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Portfolio-Selection-Theorie

Portfolio-Selection-Theorie. Ansatz für Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit Der Portfolio-Selection-Theorie liegen folgende Annahmen zugrunde: Es handelt sich um ein Ein-Perioden-Modell

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Portfolio-Selection-Theorie

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Presentation Transcript

  1. Portfolio-Selection-Theorie • Ansatz für Investitionsentscheidungen unter Unsicherheit • Der Portfolio-Selection-Theorie liegen folgende Annahmen zugrunde: • Es handelt sich um ein Ein-Perioden-Modell • Einem heutigen, sicheren Kapitalbetrag stehen unsichere Rückflüsse in t1 entgegen, denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden können. • Der betrachtete Investor ist risikoscheu, d.h. er ist zu einem Verzicht auf Ertragsanteile zugunsten von Risikominderungen bereit.

  2. Portfolio-Selection-Theorie • Der Portfolio-Selection-Theorie liegen folgende Annahmen zugrunde: • Maß für den Ertrag ist der Erwartungswert der Renditen (m) • Als Risikomaß werden die Streuungsparameter Standardabweichung (s) bzw. Varianz (s2) der möglichen Renditen berücksichtigt. Risikoreduktion ist die Minimierung der Streuung. • Die einzelnen Wertpapiere sind beliebig teilbar.

  3. Portfolio-Selection-Theorie • Ein effizientes Portfolio ist dann gegeben, wenn jeweils aus einer Menge betrachteter Wertpapiere keine andere Mischung bestimmt werden kann, für die gilt: • gleiches m bei geringerem s, oder • gleiches s bei größerem m, oder • sowohl größeres m als auch geringeres s.

  4. Portfolio-Selection-Theoriestatistische Grundlagen - Erwartungswert Zwei Aktien A und B weisen die folgenden Renditen (rA und rB) in Abhängigkeit der als möglich erachteten Umweltzustände (Ui) mit jeweils gleicher Eintrittswahrscheinlichkeit (wi) auf: U1 U2 U3 U4 Wi 0,25 0,25 0,25 0,25 riA 18% 12% 2% -12% riB - 6% 2% 10% 18% mA= 0,25 * 18% + 0,25 * 12% + 0,25 * 2% + 0,25 * -12% = 5% Ermitteln Sie den Erwartungswert für das Wertpapier B!

  5. Portfolio-Selection-Theoriestatistische Grundlagen - Varianz • Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert, d.h.: • für oben genanntes Beispiel gilt: s2A= 0,25 (18-5)2 + 0,25 (12-5)2 + 0,25 (2-5)2 + 0,25 (-12-5)2 = 129 Ermitteln Sie die Varianz für das Wertpapier B!

  6. Portfolio-Selection-Theoriestatistische Grundlagen - Standardabweichung • Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Damit wird das ursprüngliche Niveau der Merkmalswerte wieder erreicht. • Die Standardabweichung für das Wertpapier A beträgt 11,36.

  7. Portfolio-Selection-Theoriestatistische Grundlagen - Kovarianz • Mit der Kovarianz (cov) wird der Grad der Abhängigkeit zweier Verteilungen ermittelt. • Sind die beiden betrachteten Zufallsvariablen (Renditen) voneinander stochastisch unabhängig, so ist ihre Kovarianz gleich Null. sA,B = (18-5)*(-6-6)*0,25 + (12-5)*(2-6)*0,25+ (2-5)*(10-6)*0,25 + (-12-5)*(18-6)*0,25 = -100

  8. Portfolio-Selection-Theoriestatistische Grundlagen - Korrelation • Die Korrelation gibt die Stärke des Zusammenhangs der Renditen wieder. • Die Korrelation ist die zwischen -1 und +1 normierte Kovarianz. • kA,B= -100 / 11,36 * 8,94 = -0,98

  9. Portfolio-Selection-Theoriestatistische Grundlagen - Korrelation kA,B= -1 Bei vollkommener negativer Korrelation kann das Risiko des Portefeuilles durch Diversifikation vollständig ausgeräumt werden. Diversifikation bedeutet die Aufteilung eines Kapitalbetrages auf mehrere Investitionsalternativen.

  10. Portfolio-Selection-Theoriestatistische Grundlagen - Korrelation kA,B= 1 Bei vollkommener positiver Korrelation ist eine Diversifikation nicht erreichbar. Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen Risiko und Erwartungswert des Portefeuilles. Das Risiko des Portefeuilles kann nicht unter das Niveau des kleinsten Einzelrisikos gesenkt werden.

