第十一章、矩阵与线 性方程组

1. 第十一章、矩阵与线性方程组 第一节、矩阵的概念与运算 第二节、矩阵的初等变换 第三节、逆矩阵 第四节、方阵行列式

2. 本章学习要求 • 1、了解矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念. • 2、理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法. • 3、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. • 重点：矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、线性方程组的解. • 难点：矩阵的初等变换、矩阵的秩的定义及计算、线性方程组有解的条件及应

3. 第一节、矩阵的概念与运算 • 一、矩阵的概念 • 二、几种特殊的矩阵 • 三、矩阵的运算

4. 一、矩阵的概念 • 矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出来的一个重要的数学概念，给出矩阵定义之前，先看几个例子. • 例1某学校印刷厂印制甲、乙、丙三种类型的作业本，一、二月份的生产与销售情况如下表：

6. 例2 设含有n个未知数，m个方程的线性方程组 如果把它的系数 按原来的位置和顺序写出，就得到一个矩形数表：

7. 方程组（1）完全有它的系数和常数项决定，具体来说，方程组（1）完全有矩阵（2）唯一确定。因此，为讨论方便，常把矩形表（2）作为方程组（1）的代表进行研究。方程组（1）完全有它的系数和常数项决定，具体来说，方程组（1）完全有矩阵（2）唯一确定。因此，为讨论方便，常把矩形表（2）作为方程组（1）的代表进行研究。 以上的探讨可以得到如下定义.

8. 定义 由 个数 排成 的矩形表 叫做矩阵，简称 矩阵。 记作 ,其中 称为矩阵元素， 的 第一个下标称为行标, 的第二个下标 j 称为列标。矩阵通常用大写英文字母A，B，C…或（ ）（ ），（ ）表示。

9. 例如 是一个2×4矩阵，记作

10. 二、几种特殊的矩阵 • 1.行矩阵——只有一行的矩阵，此时m=1 2.列矩阵——只有一列的矩阵，此时n=1

11. 3.方阵——行数和列数相等的矩阵

12. 4.零矩阵 ——所有元素都为零的矩阵，简记作 0 如

13. 5.对角矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的元素都为0的方阵，简记作A。5.对角矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的元素都为0的方阵，简记作A。

14. 6.单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，简记 如：

15. 7.上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的元素不全为0的方阵。如：7.上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的元素不全为0的方阵。如：

16. 8.下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方的元素不全为0的方阵。8.下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方的元素不全为0的方阵。

17. 9.同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的两个矩阵，称为同型矩阵。如9.同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的两个矩阵，称为同型矩阵。如 只有矩阵 A 与矩阵 B 同型

18. 三、矩阵的运算 • 1.相等矩阵 • 若 A、B两矩阵同型　且对应位置上A、B 的元素相等，则称 A、B相等，记作A=B。 • 注意：同型是相等的必要条件。

19. 例2 已知

20. 2.矩阵的转置把矩阵A所有的行依次换成同顺序的列后所得到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 性质：

21. 3. 矩阵的加法定义 设A =(aij ) , B =(bij ) 都是 m×n 矩阵, 矩阵 A 与B 的和记成 A + B, 规定为 注意：只有同型矩阵才能相加。 • 例3 某工厂生产的甲、乙、丙三种产品，一、二两月在A、B、C三个地区的销售如表 • 销售地 • 销量 • 产品 一月 二月 • A B C A B C • 甲 98 24 42 55 19 44 • 乙 39 15 22 43 53 38 • 丙 22 15 17 11 40 20 • 将销售写成矩阵形式为

22. 一、二两月份合计在各地区的销售量如下表

23. 销售地 • 销量 • 产品 • A B C • 甲 98+55 24+19 42+44 • 乙 39+43 15+53 22+38 • 丙 22+11 15+40 17+20

24. 一、二两月份合计在各地区的销售量的矩阵形式为一、二两月份合计在各地区的销售量的矩阵形式为 这说明：两个矩阵相加就是把两个矩阵的所有对应元素相加。 类似地，如果我们求一月份比二月份多销售量的产品数，应为 这说明：两个矩阵相减就是把两个矩阵的所有对应元素相减。

