Sissejuhatus astrofüüsikasse

1. Sissejuhatus astrofüüsikasse Loeng 4 Tallinna Tehnikaülikool Vladislav-Veniamin Pustõnski 2010 – 2012

2. Energia ülekanne tähtedes Tähtsaimad energia ülekande printsiibid Energiat genereeritakse tähtede keskosas ja edasi ta diffundeerub aeglaselt ülemistesse kihtidesse, kus lahkub tähtede pinnast. Meie nägime, et täht on stabiilne isereguleeriv struktuur, seega energiakao tempo sõltub mitte termotuuma reaktsioonide tempost, vaid vastupidi, nende reaktsioonide intensiivsus sõltub sellest, kui kiiresti täht kaotab energiat. See tähendab, et energiakao tempo sõltub energiaülekande protsesside efektiivsusest tähe vahepealsetes kihtides. Tähe keskosas sünnivad kõrgenergeetilised footonid. Leiame nende energiat elektron-voltides (eV). Temperatuuril T osake soojusenergia on ca kT, kus k = 1,38·10-23 J/K on Boltsmanni konstant. Et väljendada energiat eV-ides, tuleb seda jagada elementaarlaenguga e = 1,602·10-19 C. Nii saame E = kT/e. Temperatuuril 14·106 K, mis eksisteerib Päikese keskosas, saame E 1,2 keV. Leiame ka vastava lainepikkuse. Kuna footoni energia on hc/ ( on lainepikkus, h= 6,63·10-23 J·s on Planck’ikonstant), siis  hc/kT.Niileiame, et 10-9 m = 10 Å. See lainepikkusvastab röntgendiapasoonile. Kui tähe aine oleks läbipaistev footonite jaoks, siis saaksid footonid väljuda tähe keskosast ajaga, mis on täheraadius jagatud valguse kiirusega. Päikese jaoks see on Rp/c 2 sekundit. Siis kaotaks Päike oma soojusenergiat väga kiiresti. Tegelikult aga tähe aine ei ole läbipaistev, ja footonid diffundeeruvad läbi seda Päikese ülemise piirini üsna kaua. Vaid ülemised mitu sadu kilomeetrit Päikese pinna juures on läbipaistvad (fotosfäär). Selles on lihtne veenduda. Keskmine teepikkus, mida läbib footon enne põrkumist (vabateepikkus), on l = 1/nσ, kus n on osakeste tihedus, millega saavad footonid põrkuda kokku, ja σ on nende osakeste efektiivne pindala. Elektronide pindala on määratud Thomsoni valemiga, mis annab σe= 6,65 ·10-29 m2.

3. Teised protsessid on veel suuremate efektiivse pindaladega. Elektronide arvu saab hinnata jagades Päikese keskmist kesktihedust (1400 kg/m3) prootoni massiga mp= 1,67·10-27 kg (kuna elektronide arv on umbes võrdne prootonite arvuga). Seega saame n = 8,5·1029 m-2. Vastav footoni vabateepikkus on ca 1,7 cm. Leiame nüüd, kui kiiresti muutub temperatuur mööda tähe raadiust, ehk temperatuuri gradienti. Keskmistades üle terve Päikese, leiame, et keskmine temperatuuri gradient on ca Tc/Rp(Päikese pinnatemperatuur on peaaegu null võrreldes temperatuuriga keskel), ehk ca 0,02 K/m. Seega temperatuuri vahe footoni vabateepikkusel on vaid ΔT =l·Tc/Rp ehk ca 4·10-4 K, mis vastab suhtelisele muutusele ΔT/T = 3·10-11. See tähendab, et footoni jaoks temperatuur on väga ühtlane läbimisteel. See olukord vastab lokaalsele termodünaamilisele tasakaalule (ingl. Local Thermodynamic Equilibrium, LTE). See on väga tähtis asjaolu, mis lihtsustab tähe sisemise struktuuri analüüsi. LTE on olemas tähe sees tänu pidevatele kokkupõrgetele osakeste ja footonite vahel, mis ühtlustavad temperatuurivälja. LTE aga puudub ülemistes fotosfääri kihtides, kus aine on palju hõredam. Samal ajal, vaatamata üliväikesele temperatuuri gradiendile, selle olemasolu ei saa ignoreerida, kuna tänu sellele eksisteerib pidev energia voog väljaspoole. Mis toimub footoniga tema teel tähe pinnale? Footon põrkub kokku tema teel olevate aatomitega, ja kuna tal on väga kõrge energia, siis elektron aatomis kas läheb üle ülemisele tasemele (ergastamine) või üldse lahkub aatomist (ionisatsioon), footoni energia siis kulub aatomi potentsiaalse energia kasvuks. Elektron ergastatud aatomis kiiresti naaseb alumisele vabanenud tasemele, või ioon, kohtudes elektroniga, neelab selle (rekombinatsioon). Selles protsessis kiirgatakse jälle footon. Aga sümmeetria footoni neeldumise ja kiirgamise protsessides puudub: footon tihedamini ioniseerib aatomeid kõige alumistest tasemetest, milleks on vaja suurt energiat, ehk neelatakse kõrge energiaga footonid. Elektroni rekombinatsioon aga toimub esialgu ühele kõrgetest tasemetest, ja väljakiirgatava footoni energia on seega madalam. Edasi elektron „hüpab“ ülemistelt tasemetelt alumistele tasemetele, kiirgates välja igal hüpel (uute footonite kujul) vaid osa esialgselt neelatud footoni energiast. Tulemusena ühest kõrge energiaga footonist moodustub mitu footonit samasuguse koguenergiaga, kusjuures individuaalse footoni energia on väiksem.

