 5 4 5 4 + Vth 20 20 - Rth 50 V I Rth = 5 . 20 / ( 5 + 20 ) = 8  Vth = 50. 20 / ( 20 + 5 ) = 40 V Si R = 10  I = 40 / 8 + 10 = 40 / 18 A. Rth = 8 + - R Vth = 50 V 17

18. TEOREMA DE NORTON El Ing. Estadounidense E. L. NORTON en 1926 publicó su teorema que lleva su nombre, este teorema es el dual del teorema de Thénenin. El teorema de Norton plantea que cualquier circuito cuyos elementos son resis-tencias y fuentes de energía con un par de terminales identificados , pueden reemplazarse por una combinación, en paralelo, de una fuente de corriente ideal In y una una resistencia Rn. Donde : In = Corriente de corto circuito en los terminales manteniendo la fuente independiente activada. Rth = Resistencia equivalente en los terminales cortocircuitando la fuente independiente. SOLAMENTE TRABAJAREMOS CON FUENTES INDEPENDIENTES El teorema de Norton se especifica con el esquema junto conformado por una fuente de corriente In en paralelo con una Rn. Rn In 18

19. RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO 1.- Fijar adecuadamente los terminales donde se va aplicar el teorema de . Norton. 2.- Para obtener la resistencia equivalente Rn de Norton cortocircuitar las . fuentes independientes y hacer la reducción ( serie ó paralelo ) hasta llegar . a obtener Rn. 3.- Haciendo un cortocircuito en los terminales del circuito, manteniendo activa . la fuente de tensión independiente, calcular la corriente circulante por la . malla In . Tener cuidado cuando se cortocircuitan los terminales pués mu- . muchas veces quedaran una o varias resistencias sin trabajar. 4.- Hacer el circuito equivalente de Norton y reemplazar en el modelo los . valores encontrados en los cálculos. 5.- Si tiene algún inconveniente consultar con el Profesor. 19

20. CONTINUACION Ejemplo.- Utilizando el teorema de Norton hallar su circuito equivalente del circuito de la fig. Todas las reistencias entan en Kilohmios. 8 8 + 15 V 6 6 - 4 4 Rn 8 8 In In + + 15 V 15 V 6 - - 4 4 Haciendo los cálculos tenemos : Rn = 6 . 12 / ( 6 + 12 ) = 4 K In = 15 / ( 8 + 4 ) = 1.25 A. In =1.25 A Rn = 4 K 20

21. TEOREMA DE LA MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA Si deseamos conocer cual es la máxima potencia que puedo extraer de una fuente procedo como sigue : Rc CIRCUITO A 1.- Identifico los terminales de la carga. I 2.- Si el circuito es complejo, entonces, aplico . el teorema de Thévenin y planteo o hago el . respectivo modelo. Rth + - Rc Vth El teorema de la máxima transferencia de potencia establece que la potencia máxima entregada por una fuente representada por su circuito equivalente de Thévenin se alcanza cuando la carga Rc es igual a la resistencia de Thévenin Rth. 21

22. CONTINUACION Los sistemas eléctricos se diseñan para llevar la potencia a la carga con la mayor eficiencia. Por ello el esfuerzo se centra en reducir Rth . Rth = Rsistencia interna de la fuente + resistencia de la línea. La potencia en la carga de la figura adjunta es : P = I² . Rc I = Vth / ( Rth + Rc ) P = [ Vth / ( Rth + Rc ) ] ² Rc. (  ) I Rth + - Rc Vth Suponiendo Vth y Rth constantes la máxima potencia extraida de la fuente estará en función de la resistencia de la carga Rc. Esto implica que : d P/ d Rc = Vth² { ( Rth + Rc ) ² - 2 ( Rth + Rc ) Rc} / ( Rc + Rth )² ( Rc + Rth )² La derivada se hace igual a cero ( Rth + Rc ) ² - 2 ( Rth + Rc ) Rc} = 0 ( Rth + Rc ) ( Rth + Rc - 2 Rc } = 0 Rth = Rc (  ) Para demostrar la validez de la ec.  se debe demostrar que d² P / dRc² < 0. 22

23. CONTINUACION Reemplazando ( ) en (  ) tenemos : Pmax = Vth ² Rc / ( 2 . Rc ) ² = Vth ² / 4 . Rc La eficiencia de la transferencia de potencia se define como la razón de la potencia entregada a la carga Psal, a la potencia entregada por la fuente Pin. Por tanto  = Psal / Pin Para la máxima transferencia de potencia, cuando Rs = Rc se tiene: Pin = Vth . I = Vth { Vth / ( Rth + Rc ) } = Vth ² / 2 Rc Luego la potencia máxima entregada a la carga resulta ser : Psal = Pmax = Vth ² / 4 Rc Entonces :  = P sal / Pin = 0.50 En condiciones de transferencia máxima de potencia solo se alcanza el 50 % de eficiencia. Luego los circuitos tendrán eficiencias menores de 50 % en condiciones de máxima potencia. 23

