Matlab Przykłady metod obliczeniowych Obliczenia symboliczne

1. MOiPP Wykład 4 • Matlab • Przykłady metod obliczeniowych • Obliczenia symboliczne

2. Sortowanie bąbelkowe Porównywanie kolejnych par elementów sąsiadujących i zamianamiejscami w przypadku niewłaściwej kolejności 1 2 3 4 ..... N N-1 porównań Wykonujemy N przebiegów Sortowanie bąbelkowe skrócone Przebiegów wykonujemy N-1 W każdym kolejnym przebiegu liczba analizowanych par jest zmniejszana o 1, a

3. 1 PRZEBIEG 96 12 22 76 64 23 74 11 2 PRZEBIEG 12 22 76 64 23 74 11 96

4. M-plik - sortowanie "bąbelkowe" clc clear N=5; G=rand(1,N) %stadardowa funkcja sortująca G1=sort(G) %sortowanie bąbelkowe for k=1:N-1 for m=1:N-k if G(m)>G(m+1) pom=G(m); G(m)=G(m+1); G(m+1)=pom; end end disp(G) %pokazuje kolejne wypływające "bąbelki" end %ostatecznie po posortowaniu disp(G) zamiana miejscami gdy elementy w niewłaściwej kolejności

5. Obliczenia symboliczne w Matlabie Niezbędny jest tu dodatkowy (komercyjny) tzw. toolbox o nazwie SymbolicTool

6. Obliczenia symboliczne wymagają zadeklarowania zmiennych symbolicznych– abstrakcyjnych zmiennych, które nie posiadają wartości liczbowej • Służy do tego polecenie syms: • symszmienna1 zmienna2 itd

7. Symboliczne rozwiązywanie równań – funkcja solve() • Przykład: • syms x a • f=a - x^2; • z =solve(f, x) • z = • a^(1/2) • -a^(1/2)

8. Symboliczne operacje macierzowe syms a b c d e f g h A=[a b; c d] B=[e f ; g h] il_m=A*B il_e=A.*B A = [ a, b] [ c, d] B = [ e, f] [ g, h] il_m = [ a*e+b*g, a*f+b*h] [ c*e+d*g, c*f+d*h] il_e = [ a*e, b*f] [ c*g, d*h] iloczyn macierzowy Cauchy'ego iloczyn elementowy Hadamarda (po współrzędnych) ilustracja iloczynów macierzy kwadratowych

9. Wstawienie danych do wyrażeń symbolicznych - funkcja subs( ) Przykład: syms a b c x % definicja 4 zmiennych symbolicznych y = solve(a*x^2+b*x+c) % rozwiązanie równania względem x a=3; b=4; c=1; % Przypisanie wartości liczbowych a b c w = subs(y) % Obliczenie wartości liczbowej dla y Rezultat: y = -1/2*(b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/a -1/2*(b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/a w = -0.3333 -1.0000

10. Obliczenia granicciągów i funkcji - funkcja limit( ) Do obliczania granic na podstawie wyrażenia symbolicznego służy funkcja limit. Jej składnia może być następująca: limit(F,[zmienna],[b]) wyznaczenie granicy dla wyrażenia symbolicznego F, względem wskazanej zmiennej, granica dla zmiennejb,

11. Uwagi: • zmienna jest opcjonalna, jeśli wyrażenie zawiera jedną zmienną. • b opcjonalne, jego pominięcie oznacza granicę dla zmienna0. • wyznaczenie granicy lewostronnej dla wyrażenia symbolicznego F, w punkcie b, • limit(F, zmienna, b, 'left') • wyznaczenie granicy prawostronnej dla wyrażenia symbolicznego F, w punkcie b. • limit(F, zmienna, b, 'right')

12. Przykład Obliczenie granicy ciągu: syms n w= limit((1-3*n)/(1+n), inf) Rezultat: w = -3 Uwaga: inf jest symbolem ∞ (nieskończoność)

13. Przykład Obliczenie granicy lewo i prawostronnej funkcji tg(x) w punkcie pi/2 symsx a=limit(tan(x),x, pi/2,'left') b=limit(tan(x),x, pi/2,'right') a= Inf b= -Inf