4. Seega neelatud footoni energia jagatakse mitu footonite vahel, need uued footonid jätkuvad liikumist tähe pinna suunas, edasi „purunedes“ uuteks veel madalama energiaga footoniteks. Tähe pinnalt lahkuvad juba footonid, mille energia vastab pinnale iseloomulikule temperatuurile. Peale neeldumis- ja kiirgamisprotsesse, toimuvad ka hajumisprotsessid, enamasti footonite hajumine elektronidel (nn Thomson hajumine). Nendes protsessides footon põrkub kokku vaba elektroniga ja annab sellele üle mingi osa tema energiast. Selles protsessis footoni energia väheneb, elektronid aga hiljem jagavad oma energiat teiste osakestega või kiirgavad seda. Ülalnimetatud protsessidega on seotud kiirguslik energia ülekanne. Peale selle, on võimalikud ka teised energiaülekande protsessid, tähtsaim neist on konvektsioon, mille kohta tuleb juttu edasi. Energia ülekanne osakeste liikumisel Kasutame energia ülekande analüüsiks lihtsustatud mudelit, aga edasi me näeme, et see annab üsna täpseid tulemusi. Lihtsustades võib oletada, et osakesed liiguvad vaid 3 ristuvate sirgjoonte mööda, kus igas suunas liigub keskmiselt vaid 1/6 kõikidest osakestest. Vaatleme mingi pinnaelementi dA kaugusel r tähe tsentrist. Olgu osakeste (meie praegu ei täpsusta, kas need on footonid, elektronid vms) keskmine kiirus on v ja vabateepikkus on l. Ülesse liikuvad osakesed (nende osakaal on 1/6) kannavad läbi elementi dA ajavahemikus dt energiat (1/6)u(r-l)ldA, kus u(r-l) on energia tihedus kaugusel r-l tsentrist. Alla liikuvad osakesed kannavad vastupiidises suunas energiat (1/6)u(r+l)ldA. Kogu energiabilanss on seega dE = (1/6)u(r-l)ldA - (1/6)u(r+l)ldA = (1/6)ldA [u(r-l) – u(r+l)]. Kuna u(r-l) u(r) – l ja u(r+l) u(r) + l, seegadE. Seega ajavahemikus dt = l/v pinnaelementi läbib energia dE = , ja energia voog on

5. . Footonite puhul v = c, elektronide puhul v on elektronide keskmine kiirus. Kasutades ruumiühiku soojusmahtuvuse Cv = du/dT, võib kirjutada . See onnn. Fick’i diffusiooniseadus, mida saab kirjutada ümber kujul , kus = – juhtivuse koefitsient. Astrofüüsikas tihti kasutatakse läbipaistmatuse koefitsienti , mida defineeritakse nii: l = 1/nσ = 1/ρ, kust= nσ/ρ. Footonite jaoks see sõltub gaasi koostisest, ionisatsioonist ja sagedusest. Meie aga saame kasutada keskmist väärtust. Vaatleme kõigepealt kiirguslikku ülekannet. Footonite jaoks, v = c, l = 1/ρ, u = aT4, = du/dT = 4aT3 (siin meie kasutame a Boltzmanni konstandi tähistamiseks, et mitte segada seda efektiivse ristlõikega). Tulemuseks saame: . Kogu voog läbi pinda 4πr2on Lr =4πr2f, seegatemperatuuri gradient raadiusel ron . See on temperatuurigradiendi võrrand tähtede alades, kus toimub kiirguslik energiaülekanne. Päikese ja Päikesest väiksema massiga tähtedes tähe sisemised kihid on kiirguslikud, ülemised kihid on konvektiivsed. Massivsetes tähtedes kiirguslikud on väliskihid. Valemist on näha, et temperatuuri gradinent kiirguslikul ülekandel kiiresti langeb temperatuuri kasvuga. See tähendab, et kõrgetel temperatuuridel kiirguslik ülekanne muutub ebaefektiivseks: temperatuur ei jõua langeda isegi suurtel kaugustel.

