Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • ZESPÓŁ SZKÓŁ nr 2 W WAŁCZU • ID grupy: • 97/25_MF_G1 • Kompetencja: • MATEMATYCZNO-FIZYCZNA • Temat projektowy: • RÓŻNE WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH • Semestr/rok szkolny: • SEMESTR IV/2011/2012

3. Różne własności liczb naturalnych

4. SPIS TREŚCI • Historia liczb • Liczby pierwsze • Liczby Mersenne’a • Liczby doskonałe • Liczby doskonałe II rodzaju • Liczby bliźniacze • Liczby zaprzyjaźnione

5. Historia liczb • Zanim zaczęliśmy prace nad znalezieniem wszelkich informacji dotyczących różny typów liczb naturalnych – cofnęliśmy się troszkę w czasie . • Ciekawiło nas w ogóle skąd wzięły się liczby i jaka jest ich historia.

6. Narodziny liczb • Najstarszy znany zapis liczby ma około 37 tysięcy lat. W górach Lebombo na granicy między Królestwem Suazi a RPA znaleziono kość strzałkową pawiana z 29 nacięciami. A więc najstarsza zapisana liczba to 29. • Znaki ryte na tabliczkach z wilgotnej gliny to karby. W ten sposób narodził się pierwszy system zapisywania liczb – system karbowy. kość z Ishango (Zair)

7. Narodziny liczb • Pierwsze cyfry wymyślili Sumerowie około 3300 lat p.n.e. – wyciskali w glinianych tabliczkach symbole – obrazki oznaczające liczby 1, 10, 60, 600, 3600, 36000 (w ilości odpowiadającej potrzebnej liczbie). Od tego odkrycia zaczęła się historia pisma. Każdy lud wymyślał swój system liczbowy, wykorzystując specjalne znaki albo litery alfabetu. Dziś, oprócz arabskich używamy jeszcze tylko cyfry rzymskie.

8. System rzymski • W systemie karbowym 18 zapisywano tak: • \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ • \ \ \ \/ \ \ \ \/ \ \ \ \/ \ \ \ • \ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ \/ \ \ \ • Rzymianie, jako ludzie praktyczni, uprościli zapis karbowy odrzucając niepotrzebne kreski po lewej stronie. • 18 : \ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ \/ \ \ \ → XVIII

9. System rzymski • Nowe „cyfry” : 5 10 50 100 500 1000 I V X L C D M Przykłady: 12 – XII 29 – XXVIIII 1999 – MDCCCCLXXXXVIIII

10. System rzymski • „Uproszczenie” – reguła 3 • 4 – IIII → IV • 29 – XXVIIII → XXIX • 1999 – MDCCCCLXXXXVIIII → MCMXCIX • Kreska nad cyfrą oznaczała liczbę tysięcy. • _____ • XXXVCMLXXXIV → 35984

11. Rzymianie byli naprawdę bardzo dumni ze swojego systemu zapisu liczb. Przetrwał on w ograniczonej formie nawet do dzisiaj przy zapisie dat lub numeracji rozdziałów, klas, sal, pięter, godzin itp. Jednak pomimo tych usprawnień system rzymski był ograniczony. Jak bowiem zapisać w tym systemie na przykład taką liczbę: • 98769234576293452034562983745293475602934652083745692837456298347250 ? 

12. System babiloński • Babilończycy rozwinęli jako pierwsi system pozycyjny o podstawie 60 (system sześćdziesiątkowy). • Ma 59 cyfr. • Co oznacza

13. System egipski • W 3000 r. p. n. e. Egipcjanie wprowadzają symbole potęg liczby 10. System zapisu liczb opierał się na hieroglifach odpowiadajacych odpowiednim liczebnikom. Aby zapisać w tym systemie określoną wartość, należało powtórzyć odpowiednią liczbę razy właściwe liczebniki.

14. System grecki • W okresie IX – VIII w. p. n. e. Grecy wytworzyli system zapisu analogiczny do egipskiego. • Grecy byli jedną z pierwszych kultur, która zastosowała w praktyce system zapisu słów oparty na alfabecie

15. System grecki • Duże liczby:

16. System Majów • Do zapisu cyfr Majowie używali tylko trzech symboli (podobnie jak Babilończycy). Znak kropki oznaczał jednostkę. Pozioma kreska oznaczała piątkę (tyle mamy palców u ręki). Muszla oznaczała zero.

17. ↔ 7 ↔ 19

18. A CO Z ZEREM? • Na pytanie „kto i kiedy odkrył zero?” trudno odpowiedzieć. Pojawiało się ono w taki czy inny sposób jednocześnie w wielu systemach liczbowych. • Odkrycie zera było jednym z ważnych i bardzo późnych wynalazków matematycznych. Dokonali go dopiero Hindusi przy okazji wymyślania systemu dziesiątkowego. Ten system liczbowy za pośrednictwem kupców arabskich rozprzestrzenił się w całym ówczesnym cywilizowanym świecie. Z tego względu nosi nazwę systemu arabskiego , a same cyfry 0, 1,…, 9 to cyfry arabskie.