25. 矩阵的加法运算满足规律 • 1. A + B = B + A (交换律) • 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( 结合律) • 3. A + 0 = A • 4. 设A = ( aij ) ,记 – A = ( − aij ) , 称 – A 为 A 的负矩阵, 易知 • A + ( − A ) = 0规定 A − B = A + ( − B ) • 例4 若 求A+B，A-B

27. 例5 已知

28. 4. 数乘矩阵 • 前面例3中二月份各种产品销售量都是一月份两倍则二月份销售量矩阵为 数乘矩阵的运算规律：

29. 5.矩阵的乘法例6 某学校、后两年计划建造教学楼与宿舍楼，有关建筑面积及单位面积材料平均耗用量如下表

30. 因此，明、后两年三种建筑材料的耗用量如下表因此，明、后两年三种建筑材料的耗用量如下表

31. 上述三个数表用矩阵表示为

32. 可以看出矩阵C中第一行第一列的元素55等于矩阵A的第一行所有元素与矩阵B的第一列各对应元素的乘积之和，即 55=20×2+10×1.5 • 矩阵C中第二行第一列的元素90等于矩阵A的第二行所有元素与矩阵B的第一列各对应元素的乘积之和，即90=30×2+10×1.5 • 其余照此类推。矩阵A和B之间的这种关系，可以表达成

34. 定义 设矩阵 ，定义矩阵A与矩阵B的乘积为 其中 是矩阵A的第 i行所有元素与矩阵B的第 j列各对应元素的乘积之和，即 • 矩阵A与矩阵B的乘积记作AB，即AB=C • 求两个矩阵乘积的运算叫做矩阵的乘法。 • 由上述定义可以简记为 ：

35. 例7 已知 求AB和BA 解：因为A的列数与B的行数相同，所以A与B可以相乘。同理B与A可以相乘。

36. 从以上例题的结果表明：矩阵乘法不满足交换律从以上例题的结果表明：矩阵乘法不满足交换律

37. 例8 已知 验证

39. 矩阵乘法满足以下运算规律 例9 已知

41. 第二节 矩阵的初等变化 • 一、 矩阵的初等变换的概念 • 二、 初等矩阵 • 三、 矩阵的秩

42. 一、 矩阵的初等变换的概念 • 本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。 • 在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. • 首先分析用消元法解线性方程组的初步。例题，解线性方程组

44. 在上面求解过程中我们对方程组依次作了一些变化和化简，所以作的变化有以下三种：在上面求解过程中我们对方程组依次作了一些变化和化简，所以作的变化有以下三种： • （1）交换方程组中某两个方程组的位置； • （2）用一个非零的乘以组中的每一个； • （3）求出未知数的值； • 以上例题可记

45. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换. • （1）对换变换 对换矩阵的任意两行（列）（对换 i,j记作rij) • （2）被乘变换 用非零常数λ 乘以矩阵的某一行（列）（用 λ乘以第 j行记作rj(λ) ) • （3）被加变换 把矩阵中某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）的对应元素上去（第j行的k被加到第 i行上，记作 ri+j(k)) • 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.

46. 定义2 若矩阵A经过有限次初等变换后成矩阵B，则称矩阵A与B等价, 记作 ． • 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性： • (2) 对称性： • (3) 传递性：

47. 二、 初等矩阵 • 定义 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵． • 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 1. 初等对换矩阵 对单位矩阵I进行第1种初等变换，即对换I的第 列两行后得到的矩阵

48. 初等对换矩阵 I(i,j)是对单位矩阵I进行对换变换 rij而得到的。

49. 2.初等倍乘矩阵对单位矩阵I进行第2种初等变换，即用非零常数 λ乘以I的第i 行后得到的矩阵 初等倍乘矩阵 是对单位矩阵I进行倍乘变换 ，而得到的。

50. 3. .初等倍加矩阵对单位矩阵I进行第3种初等变换，即I中的第 j行的K倍加到第i行的对应元素而得到的矩阵 初等倍加矩阵 是对单位矩阵I进行 倍加变换 ，而得到的