6. Analüüsime saadud tulemusi kiirguse rõhu vaatepunktist. On teada et samuti footonid osutuvad rõhujõudu pinnale, millele nad langevad. Seos footongaasi energia u ja selle rõhu Pr vahel on järgmine: Pr = u/3. Seega footonite jaoks . Tähe pinnal f = L/4πr2, seega . Kasutades hüdrostaatilise tasakaalu tingimust (tähe pinnal, kus m = M) ja jagades eelviimast võrrandit viimasega, saame . Tähe pinna juures esimeses lähenduses dP ΔP P – P0, kus P ja P0 on vastavalt rõhud väiksel sügavusel ja pinna peal. Pinnal rõhk P0 on null, seega dP P. Sama kehtib ka kiirguse rõhu jaoks. Seega tähe pinna juures . Selleks, et ülemised kihid oleksid stabiilsed, kogu rõhk peab olema kiirgusrõhust suurem, muidu ülesse suunatud kiirgusrõhk puhub ülemised kihid tähe pinnalt ära: tekib tähetuul. Seega viimase võrrandi parem pool peab olema ühest väiksem. Ülemistes kihtides, kus rõhk on väga madal, domineerib elektronidel hajumisega seotud läbipaistmatus e. Kuna 1/neσe= 1/eρ(ne on elektronide tihedus), siis e = ρ/neσe. Täielikult ioniseeritud vesiniku jaoks ρnemp(mp on prootoni mass), seega e = mp/σe 0,04 kg/m2 ja (kasutades Päikese ühikuid)

7. Niiviisi saame maksimaalse tähe heleduse, ehk Eddington’i piirheleduse Ledd: Arvutades sulgudes oleva konstantide kombinatsiooni väärtuse, saame ca 3,2·104. Täht, mille heledus ületab Eddington’i limiiti, kiiresti kaotab massi. Piirheleduse väärtus sõltub mingil määral ka keemilisest koostisest: kui täheaines on märgatav heeliumi ja raskemate elementide osakaal, siis piirheledus on suurem, kuna masiivsemate aatomite eemaldamiseks tähe pinnalt on vaja suuremat kiirgusrõhku. Analoogiliselt footonitega, võib vaadelda ka elektrone, mille abil realiseerub energiaülekanne soojusjuhtivuse teel. Suhteliselt lihtsalt võib näidata, et elektronide vabateepikkus Päikese keskosas on ca 5·105korda väiksem kui footonite vabateepikkus. Seega, kuigi elektronide soojusmahtuvus on suurem, nende kiirus ja vabateepikkus on palju väiksem, seega nende roll energiaülekandes on tühine võrreldes kiirgusliku ülekandega. See kehtib ka teiste tähetüüpide puhul. Olukord on väga erinev kõdunud aines, mis leiab aset nt valgetes kääbustes. Selleks on kaks põhjust. 1) Kõdunud aines elektronide põrked ioonidega toimuvad palju harvemini seoses selle aine eripäraste omadustega, seega elektroni vabateepikkus on palju suurem. 2) Kõik aatomite alumised energiatasemed on täidetud elektronidega, nad võivad viibida ainult väga kõrgetel energiatasemetel, kus nende enrgia (Fermi energia) on palju suurem kui temperatuurile T vastav termodünaamilise tasakaalu energia kT. Seega liituvad elektronid võivad kanda üle palju rohkem enegiat kui tavalises tähes. Aine läbpaistmatus Täheaine läbipaistmatuse koefitsient sõltub sellest, missugused protsessid takistavad footoni vabaliikumist aines. Meil on juba teada Thomsoni koeffitsient e, mis on seotud hajumisega vabadel elektronidel. Üldine valem, mis võtab arvesse ka relativistlikuid elektrone ja kõdunud elektrone, omab kuju m2kg-1,