  11. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles Ausgangsbedingung: 2-Wertpapierfall (xA; xB Portefeuille-Anteile der Wertpapiere A und B) Portfeuillerendite: Portefeuillerisiko:

  12. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles Aus dem oben genannten Beispiel werden zwei Portefeuilles bestimmt: P1 : xA = 0,5 ; xB = 0,5 mP1 =0,5*5% + 0,5*6% = 5,5% sP1 =(0,25*129 + 0,25*80 + 2*0,5*0,5*11,36*8,94*-0,98)0,5 = 1,5 (gerechnet mit Aufrundungen = 1,58) P2 : xA = 0,25 ; xB = 0,75 mP2 =0,25*5% + 0,75*6% = 5,75% sP1 =(0,0625*129 + 0,5625*80 + 2*0,25*0,75*11,36*8,94*-0,98)0,5 = 3,94 (gerechnet mit Aufrundungen = 3,97)

  13. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles m *B 6% *P2 *P1 *A 5% 4% 3% 2% 1% s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

  14. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles Beispiel 2: Die Aktien A und C korrelieren mit k=1 U1 U2 U3 U4 Wi 0,25 0,25 0,25 0,25 riA 18% 12% 2% -12% riC 9% 6% 1% - 6% mA = 5% mC = 2,5% s2A = 129 s2C = 32,25 sA = 11,36 sC = 5,68 sA,C= 64,5 kA,C= 1

  15. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles

  16. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles m 6% *A 5% * P1 P2 * 4% * P3 P4 * * P5 3% *C 2% 1% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 s

  17. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles Beispiel 2: Die Aktien A und D korrelieren mit k= -1 U1 U2 U3 U4 Wi 0,25 0,25 0,25 0,25 riA 18% 12% 2% -12% riD 2% 8% 18% 32% mA = 5% mD = 15% s2A = 129 s2D = 129 sA = 11,36 sD = 11,36 sA,D= -129 kA,D= -1

  18. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles

  19. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles m 16% * D 14% * P5 P4 * 12% * P3 10% * P2 8% P1 * 6% *A 4% 2% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 s 10 11 12 13

  20. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles • In der vorstehenden Abbildung wird deutlich, dass die ineffizienten Portefeuilles auf der durchbrochenen Linie liegen (P1,P2) • P3 ist durch die negative Korrelation absolut risikofrei. • Alle Portefeuilles auf der Linie von P3 bis D gelten als effizient (Effizienzlinie).

  21. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles • Die gezeigten Beispiele stellen Extremfälle dar. Reale Beziehungen zwischen den Renditen einzelner Wertpapiere liegen bei einer Korrelation zwischen -1 und +1. Beispielhaft eine Aktie E: U1 U2 U3 U4 Wi 0,25 0,25 0,25 0,25 riA 18% 12% 2% -12% riE -3% 8% 14% - 7% mA = 5% mE = 3% s2A = 129 s2E = 70,5 sA = 11,36 sE = 8,4 sA,E= 23,5 kA,E= 0,246

  22. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles

  23. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles m 6% *A k=-1 5% * P1 P2 * k=1 * P3 4% P4 * * P5 *E 3% 2% 1% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 s 10 11 12 13

  24. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles • In der vorstehenden Abbildung wird deutlich, dass die ineffizienten Portefeuilles auf der durchbrochenen Linie liegen (P5,P4) • P3 ist das effiziente Portefeuille mit dem geringsten Risiko. • Alle Portefeuilles auf der Linie von P3 bis A gelten als effizient (Effizienzlinie). • Die gestrichelten Linien gelten als Orientierung für Portefeuilles mit k=1 und k=-1

  25. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles • Die Risikoneigung des Investors wird mit der Risikopräferenzfunktion zum Ausdruck gebracht. Der Investor geht von überdurchschnittlichem Anstieg des m bei steigendem s aus. • Alle Punkte auf den folgenden Indifferenzkurven stehen stellvertretend für jene Kombinationen von Risiko und Rendite, die dem Investor den gleichen Nutzen bringen.

  26. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles m 6% m =U+0,5a*s2 U= konst. Nutzen a =Risikoneigung des Investors; je größer a um so kleiner die Risiko- neigung 5% *m2;s2 4% 3% *m3;s3 *m1;s1 2% 1% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 s 10 11 12 13

  27. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles • Je steiler der Verlauf der einzelnen Indifferenzkurven, desto höher ist der Grad der Risikoscheue des Investors. Das effiziente Portefeuille kann nun graphisch bestimmt werden (von einer aufwendigen rechnerischen Ermittlung wird abgesehen). • Es gilt jene Wertpapiermischung, bei der die am weitesten vom Ursprung entfernte Indifferenzkurve (höchstmöglicher Nutzen) die Linie der effizienten Portefeuilles tangiert.

  28. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles m 6% 5% P opt. * 4% 3% 2% 1% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 s 10 11 12 13

  29. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles unter Berücksichtigung einer sicheren Anlagemöglichkeit • Unter Berücksichtigung einer risikolosen Anlagemöglichkeit wie beispielsweise Tagesgeld ergibt sich für das Portefeuille unter Anwendung der nachfolgenden Formel: • bei B = risikolos, d.h. s=0, folgende Formel

  30. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles unter Berücksichtigung einer sicheren Anlagemöglichkeit • Der Ertrag des Portefeuilles ergibt sich nach wie vor aus der Mischung der beiden Wertpapiere A und B (risikolose Anlage). • Alle Kombinationen der Wertpapiere A und B liegen somit auf einer Geraden, ausgehend von mB. • Angenommen es soll eine risikolose Anlage einem effizienten Portefeuille beigemischt werden, so ergibt sich das effiziente Portefeuille aus der nachfolgenden Darstellung.

