Programación entera y grafos

1. Programación entera y grafos • Algunos de problemas definidos sobre grafos, son ILP / son LP con solución entera: flujo a costo mínimo y sus casos particulares: pb del trasporte, flujo máximo, camino más corto • Problemas de matching/covering: problemas de tipo afectación de recursos, que si bien no tienen una matriz de restricciones TUM, admiten un algoritmo de resolución en tiempo polinomial dependiendo de M (cant. vértices) y N (cant. de aristas)

2. Def.: sea un grafo no dirigido G=(V,E) y un subconjunto S  E, el grado de un vértice i respecto a S dS(i)= nro de aristas de S incidentes a i. • Def: Sea M E, M es un “matching” de G si dM(i)1  i  V. • NOTA: todo grafo contiene trivialmente un matching vacío. En lo que sigue suponemos G conexo. • Def: Matching máximo (MM): un matching M* es MM si M*=max{M, /M es matching} • Def: Matching de peso máximo: sea cpj el peso asignado a la arista ej, y sea w(M) el peso del matching M/ w(M)=ejM ej, M* es un matching de peso máximo si w(M*)  w(M) M • Def: dado b=(b1..bm) / bi  Z+M es un b-matching si dM(i)bi

3. Matching de peso máximo como ILP: Max cx / Ax  b, x binario y A matriz de incidencia nodos-arcos. • Def: C E es un “covering” de G=(V,E) si dc(i)  1  i  V. • Cover mínimo y b-cover se definen en forma similar a matching • Covering de peso mínimo como ILP: Min cx / Ax  b, x binario y A matriz de incidencia nodos-arcos. G Mínimo cover C* Máximo matching M*

4. Teo: Sea C* un mínimo cover, si a todo vértice i /dC*(i) >1 le extraemos dC*(i)-1 arcos incidentes, el resultado es un conjunto de arcos que es un máximo matching M* • Teo: Sea M* un matching máximo, si a todo vértice i /dM*(i) =0 le agregamos 1 arco incidente, el resultado es un conjunto de arcos que es un cover mínimo C* • Def: Camino alternativo relativo a M es un camino tal que sus arcos alternan entre M y E\M • Def: nodo expuesto relativo a M es un nodo v / dM(i)=0 • Def: Camino aumentativo: es un camino alternativo conectando dos vértices i y k expuestos relativos a M (dM(i)=dM(k)=0 )

5. e1 e2 e3   k i    • NOTA: un camino aumentativo debe tener un nro impar de arcos: • Ejemplo: M={e2}, camino aumentativo={e1,e2,e3} M’={e1,e3}  no hay camino aumentativo • Teo: Un matching M es máximo sii no existe camino aumentativo relativo a M • Teo: G es un grafo bipartito sii no tiene ciclos impares

6. Algoritmo para encontrar M* en grafos bipartitos: • Etiquetas de nodos (a,b), donde a={E,O} (par,impar) • Inicialización: M matching arbitrario, todos los nodos de V sin etiquetar y no visitados 1- (test optimalidad): hay nodos expuestos no etiquetados? No: fin. Si hay, elegir un nodo expuesto no etiquetado r, etiquetarlo con (E,-) 2- (crecimiento de árbol alternativo) elegir un nodo i etiquetado pero no visitado, si es par, etiquetar todos sus vecinos no etiquetados con (O,i) y poner i como nodo visitado. Ir a 3. Si el nodo i es impar y expuesto, ir a 4, de lo contrario etiquetar todos sus vecinos no etiquetados con (E,i) y poner i como nodo visitado. 3- Si existen nodos etiquetados, no visitados ir a 2, de lo contrario ir a 1.

7. 2 (O,1) 1 (E,-) 3 4 (O,1) 4- (identificación de camino aumentativo) Usando la segunda componente de la etiqueta, identificar el camino aumentativo de r a i. Eliminar todas sus etiquetas y actualizar el matching , ir a 1. • Teo: el algoritmo anterior encuentra un matching de cardinalidad máxima en un grafo bipartito. • El algoritmo falla si el grafo no es bipartito: • Si bien hay dos caminos alternativos entre 1 y 4, (caminos aumentativos de largo impar), el algoritmo anterior no los encuentra por la forma de etiquetar.

8. Teo: Sea B una matriz básica para una solución básica del problema de 1-matching máximo: Ax1,  cada componente de xB=B-1.b es 0,1 o 1/2 • Teo: La envoltura convexa de {x/ Ax  1, x binario}, donde A es la matriz de incidencia de G, está dada por las restricciones Ax  1 y una restricción del tipo xj  K (para los elementos pertenecientes a los ciclos impares)