Višekriterijsko linearno programiranje

1. Višekriterijsko linearno programiranje Odlučivanje u konfliktnim situacijama

2. Primjeri…prvi • Izbor investicijskog projekta • Kriteriji : neto sadašnja vrijednost, vrijeme povrata…ima ih još • Najčešće je… • velika neto sadašnja vrijednost i veliko vrijeme povrata • manja neto sadašnja vrijednost ali i manje vrijeme povrata • Koji projekt prihvatiti?

3. Drugi … • Velika očekivana dobit i veliki rizik • Mala očekivana dobit i mali rizik

4. Konfliktni ciljevi • Ako je moguće ostvariti maksimalnu dobit, kvalitetu, stupanj iskorištenja kapaciteta, minimalni otpad… istodobno onda je dana odluka idealna u odnosu na navedene kriterije. Najčešće idealna odluka nije moguća odluka. Neke odluke su usporedive po više kriterija ali neke nisu. • Kako povećanje dobiti može izazvati pad kvalitete, zadovoljenje jednog parcijalnog cilja izaziva podbačaj barem jednog od preostalih ciljeva.

5. Višekriterijski problem… Ako želimo dostići p ciljeva na istom skupu mogućih rješenja S i ako su ciljevi dostizanje maksimalne vrijednosti funkcija z1(x),…, zp(x) onda taj problem možemo zapisati s p problema optimizacije (P1) max {z1(x):xεS} … (Pp) max {zp(x):xεS}

6. Problem vektorske optimizacije (VP) max {(z1(x),…,zp(x)):xεS}. Ako su funkcije z1(x),…,zp(x) linearne i S skup rješenja sustava linearnih nejednadžbi ili jednadžbi onda je (VP) problem višekriterijskog linearnog programiranja. Ako je problem s dvije funkcije cilja, onda ga zovemo bikriterijski.

7. Idealno rješenje Idealno rješenje problema (VP) je moguće rješenje x* u kojem svaka od funkcija cilja dostiže svoju najveću vrijednost.

8. Primjer1. • max (x1+x2, x2) uz ograničenja 0≤x1≤ 3 0≤x2≤ 3 Ovaj problem ima idealno rješenje.

9. z1(x)= x1+x2 max {z1(x):xεS }=6 Optimalno rješenje je x*=(3,3) z2(x)= x2 max {z2(x):xεS }=3 Optimalna rješenja su vrhovi x*=(3,3) i x’=(0,3) te brid koji ih spaja. x(α)=(1- α)(3,3)+ α(0,3)=(3-3 α,3) α ε[0,1] …

10. Usporedimo vektore… • z(x)=(z1(x),z2(x)) • z(3,3)=(6,3) • z(0,3)=(3,3) • z(3,3)=(6,3)≥(3,3)=z(0,3) • z(3,3)=(6,3)≥(6-3α,3)=z(x(α)), α ε[0,1].

11. Rješenja problema (VP) Kako su ciljevi najčešće konfliktni odnosno zadovoljenje jednog cilja dovodi do podbačaja bar jednog od preostalih ciljeva, idealno rješenje ne postoji. Radi toga se definira efikasno rješenje koje je rješenje problema višekriterijske optimizacije.

12. Efikasno ili Pareto optimalno rješenje • Kažemo da je moguće rješenje x*efikasno ili Pareto optimalno rješenje problema (VP) ako ne postoji bolje moguće rješenje, odnosno ne postoji moguće rješenje x takvo da je zi (x)≥zi(x*), i=1,…,p s barem jednim znakom stroge nejednakosti. Označimo s E(S) skup efikasnih rješenja.

13. Primjer 2 • max (x1+x2, -x1 +x2) uz ograničenja 0≤x1≤ 3 0≤x2≤ 3

14. z1(x)=x1 + x2 z1(V1)=z1(0,0)=0 z1(V2)=z1(3,0)=3 z1(V3)=z1(3,3)=6 z1(V4)=z1(0,3)=3 z1(x)=-x1 + x2 z2(V1)=z2(0,0)= 0 z2(V2)=z2(3,0)=-3 z2(V3)=z2(3,3)= 0 z2(V4)=z2(0,3)= 3 Vrhovi skupa mogućih rješenje S su V1 =(0,0), V2 =(3,0), V3 =(3,3), V4 =(0,3).

