تئوري احتمال و كاربردآن

1. تئوري احتمال و كاربردآن http://www.Beiki.info

2. جلسه سوم • مقدمه • تعريف يك متغير تصادفي • متغيرهاي تصادفي گسسته، پيوسته و آميخته • توزيعهاي احتمال گسسته • توابع توزيع جمعي • توابع توزيع جمعي گسسته • توزيعهاي احتمال پيوسته • توابع توزيع جمعي پيوسته • توزيعهاي احتمال آميخته • متغيرهاي تصادفي چندبعدي

3. جلسه سوم • مقدمه • نتيجه برخي از پديده ها تصادفي زير مجموعه اعداد حقيقي است. • زمان رسيدن مشتري به يك فروشگاه • عمر انسان • ... • در مواردي كه نتايج عددي نيستند علاقه مند به نتايج عددي هستيم • تعداد شيرها در سه بار پرتاب سكه

4. جلسه سوم • تعريف يك متغير تصادفي • آزمايشي با فضاي نمونه S را در نظر بگيريد. اگر به هر نقطه مانند e موجود در S عددي حقيقي مانند X(e) نسبت دهيم رابطه اي بين S و R تعريف مي گردد كه به آن متغير تصادفي گويند. • هر متغير تصادفي تابعي با دامنه S و بردي زيرمجموعه R است. • مثال 1: در آزمايش مربوط به پرتاب يك سكه اگر X تعداد شيرها را نشان دهد آنگاه داريم: X(H H H)=3، X(H H T)=2,… • مثال 2: مقادير متغير تصادفي Y كه تعداد توپهاي قرمز در انتخاب 2 توپ بدون جايگذاري از ظرفي شامل 4 توپ قرمز و 3 توپ سياه است به شرح زير مي باشد: Y(RR)=2، Y(RB)=1، Y(BR)=1 و Y(BB)=0 • مثال 4: در مثال 1 احتمال مربوط به هر يك از مقادير متغير تصادفي X عبارتند از: P(X=1)=P{TTH,THT,HTT)=3/8, P(X=0)=P{TTT)=1/8, P(X=2)=P{THH,HTH,HHT)=3/8, P(X=3)=P{HHH}=1/8 • مثال 6: احتمال شير آمدن در پرتاب يك سكه برابرp است سكه را آنقدر پرتاب مي كنيم تا يا به شير برسيم يا n بار پرتاب كرده باشيم اگر X متغير تصادفي تعداد دفعات پرتاب سكه باشد آنگاه داريم: P(X=1)=P{H}=p P(X=2)=P{T,H}=(1-p)p P(X=n-1)=P{T,T,T,..,T,H}=(1-p)np P(X=n)=P{T,T,T,…,T}يا P{T,T,T,…,T,H}=(1-p)n+(1-p)n-1p=(1-p)n-1

5. جلسه سوم • متغيرهاي تصادفي گسسته، پيوسته و آميخته • اگر برد متغير تصادفي X شامل تعداد محدود يا نامحدود ولي شمارش پذير از نقاط باشد آنگاه متغير تصادفي X يك متغير تصادفي گسسته ناميده مي شود. • مثال 8: در مثال 2 مقادير ممكن متغير تصادفي Y عبارت است از 0، 1 و 2 بنابراين Y گسسته است. • مثال 9: اگر متغير تصادفي X تعداد پرتابهاي لازم يك سكه براي رسيدن به نتيجه شير باشد آنگاه برد تابع N است و X گسسته مي باشد. • اگر برد متغير تصادفي X شامل تعداد نامحدودي از نقاط باشد آنگاه متغير تصادفي X يك متغير تصادفي پيوسته ناميده مي شود. • مثال 10: اگر بتوان طول را با هر دقتي اندازه گيري نمود آنگاه مسافت پيموده شده توسط يك خودرو به ازاي هر 10 ليتر بنزين يك متغير تصادفي پيوسته است. • در صورتي كه فضاي نمونه آميخته داشته باشيم مي توانيم متغيرهاي تصادفي آميخته داشته باشيم به اين معنا كه برخي از مقادير محدود(يا نامحدود ولي شمارش پذير) باشند و برخي از مقادير نامحدود و شمارش ناپذير

