1 / 43

任意两个随机变量 X 和 Y 的协方差 , 记为 Cov ( X , Y ), 定义为

§ 3 . 协方差及相关系数. 一、协方差. 任意两个随机变量 X 和 Y 的协方差 , 记为 Cov ( X , Y ), 定义为. 1. 定义. Cov(X , Y )= E {[ X - E ( X )][ Y -E( Y ) ]}. 2. 简单性质. ⑴ Cov ( X , Y )= Cov( Y , X ). ⑵ Cov ( aX , bY ) = ab Cov( X , Y ) a , b 是常数.

media
Télécharger la présentation

任意两个随机变量 X 和 Y 的协方差 , 记为 Cov ( X , Y ), 定义为

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. §3.协方差及相关系数 一、协方差 任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y), 定义为 1.定义 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 2.简单性质 ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)

  2. 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .

  3. 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y) D(X-Y)= D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y) 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，这就引入了相关系数 .

  4. 二、相关系数 定义: 设D(X)>0, D(Y)>0, 称 为随机变量X和Y的相关系数 .

  5. ρ=0值时(X,Y)的密度函数图

  6. ρ=0.2值时(X,Y)的密度函数图

  7. ρ=0.5值时(X,Y)的密度函数图

  8. ρ=0.8值时(X,Y)的密度函数图

  9. ρ=0.9时(X,Y)的密度函数图

  10. Y -1 0 1 X -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 {或者 =0} {或者 =3/4} 例1 (X,Y)的联合分布为: 由对称性得 EY=EX=0 EY2=EX2=3/4 另外 =1/8-1/8-1/8+1/8 =0 所以 求相关系数ρXY,并判断X,Y是否相关,是否独立. Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0 即 X与Y不相关. 解 =0 亦即 ρXY=0 另一方面 P(X=-1,Y=-1)=1/8≠ P(X=-1)P(Y=-1)=(3/8)×(3/8) =3/4 所以X与Y不独立.

  11. 例2 已知 的概率密度 求 解：

  12. 例3 已知二维随机变量 X,Y 的联合分布律为: X Y -2 0 1 -1 0.3 0.12 0.18 1 0.10 0.18 0.12 求X,Y的协方差与相关系数。 解：先求边缘分布律： X -1 1 Y -2 0 1 Pk 0.6 0.4 Pk 0.4 0.3 0.3

  13. X与Y 的协方差为:

  14. 下面求X,Y 的方差: X与Y 的相互关系数为:

  15. 令 ，则上式为 相关系数的性质： 证: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数b,有 0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2bCov(X,Y ) D(Y- bX)=

  16. 故 = 0 但由 并不一定能推出X和Y 独立. 2. X和Y独立时，=0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. 请看下例.

  17. 设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1 上的均匀分布,证明: XY =0。 例 1 证明:

  18. 同样得E(Y)=0 ∴Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 可易得D(X)>0, D(Y)>0. ∴XY =0, 故X与Y不相关. 而X和Y不相互独立.

  19. 例2：若二维随机变量(X，Y)服从正态分布， 试证X、Y 相互独立的充分必要条件是ρ=0。 。 证: 边缘分布密度为：　

  20. 随机变量X,Y的相关系数为：

  21. 若(X,Y)具有二维正态分布 N(0,0,1,1,ρ), 以下画出 取几个不同ρ值时(X,Y)的密度函数曲面三维图象:

  22. 存在常数a,b(b≠0）， 使P{Y=a+bX}=1， 即X和Y以概率1线性相关.

  23. 小结|ρXY|的大小反映了X,Y之间线性关系的密切程度:小结|ρXY|的大小反映了X,Y之间线性关系的密切程度: ρXY=0时, X,Y之间无线性关系; |ρXY|=1时,X,Y之间具有线性关系. 由此定义 ρXY ≠0,X,Y相关 ρXY=0,X,Y不相关 显然 X,Y独立 注 X,Y不相关,不一定有X,Y独立. 若(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y独立X,Y不相关.

  24. 例3设(X,Y)服从二维正态分布,且X~N(1,9),Y~N(0,16), 解 =0 所以 =3

  25. 第四章 随机变量的数字特征 §4 矩、协方差矩阵 1、矩的定义

  26. 第四章 随机变量的数字特征 例1

  27. 第四章 随机变量的数字特征

  28. §4连续型随机变量的概率密度 Γ- 函 数

  29. 2 协方差矩阵的定义 将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩 排成矩阵的形式: 称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.

  30. 若 称矩阵 n维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵. 都存在, 为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵

  31. 下面给出n元正态分布的概率密度的定义. |C|是它的行列式， 表示C的逆矩阵， X和 是n维列向量， 表示X的转置. 设(X1,X2, …,Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为 f (x1,x2, …,xn) 则称X服从n元正态分布. 其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.

  32. 对一切不全为0的实数a1,a2,…,an， • a1X1+ a2X2+ …+ an Xn均服从正态分布. n元正态分布的几条重要性质 1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布 2. 若X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布， 则(Y1,Y2, …，Yk)也服从多元正态分布. 3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 • “X1,X2, …,Xn相互独立” 等价于 “X1,X2, …,Xn两两不相关”

  33. 例2设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度. 解: X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X与Y独立, 故X和Y的联合分布为正态分布，X和Y的 任意线性组合是正态分布. 即 Z~N(E(Z), D(Z)) E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9 Z~N(5, 32) 故Z的概率密度是

  34. 第四章 随机变量的数字特征 例3 解：

  35. 设随机变量X 的概率密度为 例1 求 E ( 1 / X )。 例题补充 解

  36. 例2已知( X,Y )的分布律为 求 解

  37. 且 例3 设 X 的可能取值为 ，求 X 的分布律。 解 设X 的分布律为 所以

  38. 已知 例4 的次数， 对X 独立观察 4 次，Y 表示X的观察值大于 求 解 由题意可知

  39. 例5 已知 服从参数为 3 的指数分布， X , Y相互独立， 求 解 由随机变量的性质可知

  40. ，且 设 例6 ⑴ 求 （X ，Y） 的分布律; ⑵ 求 X + Y 的方差。 解 ⑴X ,Y 的取值都为-1和1，则

  41. ⑵ X+Y的分布律为

  42. 第四章 小 结 1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握 它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学 期望和方差。 2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀 分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。 3 给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式 作简单的概率估计。 4 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的 性质与计算。 5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价 性。 6 给出了矩与协方差矩阵。

More Related