15. Slika vrhova skupa mogućih rješenja su točke kriterijskog skupa z(V1 )=(0,0), z(V2)=(3,-3), z(V3) =(6,0), z(V4 )=(3,3). Primijetimo da je g1=max{z1(x):xεS}= 6 = z1(3,3) g2=max{z2(x):xεS}=3 = z2(0,3) Cilj koji želimo dostići je g=(g1,g2)=(6,3).

16. Kriterijski skup • Z(S)={(z1(x),z2(x)):xεS} je skup mogućih vrijednosti funkcija cilja. Osim slika svih vrhova skupa S u tom skupu Z(S) su i sve njihove pravocrtne spojnice, pa se on zove konveksna ljuska vrhova. Skup Z(S) je konveksan poliedar.

17. Određivanje skupa efikasnih rješenja • Grafička metoda (u slučaju kada je problem s dvije varijable ili dvije funkcije cilja) • Parametarsko programiranje (prema teoremu Geoffrion-Isermann)

18. Grafička metoda u kriterijskom skupu • Odrede se vrhovi V skupa mogućih rješenje. • Odredi se z(V)=(z1 (V),z2 (V)), vrijednosti funkcija cilja. • Odredi se konus uređaja vektora sa dvije komponente.

19. Sada crtam po ploči…

20. Određivanje jednog efikasnog rješenja • Kompromisno rješenje je moguće rješenje koje je najbliže idealnom rješenju. • Udaljenost mogućeg rješenja od idealnog rješenja mjeri se pomoću razdaljinske funkcije. Mi ćemo koristiti euklidsku normu-normu 2, normu 1 i normu ∞ (Čebiševljevu normu). • …

21. Teorem Geoffrion(1968)-Isermann(1974) • Moguće rješenje x* je efikasno rješenje problema (VP) ako i samo ako postoje parametri w1,…,wp>0, w1 +…+wp =1 takvi da je x* optimalno rješenje problema (PW) max {w1z1 (x)+…+wp zp(x):xε S}.

22. Problem (PW) • Parametri w1 ,…, wpzovu se ponderi ili težine. • Zbroj parametara 1 uzima se radi računskih razloga, u nizu primjena osim navedenih vrijednosti, uzimaju se pozitivni brojevi. • Problem (PW) ima skalarnu funkciju cilja. • Problem (PW) je problem parametarskog programiranja.

23. Što znamo…malo matematike • Skup efikasnih rješenja je stazom povezan. • Bilo koja dva efikasna rješenja povezana su stazom efikasnih rješenja. • Ako su dva susjedna vrha efikasna onda je efikasan brid koji ih spaja. • Koristi se još naziv efikasna granica.

24. … Ako problem max{zi(x):xεS}, i=1,…,p ima jedno optimalno rješenje, onda je to rješenje efikasno. Ako taj problem ima više optimalnih rješenja, onda je barem jedno od njih efikasno.

25. Strategija donositelja odluke

26. Ako donositelj odluke može numerički izraziti važnost pojedinih kriterija u bikriterijskom problemu • Oba kriterija su jednako važna, onda je w1=0.5 i w2=0.5, te rješavamo problem max{0.5z1(x)+0.5z2(x):xεS} i rješenje ovog problema je efikasno rješenje. • Ako je prvi kriterij četiri puta važniji od drugog, onda je w1=0.8 i w2=0.2, te rješavamo problem max{0.8z1(x)+0.2z2(x):xεS} i rješenje ovog problema je efikasno rješenje. • …

27. Kompromisno rješenje Cilj ili meta je g=(g1,…,gp), gdje je (P1) g1= max {z1(x):xεS} … (Pp) g p =max {zp(x):xεS}

28. Kriteriji za izbor kompromisnog rješenja • Najmanji zbroj kvadrata odstupanja. • Najmanji zbroj apsolutnih vrijednosti odstupanja. • Minimalizacija maksimalnog apsolutnog odstupanja.

