电路基础

1. 电路基础 第三篇 稳态电路 上海交通大学本科学位课程

2. §5.3 二阶电路( RLC 电路完全响应)

3. 第八章 正弦稳态电路分析 在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理论中的重要课题，这是因为正弦信号比较容易产生和获得，在科学研究和工程技术中，许多电气设备和仪器都是以正弦波为基本信号的。 根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论，周期信号能够分解为一系列正弦信号的迭加。利用线性电路的迭加性，可以把正弦稳态分析的方法推广到非正弦周期信号激励的线性电路中去。因此也可以说，知道了正弦稳态响应后，原则上就知道了任何周期信号激励下的响应。

4. §8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量) 基本要求： • 正弦量和相量  正弦量的振幅（最大值）、角频率、相位和初相位  正弦量的瞬时值、有效值、相位差  正弦量与相量的变换、相量图  同相、超前和落后的概念

5. §8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量) 随时间按正弦规律变化的电压和电流，称正弦电压和正弦电流。 y(t) = Amcos(t+) Am最大值，角频率，初相位, (-180＜＜180) 最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。三要素确定后，正弦量就被唯一确定。 若正弦量为电流i(t)，则i(t)=Imcos(t+)其中Im是正弦电流最大值，I是正弦电流有效值。

6. u, i u u, i i u 0 i  t 0  t u, i u  t i 0 j = (180o )，反相： 特殊相位关系： j ＝ 0， 同相： • = p/2： u 领先 i p/2, 不说 u 落后 i 3p/2； • i 落后 u p/2, 不说i 领先 u 3p/2。 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。

7. 不能比较相位差 例 计算下列两正弦量的相位差。 解 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。

8. §8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量) 有效值也称均方根值，即 有效值 以上情况同样适合于正弦电压。 实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都是有效值，包括交流电机和电器上的铭牌。

9. §8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量) 正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平均值，或者说其正半波的平均值。 其中Imcost = i(t)为正弦电流，对电压也同样适用。 平均值 有效值大于其平均值 根据欧拉公式 当是t的函数时，正弦量Amcos(t+)可用复值函数来表示

10. §8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量) 其中 是 t=0 时的复值常数，称相量 称旋转相量， 称旋转因子 相量可表示为 作为复数，相量又常用s复平面上的有向线段表示。这样的图称相量图。 设 且 Am1= Am2 = Am，1= 2 同相

11. §8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量) 1＞2 超前 角度 落后 角度 = 90 一个相量乘一个j，向逆时针方向旋转90，乘一个 -j，向顺时针方向旋转90，所以称 为90旋转因子

12. §8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量) 旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系

13. §8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量) 根据数学知识，任意个相同频率的正弦量的代数和，这些正弦量的任意阶导数的代数和，仍然是同频率的正弦量。因此，相量 完全能用来表示已知频率的正弦量。但相量并不等于正弦量，只有旋转相量才和正弦量有一一对应关系。 也称最大值相量。最大值与有效值之间的关系 其中 称有效值相量，且

14. §8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量) 正弦量与相量间属一种变换，称相量法变换 phj。相量法变换 phj 为已知正弦量变换成相量。 相量法反变换phj-1为已知相量，变换成正弦量。

15. 直流I 交流i R R 电流有效值定义为 周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。 • 周期电流、电压有效值(effective value)定义 物理意义 有效值也称均方根值(root-meen-square)

16. 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V，Um537V。 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。 注 （2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。

17. Im Im A A b b |A|  0 a 0 a Re Re 相量变换(复习) 1. 复数及运算 A=a+jb • 复数A的表示形式

18. A=a+jb 直角坐标表示 极坐标表示 A=|A|ejq=|A| q Im A b |A|  0 a Re Im A2 A1 0 Re 两种表示法的关系： 或 图解法 • 复数运算 (1)加减运算——采用代数形式 若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)