19. Ciąg dalszy historii liczb • 3000 r. p. n. e. – Chińczycy wprowadzają 13 znaków (słów) pisma chińskiego odpowiadających liczbom 1 - 10, 100, 1000, 10 000 • II w. p. n. e. – III n. e. Chińczycy używają cyfr „kreskowych” i systemu dziesiętnego pozycyjnego,w którym zero zastępowano znakiem (słowem) odpowiedniego rzędu • V w. – w północnych Indiach narodził się stosowany przez nas system zapisu liczb ano znakiem (słowem) odpowiedniego rzędu

20. IX w. – zachodnioarabscy rachmistrzowie stosują 10 cyfr powstałych pod wpływem znaków indyjskich, a w 1524r. przybierają znaną nam obecnie formę

21. Liczby pierwsze • Definicja • Liczba pierwsza to liczba naturalna, podzielna tylko przez 1 i samą siebie. • Oto kilka początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... • Liczby 0 i 1 nie są zaliczane do liczb pierwszych, ani do złożonych. • Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki – Euklides.

22. SITO ERATOSTENESA • Łatwo szukać kolejnych liczb pierwszych nie większych od danej liczby naturalnej n. Wypisuje się kolejno liczby naturalne od 2 do n. Liczba 2, pierwsza z wypisanych liczb, jest liczbą pierwszą; pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 2, gdyż nie są to liczby pierwsze. Z liczb pozostałych po tym wykreśleniu kolejną po liczbie 2 jest liczba 3. Pozostawia się ją jako liczbę pierwszą  i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 3, które nie zostały poprzednio wykreślone. Z pozostałych teraz liczb kolejną po 2 i 3 jest liczba 5; pozostawia się ją i wykreśla wszystkie dalsze liczby podzielne przez 5, które nie zostały dotychczas wykreślone. Kontynuując to wykreślanie, dojdzie się wreszcie do tego, że wszystkie liczby, które nie są pierwsze zostaną wykreślone, pozostaną tylko liczby pierwsze nie większe od n.

23. Metoda Sita Erastotenesaznacznie dzisiaj udoskonalona pozwala wyłuskać wszystkie liczby pierwsze z początkowych kilkudziesięciu milionów liczb. • Obecnie za pomocą super szybkich komputerów można znaleźć gigantyczne liczby pierwsze. W Internecie odbywa się "Wielkie Internetowe Poszukiwanie Liczb Pierwszych Mersenne'a" (GIMPS).

24. Liczby mersenne’a • Definicja • Liczby Mersenne'a – liczby określone wzorem 2p - 1 gdzie p jest liczbą pierwszą. • Liczby Mersenne'a zostały tak nazwane na cześć francuskiego matematyka Marina Mersenne'a, który opublikował tablicę liczb pierwszych tego typu – jak się później okazało, błędną. • http://www.justonic.com/mersenne.html

25. Niektóre z liczb Mersenne'a są liczbami pierwszymi, na przykład dla p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 607,... • Jednak dla p = 11 otrzymujemy liczbę złożoną, gdyż: 211-1=2048-1=2047 23•89=2047.

26. Największe liczby pierwsze • 23 sierpnia 2008 r. została odkryta 45 liczba pierwsza Mersenne'a (243112609 - 1) licząca 12978189 cyfr. Znalazł ją Edson Smith z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles. Poszukiwania prowadził w sieci przy użyciu 75 uczelnianych komputerów. Dwa tygodnie później, 6 września 2008 r. znaleziona została 46 liczba pierwsza Mersenne'a (237156667 - 1) licząca 11185272 cyfr. Liczbę znalazł Hans Elvenich z Langenfeld - Niemcy. • Źródło: http://www.math.edu.pl

27. Przykłady liczb pierwszych • Największą liczbą pierwszą sprzed ery elektroniki jest liczba, która nosi nazwę odkrywcy - liczba Ferriera i wynosi: • 20 988 936 657 440 586 486 151 264 256 610 222 593 863 921 = (2148 + 1) / 17 • Jest to 44-cyfrowa liczba znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora w 1951r. • Źródło: http://www.math.edu.pl

28. Największa liczba pierwsza (2 759 677 cyfr), która nie jest liczbą Mersenne'a: • 27653 × 29167433 + 1 • Liczba ta jest jednocześnie piątą największą znaną liczbą pierwszą. Została odkryta w ramach projektu SeventeenorBust.

29. Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.: 23, 67, 4567, 23456789, 1234567891, 1234567891234567891234567891. • W dwóch ostatnich liczbach cyfry występują w tak zwanym rosnącym porządku cyklicznym, tzn. po kolei, z tym że po 9 może być 0 lub 1. Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym porządkiem cyklicznym: 43, 10987, 76543 i 1987.

30. Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby  π , jest pierwsza. • Liczba 11111111111111111111111 złożona z 23 jedynek jest pierwsza. • Liczba 73939133 nie tylko jest pierwsza, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej też są pierwsze: 7393913, 739391, 73939, 7393, 739, 73, 7.

