Conceitos de Sinais e Sistemas Mestrado em Ciências da Fala e da Audição

1. Conceitos de Sinais e SistemasMestrado em Ciências da Fala e da Audição António Teixeira 8 Janeiro 2005

2. Análise LPC Análise Cepstral Obtenção de F0 e Formante MATLAB lpc() rceps() xcorr() Aula 12

3. Análise LPC Uma introdução

4. A análise de Fourier não é a única forma de determinar o espectro de um sinal • Uma técnica muito utilizada na área do processamento de voz e Fonética envolve determinar os chamados coeficientes de predição linear (Linear Predictive Coding Coeefficients) • Este procedimento é conhecido por análise LPC • é um processo mais complexo que a DFT • mas é possível compreender os princípios sem entrar nos detalhes matemáticos mais complexos

5. Segundo a teoria-fonte filtro produz-se um som pela passagem de uma excitação por um filtro “Entrada nula”  cordas vocais  tracto vocal  rad  voz isto é “Entrada nula”  sistema (cordas vocais + tracto + rad) voz • A noção base da análise LPC baseia-se no processo inverso • voz  sistema inverso (filtro LPC)  “saída zero” a saída será zero se o filtro LPC for exactamente o inverso do sistema • No primeiro caso temos “síntese” ou produção, no segundo “análise”

6. Na abordagem LPC as características espectrais da fonte glotal e radiação são incluídas conjuntamente com as relativas ao tracto vocal num mesmo filtro

7. A análise LPC envolve determinar um filtro cujas características em termos de resposta em frequência seja o inverso do espectro do sinal de voz • Como já vimos os filtros digitais são definidos por um conjunto de coeficientes • lembra-se dos vectores usados no comando filter ? • Também é possível usar um conjunto de coeficientes para “prever” o valor de uma amostra do sinal com base em amostras anteriores • y[n]= função de y[n-1], y[n-2], y[n-3] ... • O algoritmo LPC faz uma previsão desta forma usando um número reduzido de pontos anteriores, multiplicando cada por um coeficiente

8. O princípio básico da análise LPC é a de que uma amostra pode ser considerado como simplesmente a a soma de um número de amostras anteriores, cada multiplicada por um número adequado • os números são denominados coeficientes de predição linear • y[n]= a1 y[n-1] + a2 y[n-2] ....

9. Para um sinal y, a análise LPC calcula os coeficientes a[1] ... a[p] tais que y[n]= a[1] y[n-1] +a[2] y[n-2]+ ... +a[p] y[n-p] +erro

10. Relação com a produção de voz • A produção pode ser descrito pela equação de convolução y * a = b * x onde x é ma fonte, a e b coeficientes. • Para sons sem anti-ressonâncias (exemplo: as vogais) b=1 e a equação reduz-se • y * a = x y[n] + a[1] y[n-1] +a[2] y[n-2] + ... +a[k]y[n-k]=x[n] ou rearranjando y[n] = -a[1] y[n-1]-a[2] y[n-2]- ... -a[k]y[n-k]+x[n] • Ou seja, num modelo sem anti-ressonâncias, a amostra actual é igual a uma combinação linear de amostras anteriores da saída mais a entrada • O modelo proposto antes é, portanto, adequado

11. Um exemplo de como determinar os coeficientes • Consideremos um sinal • tomemos 12 amostras (uma janela) • designados por s1, s2, ..., s12 • a estimativa para s5 considerando as 4 amostras anteriores • s^5= a1 x s4 + a2 x s3 + a3 x s2 + a4 x s1 • num caso concreto teríamos algo como • s^5 = -42 a1 + 17 a2 + 5 a3 + 90 a4

12. continuando... • s^6= - 71 a1 – 42 a2 + 17 a3 + 50 a4 • s^7= .... • s^8= .... • s^9= .... • Se cada amostra fosse correctamente predicto, não haveria diferença entre s e s^ 0=sn – s^n