8. kus X on vesinikusisaldus (massiühiku kohta) ja tihedus  on antud g/cm3 ühikutes. Footonit võib neelata ka elektron, mis on kas seotud aatomiga või on aatomi elektriväljas. Vastavalt sellele on võimalikud järgmised neeldumisprotsessid: vaba-vaba, seotud-vaba, seotud-seotud, kus esimene ja teine sõna vastavad elektroni alg- ja lõppseisundile. Vaba-seotud üleminekul footoni neeldumine ioniseerib aatomi, seotud-seotud üleminekul aatom läheb üle ergastatud seisundisse. Nende protsessidega seotud keskmist läbipaistvust võib aproksimeerida nn. Kramersi valemiga: m2kg-1, kus Z on metallide sisaldus. Need protsessid on tähtsad siis, kui vesinik, heelium ja raskemad elemendid on osaliselt ioniseeritud ja kui temperatuur ületab ca 20·103 K. Tähtede külmades atmosfäärides, kus 4·103 K< T < 8·103 K, on tähtis aatomi ioniseerimisega seotud läbipaistmatus (H– on vesiniku aatom, millele lisandus veel üks elektron). Veel madalamatel temperatuuridel on tähtis molekulitega (vesi, CO) seotud neeldumistegurid. Kogu läbipaistmatus on ülaltoodud läbipastmatuse summa, mis sõltub temperatuurist, tihedusest ja keemilisest koostisest. Tegelikult läbipaistmatus on erinev erinevatel lainepikkustel (erandiks on Tompsoni hajumine, mis ei sõltu lainepikkusest). Seega tihti kasutatakse mudelite ehitamiseks keskmistatud väärtusi, nt Rosselandi keskmist.

9. Konvektsioon Peale kiirguslikku ülekannet ja elektronide soojusjuhtivust on võimalik kolmas energiaülekanne mehanism, see on konvektsioon. Konvektsiooniks nimetatakse soojusenergia ülekannet vertikaalselt (täpsemalt, radiaalselt) liikuvate massidega: alt soojendatud massid liikuvad ülesse, külmemate kihtide suunas, kus annavad nendele kihtidele oma soojusenergiat ja, jahtatuna, upuvad tagasi alla. Konvektsioon toimub siis, kui temperatuuri gradienton väga suur. Näitena võib tuua tavaline teekann, kus vesi kuumendatakse alt. Esialgselt, varsti pärast sisselülitamist, vee temperatuur ei jõudnud veel suurte väärtusteni, temperatuur põhjal en erine palju temperatuurist üleval, temperatuuri gadient on seega väike, ja kogu energia ülekanne põhjalt ülesse toimub soojusjuhtivuse abil. Aga soojusjuhtivus ei ole piisavalt efektiivne, kui soojuselemendi võmsus on suur. Seega temperatuur põhjal tõuseb: elemendilt saadud soojus ei jõua diffundeerida ülesse. Mingil hetkel, kui temperatuuri gradient saab piisavalt suureks, kannis algab konvektsioon: alumised veekihid paisuvad, kui nende temperatuur tõuseb, nende tihedus langeb, ja nad hakkavad liikuma ülesse. Nende kohale tulevad külmemad suurema tihedusega veemassid ülevalt. Kuumad massid, jõudes ülesse, jahtuvad, külmad massid, vastupidi, põhjal kuumenevad, ja protsess kordub: kannis toimub vee vertikaalne ringlus. Analoogiline protsess võib aset leida ka tähtedes teatud tingimuste rahuldamisel. Nt. Päikesel konvektsioonis osalevad ülemised kihid paksusega 1/3 tema raadiusest. Konvektsiooni visuaalseks tõendiks on nn. graanulid, mida saab vaadelda Päikese pinnal. Konvektsioon on alati seotud turbuletsete liikumistega, mille detailne kirjeldus on väga keeruline.

10. Vaatleme nüüd, missugusel tingimusel konvektsioon algab. Seda tingimust on lihtne leida. Oletame, et mingi massi „mull“ tõuseb raadiuselt r (kus on tasakaalulised rõhk P, temperatuur T ja tihedus ) radiaalselt väikese kauguse dr võrra, jõudes raadiuseni r + dr(tasakaalulise rõhuga P + dP, temperatuuriga T + dT ja tihedusega  + d). „Mulli“ parameetrid saabumisel on P + P,  +  ja T + T. On selge, et kui „mulli“ tihedus on suurem, kui kihi tihedus (ehk  > d), siisupub see „mull“ tagasi. Kui aga tema tihedus on ümbritseva aine tihedusest väiksem ( < d), siis ta jätkab tõusu, mis tähendabki konvektsiooni algust. Esimeses lähenduses võib ignoreerida „mulli“ ja ümbritseva aine soojusenergia vahetust, ehk eeldada, et protsess on adiabaatiline. Adiabaatilise protsessi jaoks kehtib adiabaadi võrrand: , kus  on adiabaatiline konstant. Kui kasutame selles võrrandis tihedust (massiühku kohta V = 1/), siis see omandab kuju. Võtame sellest võrrandist logaritm ja differentseerime seda: , , seega = . Kui „mull“ tõuseb, siis rõhk selles saab võrdseks ümbritseva aine rõhuga, rõhude tasakaalustamine toimub helikiirusega aines, seekiirusonpaljusuurem, kui „mulli“ kiirus, seega = dP, ja = Välise tiheduse muutus d võrdub sama avaldusega, ja kunakonvektsioonalgabtingimusel ,siis