  31. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles unter Berücksichtigung einer sicheren Anlagemöglichkeit m Kapitalmarktlinie 6% effizientes Portefeuille * 5% 4% 3% 2% 1% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 s 10 11 12 13

  32. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles unter Berücksichtigung einer sicheren Anlagemöglichkeit • Wird ein vollkommener Kapitalmarkt zugrunde gelegt, so hegen alle Marktteilnehmer homogene Erwartungen bezüglich der in das Modell eingehenden Variablen (Renditen und Risiken). • Das in vorstehender Abbildung dargestellte effiziente Portefeuille gilt dann als einziges effizientes Portefeuille für alle Investoren. • Bei der Möglichkeit der Investition in eine risikolose Anlage ist das optmale Akteinportefeuille unabhängig von der Risikoneigung des Investors

  33. Portfolio-Selection-TheorieZusammenfassung Markowitz Minimiere Portfolio-Varianz: ...unter folgenden Nebenbedingungen:

  34. Portfolio-Selection-TheorieBestimmung eines effizienten Portefeuilles • Markowitz -Modell satmmt aus den 50er Jahren und ist sehr aufwendig, da: • N*m + N*s2 + N(N-1)/2* sij berechnet werden. • Das heißt, es werden N (N+3) Parameter berechnet. • Deshalb hat Sharpe 1963 das Single Index Model (SIM) entworfen. • 1964 wurde von Sharpe das Capital Asset Pricing Model entwickelt. 2

  35. Capital Asset Pricing Model (CAPM) • 3 Grundannahmen: 1. Alle Marktteilnehmer sind bestrebt, effiziente Portfolios zu halten. D.h. Sie sind Portfolio-Optimierer nach Markowitz 2. Alle Investoren haben vollständige Informationen und homogene Erwartungen. - alle Anlagealternativen werden von allen Marktteilnehmern berücksichtigt. - Erwartungswerte und Varianzen werden von allen gleich eingeschätzt. 3. Es existiert eine risikolose Anlagealternative.

  36. Capital Asset Pricing Model (CAPM) • Nach dem CAPM-Ansatz halten alle Investoren eine Linearkombination aus risikoloser Anlage und Marktportfolio. Die Unterschiede in den Risikopräferenzen der Anleger kommen durch die unterschiedliche Gewichtung der risikolosen Anlage zum Ausdruck. • Die Bewertungsgleichung des CAPM lautet:

  37. Capital Asset Pricing Model (CAPM) m m Kapitalmarktlinie Wertpapiermarktlinie M * M * mM mM 1 * 2* rf rf s b sM b2 <b1 bM=1 s1 = s2

  38. Capital Asset Pricing Model (CAPM) • Der lineare Zusammenhang zwischen der erwarteten Rendite einer Kapitalanlage und ihrem Beta wird auch als Wertpapiermarktlinie bezeichnet. • Das Beta misst den relativen Beitrag einer Kapitalanlage zum Gesamtrisiko des Portfolios, in dem es sich befindet. • Das Marktportfolio enthält alle Kapitalanlagen gewichtete mit ihren Marktwerten. Damit ist das gesamt Diversifikationspotential ausgeschöpft. Die Varianz des Marktportfolios ist das systematische Risiko des Marktes. • Das CAPM-Beta ist das systematische Risiko einer Einzelanlage.

  39. Capital Asset Pricing Model (CAPM) • Der Beta-Faktor ist ein relatives Risikomaß. • Das durchschnittliche Kovarianzrisiko einer Kapitalanlage wird ins Verhältnis gesetzt zum durchschnittlichen Kovarianzrisiko des Gesamtmarktes. • Bei einem Beta größer 1 liegt das systematische Risiko einer Kapitalanlage über dem Durchschnitt, bei einem Beta kleiner 1 darunter. • Das Beta eines Portfolios ist:

  40. Sharpe Ratio • Die Sharpe Ratio (SR) hat sich in der Praxis am meisten durchgesetzt • 1966 von Sharpe definiert • EinfacheKennzahl zur Beurteilung der Performance von Vermögenspositionen (z.B. Fonds, Zinsbücher) • Ex post bzw. historische Sharpe Ratio (SR) • Jährliche Performance - Risikoloser ZinsSR= Jährliche Volatilität • Sharpe Ratio (SR) misst die Überschussrendite pro Risikoeinheit

  41. Literaturempfehlung: Garz, Gunther, Moriabadi : Portfolio-Management ; Theorie und Anwendung. Bankakademieverlag Frankfurt Drosse: Investition Intensivtraining ; Wiesbaden 1997

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