13. isto é s6 – s^6 = 0 = -40 – (-71 a1 –42 +17 a3 + 50 a4) s7-s^7=0 = -4 –(-74 a1 –54 a2 + 16 a3 + 97 a4) s8- s^8=0 = 22 – (-40 a1 – 79 a2 – 54 a3 + 16 a4) s9-s^9=0 =49 – (-4 a1 –59 a2 – 79 a3 – 54 a4) temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas facilmente se obtem a1,a2,a3 e a4 neste caso: a1=0.5, a2=-0.6, a3=0.4 e a4=-0.7

14. generalizando • No entanto pretendemos obter os coeficientes que sejam adequados não apenas a este conjunto restrito e específico de pontos mas para qualquer amostra • como vimos resolvendo a equação anterior obtemos coeficientes adequados para s6 a s9 • mas darão um erro se aplicados a outras amostras • o erro para cada ponto é designado por en • en=(s^n – sn)2 • usa-se o quadrado para que seja sempre positivo

15. teremos: e6=(s^6 – s6)2 (a1 s5 + a2 s4 + a3 s3 + a4 s2 – s6)2 e7=(s^7 – s7)2 (a1 s6 + a2 s6 + a3 s4 + a4 s3 – s7)2 ... e12=(s^12 – s12)2 (a1 s11 + a2 s10 + a3 s9 + a4 s8 – s7)2 • o algoritmo resolve este conjunto de equações tentando minimizar o erro • Usando o Matlab obtêm-se rapidamente usando o comando lpc() • Os coeficientes são uma forma eficiente de descrever o sinal de voz

16. Matlab – lpc() • A = LPC(X,N) finds the coefficients, A=[ 1 A(2) ... A(N+1) ], of an Nth order forward linear predictor • Xp(n) = -A(2)*X(n-1) - A(3)*X(n-2) - ... - A(N+1)*X(n-N) • such that the sum of the squares of the errors err(n) = X(n) - Xp(n) is minimized. • [A,E] = LPC(X,N) returns the variance (power) of the prediction error. • LPC uses the Levinson-Durbin recursion to solve the normal equations that arise from the least-squares formulation. • This computation of the linear prediction coefficients is often referred to as the autocorrelation method.

17. Métodos de obtenção dos coef. • Existem várias formas de obter os coeficientes • Sem entrar nos detalhes, refiram-se: • método da autocorrelação • método da covariância • método da “lattice” • Consultar livros como Rabiner & Schafer 1978 para os detalhes

18. Demo lpclearn

19. Exemplo • Consideremos um segmento de sinal (de uma vogal) • ak=lpc(frame,12) • resultado 1.0000 -2.3994 2.0545 -0.5626 -0.1950 0.0965 -0.0118 -0.1951 0.7283 -0.5366 -0.4562 0.8068 -0.3069

20. Resposta em frequência • Como após a determinação dos coeficientes temos um filtro (em que a saída depende de valores da saída em instantes anteriores) podemos obter a sua resposta em frequência

21. Como o filtro obtido será o inverso do filtro de produção, as características espectrais do segmento analisado serão:

22. Análise na frequência com LPC • Tendo os coeficientes a1...ak facilmente se obtém o espectro • Exemplo: • Material analisado: pequeno segmento de uma vogal a0= 1.0000 a1= -0.1155 a2= -0.4197 a3= 0.1063 a4= 0.2854 a5= 0.6263 a6= -0.2841 a7= -0.2171 a8= -0.0904 a9= 0.2207 a10= 0.2150 a11= -0.2755 a12= -0.3004 Raiz1 878 Raiz2 1420 Raiz3 2729 Raiz4 3446

23. LPC vs FFT para obter espectro

24. A análise LPC separa os componentes relativos à fonte e ao filtro • É importante para a determinação da frequência fundamental e as formantes

25. Questões práticas • Ordem a utilizar • Regra prática • Frequência de amostragem em kHz + 2 • Exemplo: 10000 Hz => 10+2=12 • Aplicar janelas • Usar pré-ênfase • O espectro da fala decai com o aumento da frequência • Para facilitar a análise LPC tenta-se corrigir esse efeito • y(n)=x(n) – a x(n-1), a~0.98