29. Odstupanja od cilja g • d1=g1-z1(x) • d2=g2-z2(x) • … • dp=gp-zp(x) Kako je g1= max {z1(x):xεS}≥ z1(x) … gp = max {zp(x):xεS} ≥ zp(x) za bilo koje moguće rješenje x, onda je |di|=gi-zi(x), i=1,…,p.

30. Minimalizacija zbroja apsolutnih vrijednosti odstupanja • min{|g1-z1(x)|+…+|gp-zp(x)|:xεS} transformira se u problem linearnog programiranja • min (d1+…+dp) uz ograničenja z1(x)+d1 =g1 … zp(x)+dp =gp d1,…,dp ≥0, xεS.

31. Primjer 2- odredite efikasno rješenje po kriteriju najmanjeg zbroja apsolutnih vrijednosti odstupanja • max (x1+x2, -x1 +x2) uz ograničenja 0≤x1≤ 3 0≤x2≤ 3

32. Transformirani problem min (d1+d2) x1+x2+d1 = 6 -x1+x2+ d2 = 3 d1,d2≥0 0≤x1≤ 3 0≤x2≤ 3 Ovaj problem ima dva optimalna bazična rješenja i njihovu konveksnu kombinaciju.

33. Minimalizacija maksimalnog apsolutnog odstupanja –Čebiševljev kriterij min max{|gi-zi(x)|:i=1,…,p} xεS Ako ovaj problem ima jedno optimalno rješenje, onda je ono efikasno. Ako ovaj problem ima više optimalnih rješenje, onda je bar jedno od njih efikasno. Ovaj problem se transformira u problem linearnog programiranja. Uvodi se varijabla y, gdje je y=max{|gi-zi(x)|:i=1,…,p}.

34. Transformirani problem min y uz ograničenja z1(x)+y ≥ g1 … zp(x)+y ≥ gp y ≥0, xεS.

35. Transformirani problem, primjer 2 min y x1+x2+ y ≥ 6 -x1+x2+ y ≥ 3 y≥0 0≤x1≤ 3 0≤x2≤ 3

36. Primjer 3 • Odredite kompromisno rješenje problema • max(x1+5x2,3x1+x2) • uz ograničenja • x1+2x2≤10 • x1+ x2≤ 7 • x1 ≤ 5 • x1, x2 ≥0

37. Tražimo cilj g Prvo rješavamo (V1) g1=max{x1+5x2:xεS}, dobivamo g1=z1(0,5)=25. Kako je x=(0,5) jedino optimalno rješenje problema (V1), onda je ono efikasno. Rješavamo (V2) g2=max{3x1+x2:xεS}, dobivamo g2=z2(5,2)=17. Kako je x=(5,2) jedino optimalno rješenje problema (V2), onda je ono efikasno.

38. z1(x)=x1+5x2 z1(0,5)=25 z1(5,2)=12 z2(x)=3x1+x2 z2(0,5)=5 z2(5,2)=17 Znamo dva efikasna vrha

39. Kompromisno rješenje…prvo Rješavamo problem min(d1+d2) x1+2x2≤10 x1+ x2≤ 7 x1 ≤ 5 x1+5x2+d1=25 3x1+ x2+d2=17 x1, x2 ,d1,d2≥0

40. Optimalno rješenje problema x1=4, x2 =3, efikasno rješenje. d1=6, d2=2, podbačaj prve i druge funkcije cilja od njihove najveće vrijednosti. Provjera: z1(4,3)+d1=25, z2(4,3)+d2=17.

41. Kompromisno rješenje…drugo Rješavamo min y x1+2x2 ≤10 x1+ x2 ≤ 7 x1 ≤ 5 x1+5x2 +y≥25 3x1 + x2 +y≥17 x1,x2,y≥0

42. Optimalno rješenje…jedino x1=3, x2=3.5, efikasno rješenje u kojem je y=4.5 maksimalno odstupanje od optimalnih vrijednosti prve i druge funkcije cilja. Provjera: z1(3,3.5)+y≥25 z2(3,3.5)+y≥17

43. Minimalan zbroj kvadrata odstupanja • min{(g1-z1(x))2 +…+(gp-zp(x))2:xεS} • Ovo je problem kvadratnog programiranja, riješimo ga koristeći odgovarajući program. • Funkcija cilja je kvadratna i konveksna funkcija.