6. جلسه سوم • توزيعهاي احتمال گسسته • اگر X يك متغير تصادفي گسسته باشد آنگاه P(X=x) كه آنرا با fX(x) يا f(x) نشان مي دهند به ازاي مقادير مختلف x احتمالي را تخصيص مي دهد و چگونگي توزيع احتمال را به ازاي مقادير مختلف x نمايش مي دهد. به آن كه يك تابع است تابع احتمال يا تابع توزيع احتمال متغير تصادفي X مي گويند. • تعريف: مجموعه زوجهاي مرتب (x,fX(x)) توزيع احتمال متغير تصادفي گسسته X نام دارد، اگر براي هر يك از مقادير ممكن x داشته باشيم: • 0<=fX(x)<=1 • P(X=x)=fX(x) • تعبير مكانيكي تابع توزيع احتمال گسسته عبارت است از جرم مقادير مختلف متغير تصادفي X كه روي محور اعداد حقيقي به صورت fX(xi),i=1,2,3,… توزيع شده اند به همين دليل توابع توزيع احتمال گسسته به نامه توابع جرمي احتمال نيز معروفند و با pmf نشان داده مي شوند.

7. جلسه سوم • توزيعهاي احتمال گسسته • مثال 12: فرض كنيد مايل به انتخاب كميته اي 2 نفره از ميان 3 مرد و 3 زن هستيم اگر Y متغير تصادفي نشان دهنده تعداد مردها باشد توزيع احتمال آن چيست؟ • پاسخ: • بهترين پاسخ:

8. جلسه سوم • توابع توزيع جمعي • در بسياري از موارد علاقه مند به محاسبه احتمال اينكه متغير تصادفي X كوچكتر يا مساوي مقدار معلوم x باشد هستيم بنابراين داريم: FX(x)=F(x)=P(X<=x) • به آن تابع توزيع تجمعي يا به اختصار cdf گويند. • خواص آن به شرح زير مي باشد: • خاصيت دوم به معناي غير نزولي بودن و خاصيت پنجم به معناي پيوستگي تابع از سمت راست است.

9. جلسه سوم • توابع توزيع جمعي

10. جلسه سوم • توابع توزيع جمعي • مثال 14: تابع توزيع تجمعي متغير تصادفي X عبارت است از: • در اين صورت P(X<3) و P(X=1) و P(X>1/2) و P(2<X<=4) را بدست اوريد. • پاسخ:

11. جلسه سوم • توابع توزيع جمعي • توابع توزيع تجمعي گسسته • تعربف: متغير تصادفي گسسته X با توزيع احتمال f(x) مفروض است تابع توزيع تجمعي X به شرح زير قابل ارائه مي باشد: • مثال 15: اگر متغير تصادفي گسسته X تعداد شيرهاي بدست آمده از 4 بار پرتاب مستقل يك سكه باشد در اين صورت مي توان نشان داد كه تابع توزيع جرمي احتمال X به شرح زير است

12. جلسه سوم • توابع توزيع جمعي و داريم FX(0)=P(X<=0)=f(0)=1/16 FX(1)=P(X<=1)=f(0)+f(1)=5/16 FX(2)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)=11/16 FX(3)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=15/16 FX(3)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1

13. جلسه سوم • توزيعهاي احتمال پيوسته • اگر X يك متغير تصادفي پيوسته داشته باشيم احتمال اينكه متغير ما برابر يك مقدار خاص گردد صفر است. P(a<x<=b)=P(a<x<b)+P(X=b)=P(a<x<b)+0=P(a<x<b) • توزيع احتمال يك متغير تصادفي پيوسته X را با f(x) نشان داده و به آن تابع چگالي احتمال يا به اختصار pdf گويند. • f(x) از رابطه مقابل به دست مي آيد. • تعريف: تابع f(x) چگالي احتمال متغير تصادفي پيوسته X است اگر روابط زير برقرار باشد