24. HM 24

25. ANALISIS DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS A continuación revisaremos algunas técnicas que nos permitan reducir la red en forma facilmente analizable. A continuación presentamos el análisis de un circuito con : UNA FUENTE INDEPENDIENTE.- Se desea calcular el voltaje de salida Vsal de la siguiente figura : Rp R1 R2 R3 Rs + R6 Vsal R4 R5 V - Rs + Rp V - Vsal 25

26. CONTINUACION Calcular la corriente I1 cuando R4 = 2 y R3 = R4 = 8  3  6  I1 R4 I1 6 3 9 3 9 18 18 R3 R2 I I 3  I1 = { ( 1 / R1 ) I } / ( 1 / R1 + 1 / R2 ) I1 = { ( I / 3 ) I } / ( 1 / 3 + 1 / 3 ) I1 = { ( 1 / 3 ) I } / ( 2 / 3 ) I1 = ( 1 / 2 ) I I1 3 3 R1 R2 I 26

27. CONTINUACION UNA FUENTE DEPENDIENTE.- Se desea calcular la corriente I de la siguiente figura : I I - - + + 2 2 V1 V1 2V1 2V1 4 + + 4 3 - 18 V - 18 V 8 - 18 = 2 I + 2 V1 + 3 I = 0 Pero V1 = 2 I 2 I + 2 ( 2 I ) + 3 I = 18 I = ( 18 / 9 ) I = 2 A. 27

28. DISEÑO DE UN DIVISOR DE TENSION Un divisor de voltaje se conecta a una fuente y a un voltímetro como se mues-tra en la fig. Idealmente Rf = 0 ( resistencia interna de la fuente ) y Rm =  ( voltímetro ideal ) . Sin embargo para un circuito práctico Rf = 125  y Rm = 10 K . Seleccionar R1 y R2 para minimizar el error introducido por Rf y Rm cuando se desea que V / Vf = 0.75 I Rf + voltimetro + V R2 Rm Vf - - DEFINIR LA SITUACION 1.- Se utiliza un divisor de voltaje con una fuente práctica con resistencia Rf. 2.- El resistor R2 esta cargado por la resistencia del voltímetro Rm. 3.- La razon deseada es V / Vf = 0.75 28

29. CONTINUACION OBJETIVO Determinar R1 y R2 para minimizar la diferencia entre los valores del voltaje V para los casos ideal y práctico. ESTABLECER EL PLAN 1.- Determinar la tensión V para el caso ideal. 2.- Determinar la tensión V ’ para el caso práctico. 3.- Definir una medida del error. 4.- Minimizar el error y después determinar R2 y R1. ACTUAR CONFORME AL PLAN El divisor de tensión ideal se obtiene Rf = 0 y Rm =  Esto es : V = { R2 / ( R1 + R2 ) } Vf = a Vf Donde a = R2 / ( R2 + R1 ) En el caso práctico la tensión de salida es : V ’ = { Rp / ( Rf + R1 + Rp ) } Vf Donde Rp = R2 . Rm / ( R2 + Rm ) 29

30. CONTINUACION ACTUAR CONFORME AL PLAN El divisor de tensión ideal se obtiene Rf = 0 y Rm =  Esto es : V = { R2 / ( R1 + R2 ) } Vf = a Vf Donde a = R2 / ( R2 + R1 ) En el caso práctico la tensión de salida es : V ’ = { Rp / ( Rf + R1 + Rp ) } Vf Donde: Rp = R2 . Rm / ( R2 + Rm ) y R1 = R2 ( 1 - a ) / a V ’ = { a R2 Rm / [ ( a Rf + R2 ) ( Rm + R2 ) - a R2 ² ] } Vf Luego el error se define como : e = ( V - V’’ ) / V = ( a Vf - V ’ ) / a Vf. Al sustituir V y V ’ en la última ecuación tenemos : e = 1 - { R2 Rm ) / [ ( a Rf + R2 ) ( Rm + R2 ) - a R2 ² ] ( t ) El objetivo es minimizar el error e seleccionando R2, se puede utilizar el cálculo diferencial y establecer que: de/ dR2 = 0 para determinar el mejor valor de R2. 30

31. CONTINUACION R2 =  3 Rm Rf Cuando a = 0.75 Asi mismo Rm = 10 K . Y Rf = 125 . R2 = 1936.5 . Ademas de a = R2 / ( R2 + R1 ) R1 = R2 ( 1 - a ) / a R1 = 1936.5 ( 1 - 0.75 ) / 0.75 R1 = 645.5 . Al reemplazar R2 , R1, a, Rm y Rf en la ecuación ( t ) obtenemos: e = 1 - 0.0907 = 0.093 = 9.3 % El error mínimo es de 9.3 %. 31

32. CONTINUACION RECLAMA LA MISELANEA DE PROBLEMAS FIN 32