ALJABAR MATRIKS pertemuan 8 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

1. ALJABAR MATRIKSpertemuan 8 Oleh :L1153Halim Agung,S.Kom

2. Transformasi Linier PengertianTransformasi Linier. Pandang 2 buahhimpunan A dan B. kemudianpasangkansetiap x є A dengan satu dan hanya satu y є B. Dikatakan terdapatsuatufungsi f : A→B. Contoh 1. Misalkan A = {x1,x2,x3}, B = {y1,y2} , Himpunan A diatasdinamakan Domain danhimpunan B dinamakanCodomain. terlihatbahwasetiap x є A mempunyaisatupasangan y є B. Jadi f adalahfungsi f : A→B. Contoh 2. terlihatbahwatidaksetiap x є A mempunyaisatupasangan y є B. jadi f adalahbukanfungsi A B Catatan : Apabila himpunan A dan B di sampingmerupakanhimpunanbilangan riil R1 atau himpunan bagiannya, cara/aturanpengaitanumumnyadapatdirumuskandalam 1 hubunganmatematis. Contoh 3. Diketahui Suatu transformasi T : R3→ R3 dengan rumus Transformasi T(x1,x2,x3) = (2x1 – x2 ,x2 + x3 ,x32), untuksetiap x = (x1,x2,x3)єR3. vector(2,1,-1) akanditransformasikanoleh T menjadi : T(2,1,-1) = (3,0,1). Kita katakan vektor (3,0,1) adalahpetadarivektor (2,1,-1), sebaliknyavektor (2,1,-1) adalahprapetadarivektor (3,0,1)

3. Perubahan Basis • Basis orthonormal • Diketahui V ruanghasil kali dalamdan v 1, v 2,…, v n adalahvektor – vektordalam V. • Beberapadefinisipenting • a. H = { v 1, v 2,…, v n } disebuthimpunan orthogonal bilasetiapvektordalam V salingtegaklurus ,yaitu < v i, v j > = 0 untuki ≠ j dani,j = 1,2,…,n. • b. G = { v 1, v 2,…, v n }disebuthimpunanorthonormalbilaG himpunan orthogonal normalisasidari vi = 1 , i = 1,2,…,n atau < v i, v i > = 1 • Normalisasihimpunan orthogonal kehimpunanorthonormal • Diketahui V RHD (RuangHasil kali Dalam / perkalian dot) dan H = { v 1 , v 2,…, v n }∈ V merupakanhimpunan orthogonal dengan vi ≠ 0 makabisadidapatkanhimpunanorthonormal yang didefinisikansebagaiS = { s1, s2,…, sn } dengan • , i = 1,2,…,n. • Kalau dilihat secara seksama , sebenarnyarumusaninimerupakanrumusandarimetode Gramm– Schimdt (googleuntuklebihjelas) yang telahmengalamireduksiyaituuntuknilaiproy W(vi) = 0 akibatdari v 1 , v 2,…, v n yang saling orthogonal. • Prosesuntukmendapatkanvektor yang orthonormalbiasadisebutdenganmenormalisasikanvektor. • Jika dim (V) = n , maka S jugamerupakan basis orthonormaldari V.

4. Contoh :

5. Next , Jika V ruangvektor, S : { s1, s2,…, sn } merupakan basis V makauntuksembarang x ∈ V, dapatdituliskan : x = k1.s1 + k2.s2 +…+ kn.sn dengan k1, k2, …, knskalar. k1, k2, …, knjugadisebutkoordinat x relatifterhadap basis S. disebutmatriks x relatifterhadap basis S Jika S merupakan basis orthonormal , maka Apahubungannyadenganperubahan basis ?

6. Inihubungannya …

7. Contoh :

8. TransformasiVektor Linier Definisi : T : V →W suatutransformasi dari ruangvektor V keruangvektor W. Transformasi T disebuttransformasivektor linier jikaterpenuhi : 1. Untuk setiap v1,v2 є V T(v1) + T(v2) = T(v1+v2), dan 2. untuksetiap v є V danλ berlakuλT(v) = T(λv) Contoh : Diketahui T : R3→R3 dimanaT(x1,x2,x3) = (2x1+x2 , x2 , x3+1) untuk setiap (x1,x2,x3) є R3. T adalahtransformasivektor yang tidak linier karenasyarat 1,misal tak terpenuhi. Ambil v1 = (1,0,1), v2 = (1,0,1) maka T(v1) + T(v2) = (2,0,1) + (2,0,2) = (4,0,3). Sedangkan T(v1+v2) = (4,0,2) Jadi T(v1)+T(v2) ≠ T(v1+v2)

9. MatriksdanTransformasiVektor Linier Definisi : Pandang T : Rn→Rn .suatutransformasivektorlinier. { ei }, i = 1,2,3,…,n, basis natural Rn . { εi } , i = 1,2,3,…,m, basis natural Rm . T(e1), T(e2),… T(en) adalah vector-vektor di Rm, sehinggamerupakankombinasi linier dari { εi } Misalnya : T(e1) = a11ε1+ a21ε2+…+ am1εm T(e2) = a12ε1 +a22ε2+…+ am2εm … … … … … T(en) = a1nε1+ a1nε1+…+ amnεm Transpose dari matriks koefisien diatas : Disebutmatriks REPRESENTASI daritransfomasi linier T yang relative terhadap basis-basis natural { ei } dan { εi }

10. Contoh : T : R3 → R3 .suatutransformasi linier dimana T(x1,x2,x3) = (x1,2x2,x1+x3). Mencarimatrikstransformasitak lain adalahmencaripetadarivektor - vektorbasis.jikatidakdisebutkanmakamenggunakan basis natural (matriksidentitas). T(e1) = T(1,0,0) = (1,0,1)=1e1 + 0e2 + 1e3. T(e2) = T(0,1,0) = (0,2,0)=0e1 + 2e2 + 0e3. T(e3) = T(0,0,1) = (0,0,1)=0e1 + 0e2 + 1e3. MakamatriksRepresentasinyaadalah Misalnyapetadari (2,3,1) , makavektorhasildaritransformasi linier nyaadalah

11. Tugas • Joint dalamkelompok (3 orang)– kelompokditentukanolehdosen • Buatlahsoal (BolehGoggling) mengenaipertemuanhariinilengkapdengansolusidalammenjawabsoaltersebut (WAJIB 10 soal!!! ) • Syaratpenilaian : • Tepat 10 soal (10 point) • Solusi + Jawabandarisoaldiatas(40 point) – nilai maximum untuksolusi & jawabanygbenar • Tidakadakerjasamaantarkelompok (10 point) • Tingkat kerumitansoaltinggi(40 point)