11. kust . Edasikasutameideaalsegaasi võrrandi, mille järgi P = const·T. Logaritmi võtmine ja differentseerimine annab , Elimineerides selle võrrandi abil võrrandist (*), saame Jagadesdrja võttes mooduli (selleks peame asendada “<“ märk “>”märgiga, kuna gradiendid on negatiivsed), saame See on nn. Schwarschild’ikriteerium. Konvektsioonalgab, kuitemperatuurigradinet on suurem, kuiväärtus paremal. Tuleb ka tähele panna, et see on lokaalne kriteerium, kuna sõltub vaid gaasi lokaalsetest parameetritest. Anname nüüd võrratusele (**) veel ühte interpretatsiooni, kasutades adiabaatilist gradienti. Selleks kirjutame seda kujul

12. (võrratusmärk on vahetatud, kuna temperatuuri ja rõhugradiendid on negatiivsed) ja, kasutades logaritmi, Paremal pool selles võrrandis on nn. adiabaatiline gradient, mida saab adiabaati võrrandist kujul . Võttes logaritmi ja differentseerides, saame , , , ehk viidabsellele, et tuletis võetakse adiabaatilse protsessi jaoks (isoentroopne protsess). Edasi defineerime suurust (ratiatiivne gradient), kus tähistused on samad, mis temperatuuri gradiendi valemis kiirgusliku energia ülekande jaoks. Võib näidata, et selline oleks temperatuuri logaritmiline gradient rõhu logaritmi jargi, kui kiirgus kannaks üle kogu enegia. Kui osa energiast viiakse tähest välja mitte kiirgusega, vaid konvektsiooniga, siis vastav heledus on suurem, kui ta oleks puhtalt kiirgusliku ülekande puhul. Seega, konvektsiooni tingimusteks on .

13. ktsioon massiivsetes tähtedes (M > 1,5 Mp) Massiivsetes tähtedes töötab CNO-tsükkel, mille sõltuvus temperatuurist on väga järsk: energia eraldus on proportsionaalne T16. Seega energia genereetitakse kompaktses tuumas, väljaspool sellest, kus temperatuur kahaneb, energia eraldumine ei toimu. See tähendab, et radiatiivse gradiendi valemis on väga kõrge, ja gradient on suur. Seega tuum osutub konvektiivseks: energia eraldus on nii suur, et kiirgusülekanne ei ole piisav kogu energia ära viimiseks, ja osa sellest on ära viidud konvektsiooniga. Tuumas konvektsioon on nii efektiivne, et temperatuuri gradient on peaaegu adiabaatilise gradiendiga võrdne (kuigi natukene sellest suurem). ktsioon vähemassiivsetes tähtedes (M <1,5 Mp) Nendes tähtedes toimub pp-tsükkel, mis sõltub temperatuurist väiksemal astmel, seega energia eraldumine tuumas on ühtlasem, radiatiivne gradient on väiksem, ja kiirgus suudab ära viia kogu eraldavat energiat. Seega tuum ei ole konvektiivne. Aga ülemistes kihtides toimub konvektsioon. Selleks on kaks põhjust: • Jahedamates atmosfäärides ilmub ioon H–, mille tõttu kasvab läbipaistmatus ja sellega ka radiatiivne gradient (kuna ta on võrdeline –ga). Sisuliselt, see takistab efektiivset kiirgusliku energia ülekannet, mille tõttu peab astuma mängu konvektsioon. • Adiabaatiline koeffitsient  on lähedane 1-le tsoonides, kus vesinik ja heelium on osaliselt ioniseeritud seoses suure soojusmahtuvusega Cv (osa energiast kulub ionisatsioonile, mitte temperatuuri tõusule). Kui  on lähedane 1-le, siis adiabaatiline gradient (-1)/ on väike, ja see soodustab konvektsiooni.