31. Liczby doskonałe • Definicja • Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. • Przykład: • D496={1,2,4,8,16,31,62,124,248} • 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 31+ 62+ 124+ 248 = 496

32. Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e! • Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.

33. Pierwsza liczba doskonała to6D6 = { 1, 2, 3, 6 }6 = 1 + 2 + 3 • Druga liczba doskonała to 28 • D6 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 • Te dwie liczby znane były w starożytności. Kabaliści utrzymywali, że nie przypadkiem Bóg stworzył świat w 6 dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w ciągu 28 nocy.

34. Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: • 496 i 8128. • On też zauważył, że jeśli liczby p i 2p - 1 są pierwsze, to liczba postaci • 2p-1(2p - 1) • jest liczbą doskonałą.

35. Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. Później liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler. • Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. • Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa.

36. NAJWIĘKSZA LICZBA DOSKONAŁA • Po odkryciu kolejnej liczby pierwszej (45 liczby Mersenne’a) największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest • 243112608·(243112609-1) • – liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

37. Liczby doskonałe ii rodzaju • Definicja • Liczbę naturalną n nazywamy liczbą doskonałą II rodzaju, jeżeli jest ona równa iloczynowi wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. • Przykładami takich liczb są np. : • 6 (6=1·2·3), 8 (8=1·2·4), 10 (10=1·2·5), 14 (14=1·2·7). • Liczba 6 jest liczbą najdoskonalszą, gdyż ma oba rodzaje doskonałości. • Można udowodnić, że 6 jest jedyną taką liczbą.

38. Liczby doskonałe ii rodzaju • Liczb doskonałych II rodzaju jest nieskończenie wiele, a ponadto łatwo jest je znajdować. • Liczbami doskonałymi II rodzaju są wszystkie liczby będące sześcianami liczb pierwszych. • Wynika to z tego, że jeśli n=p3 i p jest liczbą pierwszą to jedynymi dzielnikami liczby n mniejszymi od niej są liczby 1, p, p2 . Przy tym n=1·p·p2, co oznacza, że n jest liczbą doskonałą II rodzaju.

39. Można udowodnić, że wszystkie liczby doskonałe II rodzaju mają następującą własność: • Twierdzenie. • Liczba naturalna n jest liczbą doskonałą II rodzaju wtedy i tylko wtedy gdy ma ona dokładnie trzy dzielniki mniejsze od niej samej. • W takim przypadku n jest postaci n=p3, gdzie p jest liczbą pierwszą, lub postaci n=p·q , gdzie p i q są liczbami pierwszymi (pq). • Dowód tego twierdzenia można znaleźć w książce W. Sierpińskiego Teoria liczb, PAN, Warszawa 1959.

40. Liczby bliźniacze • Definicja • Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o „2 ‘’. • Liczbami bliźniaczymi są więc np. następujące pary liczb: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ... • Istnieją także czwórki kolejnych liczb pierwszych, dające dwie pary liczb bliźniaczych, na przykład 11, 13, 17, 19 lub 191, 193, 197, 199. Jeżeli taką czwórkę tworzą liczby pierwsze p, p+2, p+6 i p+8, to pary takie nazywmayliczbami czworaczymi.

41. Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych.  • Już w 1919 roku Norweg Brun wykazał, że szereg odwrotności bliźniaczych liczb pierwszych: • jest zbieżny. Zbieżność ta może być spowodowana przez to, że liczb bliźniaczych jest tylko skończenie wiele, a jeśli tak nie jest - to znaczy przynajmniej, że są one "rzadko położone". ≈ 1.902160583104

42. Największą znaną obecnie parą liczb bliźniaczych jest para liczb (16869987339975 · 2171960–1, 16869987339975 · 2171960+1) • Źródło: http://pl.wikipedia.org

43. Gdy zapytano Pitagorasa: • "Co to jest przyjaciel?" • - odpowiedział: • "Przyjaciel to drugi ja; • przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". • Stąd podobno pochodzi owa niezwykła nazwa liczb zaprzyjaźnionych.

44. Liczby zaprzyjaźnione • Definicja • Dwie liczby A i B nazywają się zaprzyjaźnionymi jeżeli suma wszystkich dzielników liczby A (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie B i odwrotnie, suma wszystkich dzielników liczby B (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie A. Takimi liczbami "przyjaciółkami" są  liczby jak wykazał Pitagoras: 220 i 284.

45. sprawdźmy • 220=1+2+4+71+142, • a więc liczba 220 jest sumą dzielników liczby 284, a  • 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110, • a więc liczba 284 jest sumą dzielników liczby 220. • Warto zauważyć, że każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą.

46. Przykłady liczb zaprzyjaźnionych • Poniższa tabela podaje 11 przykładów  par liczb zaprzyjaźnionych: Nie wiadomo jednak czy istnieje ich nieskończenie wiele.

47. Dziękujemy za uwagę!