19. 若 A1=|A1|  1 ，A2=|A2|  2 (2) 乘除运算——采用极坐标形式 则: 乘法：模相乘，角相加。 除法：模相除，角相减。 例1. 解

20. A• ejq Im  A 0 Re 例2. 解 (3) 旋转因子： 复数 ejq=cosq +jsinq =1∠q A• ejq相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故把 ejq称为旋转因子。

21. Im 0 Re 几种不同值时的旋转因子 故 +j, –j, -1都可以看成旋转因子。

22. u, i i1 i2 w w w 0  t I1 I2 I3  1 2 3 正弦量 复数 2. 正弦量的相量表示 两个正弦量的相加 i1 i2 i1+i2 i3 i3 角频率： 有效值： 初相位： 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此， 实际是变换的思想

23. 复常数 • 正弦量的相量表示 是一个正弦量 有物理意义 无物理意义 设一个复函数 对A(t)取实部： 对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数 A(t)还可以写成 A(t)包含了三要素：I、  、w ，复常数包含了I, 。

24. 称 为正弦量 i(t)对应的相量。 相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： 例1 已知 解 试用相量表示i, u .

25. q  例2 试写出电流的瞬时值表达式。 解 • 相量图 在复平面上用向量表示相量的图

26. i1  i2 = i3 相量法的应用 (1) 同频率正弦量的加减 可得其相量关系为： 故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。

27. Im Im Re Re 例 也可借助相量图计算 首尾相接

28. 2 . 正弦量的微分，积分运算 微分运算: 积分运算:

29. §8.1 正弦稳态响应(几个定理) • 几个定理 定理1若为实数，Z(t)为任何实变数t的复值函数，则 Re[Z(t)] =  Re[Z(t)] 实数与复值函数相乘后取实部等于复值函数取实部后与实数相乘。 定理2若Z1(t)和Z2(t)为任何实变数t的复值函数，则 Re[Z1(t)+ Z2(t)] = Re[Z1(t)]+ Re[Z2(t)]。 复值函数相加后取实部等于各复值函数取实部后相加。

30. §8.1 正弦稳态响应(几个定理) 定理3设Z为复数，其极坐标形式是 取实部和求导的运算可互换；复值函数 对t 的导数等于该函数与j的乘积。 定理4设Z1、Z2为复数,为角频率。若所有时刻 则Z1=Z2。反之，若Z1=Z2，则在所有时刻 两角速度相同的旋转相量在所有时刻在实轴上的投影都相等，则这两相量相等。

31. §8.1 正弦稳态响应(用相量法求微分方程特解) • 用相量法求微分方程特解 其中a0，a1，，an及Am，，均是实数。方程特解为与输入同频率的正弦量。因为 其中 微分方程特解可表示为 其中 按经典法，将特解代入原方程，进行一系列的正弦量的微分和繁琐的三角公式运算。 现在用相量法求特解，即定常数Ym和。

32. §8.1 正弦稳态响应(用相量法求微分方程特解) 将yp(t)代入原方程 根据定理1 根据定理3 根据定理2 根据定理4

33. §8.1 正弦稳态响应(用相量法求微分方程特解) 由此得到代数方程 所以特解 用相量法求正弦激励下的微分方程的特解，是原来的微分方程转换成复数代数方程。

34. §8.1 正弦稳态响应(用相量法求微分方程特解) 对一阶电路求特解 方法1 所以

35. §8.1 正弦稳态响应(用相量法求微分方程特解) 方法2对一阶电路方程两边取相量法正变换 取相量法反变换

36. §8.1 正弦稳态响应 基本要求： 正弦稳态响应的概念 正弦稳态分析的概念

37. §8.1 正弦稳态响应 • 正弦稳态响应 一个具有正弦激励的线性非时变电路，其全响应的形式为y = yh + yp。 其中yh是齐次解， yp是方程的特解。 若电路变量 y的所有固有频率是不同的（也就是特征多项式没有多重零点），则有 其中si为y的固有频率，ki是由初始条件确定的积分常数。 yp作为方程的特解，是一个与输入同频率的正弦量，可以用相量法求得。