14. جلسه سوم • توزيعهاي احتمال پيوسته • مثال16: فرض كنيد خطاي اندازه گيري دما در يك آزمايش شيميايي متغير تصادفي . پيوسته مانند X با چگالي احتمال زير است: f(x)=x2/3 ; -1<x<2 ابتدا نشان دهيد f(x) واقعا يك چگالي احتمال است و آنگاه P(0<X<=1) را پيدا كنيد • پاسخ: چون f(x) مربع كامل است شرط اول را دارد

15. جلسه سوم • توزيعهاي احتمال پيوسته • مثال19: مدت زماني كه يك رايانه قبل از خراب شدن كار مي كند با متغير تصادفي X معرفي مي شود كه چگالي احتمال زير را دارد. احتمال اينكه رايانه بين 50 و 150 ساعت كار كند چيست؟ احتمال اينكه رايانه كمتر از100 ساعت كار كند چيست؟ • پاسخ:

16. جلسه سوم • توزيعهاي احتمال پيوسته • توابع توزيع تجمعي پيوسته • تعريف: توزيع تجمعي متغير تصادفي پيوسته X با چگالي احتمال f(x) عبارت است از: • يعني چگالي احتمال يك متغير تصادفي پيوسته برابر است با مشتق تابع توزيع تجمعي آن

17. جلسه سوم • توزيعهاي احتمال پيوسته • توابع توزيع تجمعي پيوسته • مثال 23: مدت زمان مورد نياز براي كامل شدن يك فرايند شيميايي متغير تصادفي X با تابع توزيع تجمعي زير است: F(X)=1-e-0.1x ; x>=0 F(X)=0 ; X<0 چگالي احتمال متغير تصادفي X چيست؟ احتمال اينكه يك فرآيند در كمتر از 200 هزارم ثانيه كامل شود را محاسبه كنيد. • پاسخ: با توجه به اينكه چگالي احتمال متغير تصادفي مشتق تابع توزيع تجمعي آن است براي x<0 اين مقدار صفر است و براي x>=0 داريم f(x)=0.01e-0.01x

18. جلسه سوم • توزيعهاي احتمال آميخته • اگر X متغير تصادفي آميخته باشد و تابع توزيع تجمعي قسمت گسسته آن F1(x) و تابع توزيع تجمعي قسمت پيوسته آن F2(x) باشد آنگاه داريم FX(x)=c1F1(x)+ c2F2(x) كه c1 جمع احتمالات همه نقاط گسسته و c2=1-c1 جمع احتمالات همه نقاط پيوسته است. • مثال 24: فرض كنيد متغير تصادفي X عمر مفيد نوعي قطعه الكترونيكي باشد كه به احتمال 25% از همان ابتدا خراب است و در غير اينصورت عمر مفيد آن داراي چگالي احتمال f(x)=e-x ;x>=0 است. P(X>10) را به دست آوريد.

19. جلسه سوم • متغيرهاي تصادفي چندبعدي • احتمال موفقيت در تحصيلات دانشگاهي بر اساس مولفه هاي معدل، رتبه كنكور و شهرستان محل فراغت از تحصيل • تعريف: اگر S فضاي نمونه آزمايش و X1، X2، ... و Xn توابعي باشند كه به صورت همزمان فقط و فقط يك n تايي مرتب متشكل از اعداد حقيقي x1=X1(e)، x2=X1(e)،... و xn=Xn(e) را به هر يك از عناصر e موجود در S نسبت دهند آنگاه [X1,X2,…,Xn] يك بردار تصادفي n بعدي خواهد بود در اينصورت برد بردار تصادفي فوق عبارت است از حاصل ضرب دكارتي بردهاي متغيرهاي تصادفي موجود در بردار تصادفي كه مجموعه اي از n تايي هاي مرتب به صورت زير است. • مثال 25: آزمايشي براي انتخاب 2 توپ به صورت تصادفي و بدون جايگذاري از جعبه اي شامل 3 توپ آبي، 2 توپ قرمز و 3 توپ مشكي را در نظر بگيريد. اگر متغير تصادفي X را به عنوان تعداد توپهاي آبي انتخاب شده و متغير تصادفي Y را به عنوان تعداد توپهاي قرمز انتخاب شده در نظر بگيريم آنگاه برد بردار تصادفي [X,Y] به صورت مجموعه {[0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[0,2],[2,0]} خواهد بود.