26. Pré-ênfase • As primeiras formantes têm maior energia e são preferencialmente modeladas • A maior energia deve-se ao efeito combinado da excitação glotal e da radiação • Geralmente utiliza-se um filtro de pré-ênfase • s’(n)=s(n) – a1 s(s-1) • Tipicamente 0.96<= a1 <= 0.99 • Para reconstruir o sinal deve usar-se o filtro inverso • s(n)= s’(n) + a1 s(n-1)

27. Leitura adicional • Capítulo 11 do livro “Elements of Acoustic Phonetics” de Peter Ladefoged, 2ª ed., University of Chicago Press. • SDUA 801.4 17 2ed • Capítulo 8 do livro “Techniques in Speech Acoustics” de J. Harrington e S. Cassidy, Kluwer Academic Press, 1999 • SDUA 800H 664 • Apresenta: • informação sobre a forma como são calculados os coeficientes LPC (secção 8.2) • Obtenção do espectro com base nos coeficientes (sec. 8.4)

28. Exercícios Matlab • Obter um pequeno segmento (frame) de uma vogal • Obter os coeficientes com a ajuda do Matlab • Obter a resposta em frequência do filtro e do filtro inverso • comparar com o espectro obtido pela DFT/FTT • Obter o sinal de erro • Verificar o efeito de alterar o número de coeficientes • Repetir o processo para outro tipo de som (fricativa por exemplo)

29. Análise Cepstral

30. Motivação • Como o sinal de voz pode ser obtido pela convolução da excitação glotal com a resposta impulsional do filtro constituído pelo tracto torna-se necessário muitas vezes efectuar a operação inversa (desconvolução) • A análise cepstral é uma das técnicas que permite estimar uma separação da fonte do filtro • Uma das motivações é que os harmónicos da frequência fundamental podem dificultar a análise das formantes • uma muito melhor estimativa das formantes poderia ser obtida se os harmónicos forem removidos de alguma forma

31. Propriedades importantes • Para compreender a análise cepstral interessa perceber como são representados no espectro a fonte e o filtro • Uma das propriedades da DFT é que se dois sinais x (a fonte) e h (o filtro) são convoluidos a sua DFT é igual ao produto da DFT de x pela DFT de h • Quando se representa o espectro em dBs temos uma escala logaritmica • logaritmo(a x b) = logaritmo(a) + logaritmo (b) • Portanto, o espectro em dBs representa a SOMA do espectro da fonte com o do filtro • o que nos fornece um caminho para os separar ...

32. Uma pequena revisão: • se tivermos um sinal composto por duas sinusóides, uma variando lentamente no tempo, outra rapidamente, • isto é uma de baixa frequência e outra de frequência elevada • onde apareceriam as riscas no espectro ? • A correspondente à baixa frequência apareceria na parte “baixa” do espectro; a outra na parte “alta”

33. O cepstro • É esta lógica que está na base da separação das variações rápidas do espectro devido à fonte das variações lentas do filtro • Se considerarmos o espectro como um sinal (no tempo) e aplicarmos a DFT então a parte devida à fonte deverá aparecer nas frequências elevadas e a relativa ao filtro nas frequências baixas • Na prática não se aplica a DFT para a inversa (IDFT) para converter da frequência para o tempo • o caminho inverso da DFT • Curiosamente, apesar de inversas a DFT e a IDFT resultam no mesmo efeito de separação • com a DFT ou IDFT a parte de variação rápida é separada da parte de variação lenta

34. Cepstro real Definição:

35. Origem do nome • Como se trata de um espectro de outro espectro, os seus “inventores” criaram uma variação da palavra “spectrum” chegado a “cepstrum” • adaptado ao Portugês: “espectro”  “cepstro” • Já agora: • filtering  liftering • frequency  quefrency

36. Em Matlab z=rceps(x); x zx

37. Espectro suave • Depois de separados podemos eliminar cada uma das partes por um processo de filtragem • Se eliminarmos a parte de frequências mais elevadas e voltarmos a efectuar uma DFT teremos um espectro “suave” com “apenas” as características devidas ao filtro (tracto)

38. Cepstro de sinal periódico • Se o sinal original é periódico então a fonte manifesta-se como “picos” espaços da duração do período fundamental