专题五　综合型问题

专题五　综合型问题 专题训练【练习篇】考点知识梳理中考典例精析专题训练

1．阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别致．这类问题一般分两部分：一是阅读材料，二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料．1．阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别致．这类问题一般分两部分：一是阅读材料，二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料．主要题型有：(1)判断概括型，即阅读特殊范例推出一般结论；(2)方法模拟题，即阅读解题过程，总结解题规律、方法；(3)迁移发展型，即阅读新知识，研究新问题，运用新知识解决问题，解答这类题关键是认真仔细阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后加以解决．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合能力的．

2．运动型问题综合性较强，涉及三角形、四边形、函数、圆等知识．在中考命题中一般设置为压轴题．解决的一般思路是化动为静，数形结合．分析此类题时要明确运动的起始点、运动方向和过程、终点，最后结合所求问题思考解题过程．2．运动型问题综合性较强，涉及三角形、四边形、函数、圆等知识．在中考命题中一般设置为压轴题．解决的一般思路是化动为静，数形结合．分析此类题时要明确运动的起始点、运动方向和过程、终点，最后结合所求问题思考解题过程． 3．解图表信息题关键是“识图”和“用图”．解题时，要求通过认真阅读、观察和分析图象、图形、表格，获取信息，根据信息中数据或图形特征，找出数量关系或弄清函数的对应关系，研究图形的性质，进行推理、论证、计算，从而解决实际问题．图表信息问题往往出现在“方程(组)、不等式(组)、函数、统计与概率”等知识应用题中，审题时注意把握图表中的信息．

2011·北京阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图①所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可,他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形(如图②所示).请你回答:图中△BDE的面积等于______．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图所示，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF. (1)在图中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)； (2)△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于______．【点拨】(1)等底等高的三角形面积相等;(2)中线平分三角形的面积.

（2011·荆州） 2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. (1)分别求y1和y2的函数解析式； (2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买,请你设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额．

∴10－t＝7(万元)． 即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获得最大补贴5.8万元．

【点拨】邻边相等的平行四边形是菱形．对于动态几何问题的解答，一定要根据图形的变化进行分类讨论．【点拨】邻边相等的平行四边形是菱形．对于动态几何问题的解答，一定要根据图形的变化进行分类讨论．

1．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程s(米)与所用时间t(秒)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD.如图，下列说法正确的是()1．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程s(米)与所用时间t(秒)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD.如图，下列说法正确的是() A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面答案：D

2．如图所示，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.2．如图所示，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q. (1)求证：OP＝OQ. (2)若AD＝8厘米，AB＝6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

3．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”．相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方……请你协助他们探索这个问题．3．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”．相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方……请你协助他们探索这个问题． (1)写出判定扇形相似的一种方法：若______，则两个扇形相似； (2)有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为______；

(3)如图①是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30 cm，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇(如图所示)，求新做纸扇(扇形)的圆心角和半径．

综合型问题 训练时间：60分钟分值：100分

一、选择题(每小题6分，共12分) 1．(2010中考变式题)如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是()

【答案】A

3．(2011·成都)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．

【答案】3

5．(2010中考变式题)为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．5．(2010中考变式题)为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．【解析】由题意可得a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23，4d＝28，由4d＝28可得，d＝7，∴c＝1，b＝4，a＝6. 【答案】6,4,1,7

6．(2012中考预测题)我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2，(1 011)2换算成十进制数应为： (101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝4＋0＋1＝5； (1 011)2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝11. 按此方式，将二进制数(1 001)2换算成十进制数的结果是________．【解析】(1001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝9. 【答案】9

7．(2010中考变式题)含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的质量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同．那么从每种饮料中倒出部分的质量是________千克．7．(2010中考变式题)含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的质量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同．那么从每种饮料中倒出部分的质量是________千克．【答案】24

三、解答题(共48分) 8．(10分)(2010中考变式题)已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，如图所示，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE. (1)在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形； (2)∠ABC＝60°，EC＝2BE，求证：ED⊥DC.

【答案】 (1)解：如图，分别以点B、D为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于一点P，连接AP，AP即为∠BAD的平分线，且AP交BC于点E.连接BD、DE，AP与BD交点为O. ∵AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO， ∴BO＝OD. ∵AD∥BC，∴∠OBE＝∠ODA，∠OAD＝∠OEB.

∴△BOE≌△DOA，∴BE＝AD， ∴四边形ABED是平行四边形．又∵AB＝AD，∴平行四边形ABED是菱形． (2)设DE＝2a，则CE＝4a，过点D作DF⊥BC，垂足为F. ∵ED2＋DC2＝EC2， ∴△EDC为直角三角形，∴ED⊥DC.

9．(18分)(2011·宁波)阅读下面的情景对话，然后解答问题：9．(18分)(2011·宁波)阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b>a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c；(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b>a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c；

①求证：△ACE是奇异三角形； ②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

(3)①证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，在Rt△ADB中，AD2＋BD2＝AB2. ∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2，∴AC2＋CB2＝2AD2. 又∵CB＝CE，AE＝AD，∴AC2＋CE2＝2AE2. ∴△ACE是奇异三角形． ②由①可得△ACE是奇异三角形，∴AC2＋CE2＝2AE2. 当△ACE是直角三角形时，

10．(20分)(2011·山西)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8,0)，点B的坐标为(11,4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O－C－B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(t>0)，△MPQ的面积为S.10．(20分)(2011·山西)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8,0)，点B的坐标为(11,4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O－C－B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(t>0)，△MPQ的面积为S.

(1)点C的坐标为________，直线l的解析式为________________．(1)点C的坐标为________，直线l的解析式为________________． (2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． (3)试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值． (4)随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N.试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

(2)解：根据题意，得OP＝t，AQ＝2t. 分三种情况讨论：

专题五 综合型问题