差错检测方法循环冗余校验 (CRC ， Cyclic Redundancy check)

差错检测方法循环冗余校验(CRC，Cyclic Redundancy check) 将要传送的信息分成码组M，然后按某一种约定的规律对每一个信息码组附加一些校验的码元R，形成新的码组C，使得C中的码元之间具有一定的相关性(即码组中“1”和“0”的出现彼此相关)，再传输到接收端；接收端根据这种相关性或规律性来校验码组C是否正确，还可对出错码组的错定位加以相应的纠正，最后将码组C还原成信息码组M。

循环冗余校验(CRC，Cyclic Redundancy check) • 码多项式及其算术运算假设循环码为 C= Cn-1 Cn-2…. C2 C1 C0长度为n M的码多项式（称为n-1次多项式） C(x) = Cn-1 xn-1 + Cn-2xn-2 + …. C2 x2 +C1 x + C0 例1： C = 1100101 C(x) =1x6 + 1x5 +0x4+0x3 + 1x2 +0 x + 1 = x6 + x5 +x2 + 1 码多项式的算术运算：模2加、模2减、模2乘、模2除

n位 k位 r位 k+1 k+2 n 校验码元信息码元 1 2 k 差错检测循环冗余校验码(CRC，Cyclic Redundancy check) • 编码对于一个码长为n，信息码元为k位的循环码(n，k),其构成形式为： • 每个码多项式的前面k项与待编码的信息多项式相同 • 后面的r=n-k项与校验码元序列对应的校验多项式相同

差错检测.循环冗余校验码(CRC，Cyclic Redundancy check) 设要编码的k位信息元为：m = (mk-1,mk-2,….m1,m0) m(x) = mk-1 xk-1+ mk-2xk-2+ …. +m1 x+m0 xn-k·m(x) = mk-1 xn-1+ mk-2xn-2+ …. +m1 xn-k+1+m0 xn-k = q(x)·g(x) + r(x) g(x)是(n-k)次多项式 q(x)是商式 r(x)是余式且次数不高于n-k-1 r(x) = rn-k-1 xn-k-1+ rn-k-2xn-k-2+ …. +r1 x+r0 xn-k·m(x) + r(x) = q(x)·g(x) mk-1xn-1+mk-2xn-2+ ...+m1xn-k+1+m0xn-k+rn-k-1xn-k-1+rn-k-2xn-k-2+... +r1 x+r0 ( mk-1, mk-2, ….m1, m0, rn-k-1, rn-k-2, …. ,r1, r0 ) (n-k)个监督位不加改变的k个信息位

差错检测循环冗余校验码(CRC，Cyclic Redundancy check) • 例设编码的信息码元为1101011011 m(x) = x9 + x8 + x6 + x4 + x3 + x + 1, k = 10 (1)假设 P(x) = x4 + x + 1 系数形成的位串为10011 n=4 ——>n+K =14 余数多项式 r(x)的最高幂次为 r =n-1=3 余数取4位 (2) x4·m(x) = 1101011011，0000 (3) 1101011011.0000 10011 商数：1100001010 余数：1110r(x) = x3 + x2 + x + 0 所需的循环编码C(x)为 C(x) = xn·m(x) + r(x) =1101011011，1110

商数被除数 m(x) 除数 P(x) 余数 r(x) 差错检测循环冗余校验码(CRC，Cyclic Redundancy check) • 多项式除法 1101011011.0000 10011 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1,0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 模2加=模2减模2乘模2除=乘的可逆运算 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0

差错检测循环冗余校验码(CRC，Cyclic Redundancy check) 在接收端本来应该收到： c(x) = xr·m(x) + r(x) = Q(x)·P(x) 用协商好的生成多项式P(x)去除c(x),从余数来判断是否出错

广泛使用的生成多项式P(x)有： CRC-12=x12+x11+x3+x2+x+1 CRC-16=x16+x15+x2+1 CRC-CCITT=x16+x12+x5+1

差错检测方法循环冗余校验 (CRC ， Cyclic Redundancy check)