38. §8.1 正弦稳态响应 • 固有频率si都位于s平面的开左半平面上(不包括虚轴)，所有的esit都是衰减因子，当t→，yh→0。 所以 y yp = Ymcos(t+) 这表明不管电路的初始条件如何，随着t→，电路响应变成与激励同频率的正弦量。这样的电路称渐近稳定电路，这个响应称正弦稳态响应。 • 固有频率si中有一个或几个位于s平面的开右半平面上，响应中含有增长因子esit ，通常说，t →，yh →，电路是不稳定的。

39. §8.1 正弦稳态响应 • 固有频率si大部分位于s平面的开左半平面上，有一些落在虚轴上(即一些纯虚数的固有频率ji) ⓐ 位于虚轴上的是多重固有频率s1 = s2 = j0，s3 = s4 = -j0(总以共轭形式出现),则齐次解中必定含有 或表示成 k1cos(0t+1)+k2tcos(0t+2) 显然，t→，yh→，电路是不稳定的。 ⓑ 位于虚轴上的固有频率是单一的 s1 = j0，s2 = -j0，但输入信号的角频率 与 0重合(即= 0),响应中将含有ktcos(t+)，电路也是不稳定的。

40. §8.1 正弦稳态响应 ⓒ 位于虚轴上的固有频率是单一的s1= j0，s2= -j0，且输入信号的角频率与0不等(即  0),齐次解中含有kcos(0t+)，特解可用相量法求得yp=Ymcos(t+)。 当t→时，电路存在稳态响应： y = kcos(0t+ ) + Ymcos(t+) 此响应并不与输入同频率，故也不能称为正弦稳态响应。 • 对于非线性电路或时变电路，即使有稳态解，通常也不是与输入同频率的响应。

41. §8.1 正弦稳态响应 因此，对于由单一正弦输入的线性定常电路，只有当电路的固有频率都落在s复平面的开左半平面上，不论初始条件如何，响应将随着t→而变成与输入同频率的正弦量。这响应才称正弦稳态响应，这响应可用相量法来求得。 值得指出，正弦稳态响应，它与初始条件无关

42. §8.2 正弦稳态分析 正弦稳态分析 求解电路对正弦输入的正弦稳态响应称为正弦稳态分析 求正弦稳态响应的途径

43. §8.2 正弦稳态分析 一、基尔霍夫定律的相量形式 KCL： 其中 或 KVL： 其中 或

44. §8.2 正弦稳态分析 二、电路元件电压、电流关系的相量表示 基本要求： R、L、C元件的电压-电流之间的相量关系 R、L、C元件的相量模型 容抗、感抗的概念 电路的相量模型

45. §8.2 正弦稳态分析 根据支路约束(欧姆定律)u(t) = Ri(t) 所以电阻R中的电压、电流的相量关系

46. §8.2 正弦稳态分析 电压、电流同相位，说明电压、电流同时出现最大值。 相量图 电阻元件的相量模型

47. §8.2 正弦稳态分析 支路约束 所以 因此 电容元件的相量模型 相量图

48. §8.2 正弦稳态分析 电容电流最大值是电容电压最大值的C倍(随的不同而不同)；电容电流相位超前电压相位90 因为 所以 具有电阻的量纲,称为容抗XC,即 电容XC与电容C，频率f成反比。所以电容元件对高频电流呈现的容抗很小，而对直流(f=0)所呈现的容抗XC=,可视为开路。因此电容具有隔直作用。

49. §8.2 正弦稳态分析 支路约束 所以 因此 相量图 电感元件的相量模型

50. §8.2 正弦稳态分析 电感电压最大值是电感电流最大值的L倍(随的不同而不同)；电感电流相位滞后电压相位90 因为 所以L具有电阻的量纲,称感抗XL，即XL=L=2fL 感抗XL与电感L，频率f成正比。所以电感元件对高频电流的阻碍很大，而对直流可视为短路，即XL=0