Fisica 2 12° lezione

1. Fisica 212° lezione

2. Programma della lezione • Momento agente su un ago magnetico • Forza agente su una spira • Momento di forza agente su una spira • Momento magnetico di dipolo • Energia potenziale di una spira • Teorema di equivalenza di Ampère • Flusso del campo B • Sorgenti del campo B

3. Momento agente su un ago in un campo B • Un ago magnetico in un campo B è soggetto ad una coppia il cui momento può essere misurato • La situazione è analoga a quella di un dipolo elettrico in un campo E • Possiamo definire un nuovo ente vettoriale: il momento magnetico dell’ago • direzione e verso sono individuati dal vettore che va dal polo S al polo N dell’ago • il modulo m è tale che quando l’ago è posto in un campo B, la coppia risultante ha momento meccanico • L’energia dell’ago in un campo esterno è, analogamente al caso elettrico,

4. z B n A B q O h x D C b y z B n q y x X Forza agente su una spira in un campo B • Spira rettangolare (per semplicità) che possa ruotare intorno ad un asse (x) perp. a B (lungo z) • Lati perp. all’asse di rotazione: • Sul lato AD (lunghezza h) agisce la forza • Su BC la stessa forza con segno opposto • Le forze sui due lati sono uguali ed opposte • Lati paralleli all’asse: • Sul lato AB (lunghezza b) agisce la forza • Su DC la stessa forza con segno opposto • Le forze sui due lati sono uguali ed opposte

5. z B n A B q O h x D C b y Momento agente su una spira in un campo B • Lati perpendicolari all’asse di rotazione • Possiamo considerare il momento della forza risultante invece che il risultante dei momenti • Le due forze sui lati AD, BC sono uguali, opposte e hanno la stessa linea d’azione, quindi il momento totale è nullo

6. z B n q y x X Momento agente su una spira in un campo B • Lati paralleli all’asse di rotazione • Di nuovo possiamo considerare il momento della forza risultante invece che il risultante dei momenti • Le due forze risultanti sui lati AB, DC sono uguali, opposte e hanno braccio • quindi hanno momento

7. Momento magnetico di dipolo • Definiamo il momento magnetico di una spira piana (di forma arbitraria) come il vettore • A: area della spira • I: corrente circolante • n: versore normale alla spira • Il momento meccanico in un campo B può venir espresso nella stessa forma che per un ago magnetico

8. Teorema di equivalenza di Ampère • Equivalenza tra un magnete ed una spira • 1) le azioni meccaniche esercitate da un campo B su di un magnete o su di una spira di ugual momento magnetico, sono uguali • 2) a grande distanza il campo B di dipolo generato da una spira è uguale a quello di un magnete

9. Teorema di equivalenza di Ampère • Abbiamo dimostrato la prima parte: le azioni di un campo esterno B su un ago e una spira sono uguali, purché tra il momento dell’ago, la corrente e l’area della spira valga la relazione • La seconda parte la assumeremo per buona

10. Energia potenziale di una spira • Scegliamo come zero dell’energia • U e` l’opposto del lavoro per andare da a

11. Sorgenti del campo B • Il teorema di Ampère ci induce a pensare che il magnetismo di un magnete altro non sia che l’effetto di correnti microscopiche all’interno della materia • Le sorgenti del campo magnetico non sono quindi le cariche magnetiche, ma le correnti elettriche

12. Flusso del campo B • Definizione • Dimensioni fisiche • Unità di misura è il weber (Wb)

13. Flusso del campo B • Per il principio di sovrapposizione il campo B si può pensare come somma dei campi dovuti ai singoli portatori • Il flusso sarà • Basta quindi considerare il flusso di un singolo portatore, il cui campo è

14. Flusso del campo B • Per quanto detto sulla legge di Gauss, possiamo limitarci a calcolare il flusso attraverso una sfera con centro nella carica in moto • Le linee di b sono tangenti alla superficie sferica, quindi il flusso di b, e di conseguenza quello del campo totale B sono nulli • Cioè abbiamo la 2° equazione dell’em

15. Sorgenti del campo B • Se confrontiamo questo risultato con il caso elettrico possiamo affermare che l’annullamento del flusso di B stabilisce la non esistenza di cariche magnetiche

16. Forma differenziale della legge di assenza di carica magnetica • L’annullamento del flusso e della divergenza sono due aspetti della stessa cosa • Applichiamo il teorema della divergenza all’integrale del flusso • Ne segue che l’integrando nell’ultimo membro dev’essere nullo ovunque

17. Potenziale magnetico • Abbiamo visto che ad un campo E si puo` associare un potenziale scalareV • E` possibile fare una cosa analoga per il campo B? • La risposta e` no • E` invece possibile associare un potenziale vettoreA

18. Potenziali e.m. • Questo deriva formalmente dalle diverse proprieta` dei campi • Per il campo E e` sempre verificato • Per cui si puo` scrivere • In quanto la rotazione di un gradiente e` identicamente nulla • Per il campo B abbiamo invece • Non si puo` esprimere B come gradiente di un campo scalare, in quanto la divergenza di un gradiente non e` necessariamente nulla • E` pero` possibile esprimere B come rotazione di un campo vettoriale: • in quanto la divergenza di una rotazione e` identicamente nulla

19. Potenziali e.m. • Verifichiamo questa affermazione