14. Obliczanie pochodnych funkcji - funkcja diff( ) • Argumentami funkcji są: • funkcja, względem której pochodna będzie liczona, • zmienna, względem której pochodna jest liczona (opcjonalnie) • rząd pochodnej (opcjonalnie) diff(F,[zmienna],[N])

15. Przykład: • Obliczenie pochodnej funkcji f(x)=x2 symsx a=diff(x^2) Rezultat • a = • 2*x

16. Przykład: Obliczenie pochodnej funkcji f(x, y, z) według każdej zmiennej (pochodne cząstkowe):

17. syms x y z f=(x*y*z)^x+(1/(x*y))^2 diff(f) diff(f,x) diff(f,y) diff(f,z) ans = (x*y*z)^x*(log(x*y*z)+1)-2/x^3/y^2 ans = (x*y*z)^x*(log(x*y*z)+1)-2/x^3/y^2 ans = (x*y*z)^x*x/y-2/x^2/y^3 ans = (x*y*z)^x*x/z

18. Przykład: Obliczenie pochodnej funkcji f (x, y, z ) syms x diff(f,x,2) ans = (x*y*z)^x*(log(x*y*z)+1)^2+(x*y*z)^x/x+6/x^4/y^2

19. Całkowanie funkcji - funkcja int( ) • Jej argumentem jest funkcja symboliczna • opcjonalnie także zmienna całkowania oraz granice całkowania (dla całek oznaczonych). int(F,[zmienna], [a , b]) Uwaga: domyślnie zmienną symboliczną jest x

20. Przykład: • Obliczenie całki nieoznaczonej funkcji f(a,b)=a+b syms a x int(a+x) int(a+x, a) %Sprawdzenie diff(f) • ans = • a*x+1/2*x^2 • ans = • 1/2*a^2+a*x • ans = • a+x Rezultat:

21. Obliczenie całki oznaczonej: syms x int(x^2,1,3) • ans = • 26/3 Obliczenie całki oznaczonej funkcji sin x w przedziale (0, π) • int(sin(x),0,pi) • ans = • 2

22. Rozwiązywanie równań różniczkowych • funkcja dsolve() . Funkcja oblicza symbolicznie rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania są określane przez symboliczne wyrażenia zawierające literę D do oznaczenia stopnia. Symbole D2, D3... DN, odnoszą się do drugiej, trzeciej,..., n-tej pochodnej. D2y jest zatem odpowiednikiem symbolicznym Zmienna niezależna domyślna t.

23. Nazwy zmiennych symbolicznych nie powinny zatem zawierać D. Zmienną niezależną można zmienić i podać jako ostatni argument. Warunki początkowe mogą być określone przez dodatkowe równania. Jeśli nie określono warunków początkowych, rozwiązania zawierają stałe całkowania: C1, C2, itp. Rozwiązanie dsolve jest podobne do solve. Oznacza to, że można wywołać dsolve z liczbą zmiennych wyjściowych równą liczbie zmiennych zależnych od lub umieścić w strukturze, której pola zawierają rozwiązania równań różniczkowych.

24. Przykład Rozwiązać równanie: dsolve('Dy=1+y^2') zmienna t domyślna • ans = • tan(t+C1) • dsolve('Dy=1+y^2','x') zmienna x ustalona • ans = • tan(x+C1) dsolve('Dx = -a*x') ans = C1*exp(-a*t)

25. Po wstawieniu warunków początkowych: y = dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1') • y = • tan(t+1/4*pi) Uwaga: y jest w obszarze roboczym MATLAB, ale t nie jest, a zatem polecenie diff(y,t) zwraca błąd. Aby umieścić t w obszarze roboczym należy: syms t pochodna=diff(y,t) pochodna= 1+tan(t+1/4*pi)^2

26. Przykład 2 Równania nieliniowe mogą mieć wiele rozwiązań, nawet wtedy, gdy podane są warunki początkowe: x = dsolve('(Dx)^2+x^2=1','x(0)=0') x = [ sin(t)] [ -sin(t)]

27. Przykład 3 Równanie różniczkowe drugiego stopnia z dwoma warunkami początkowymi: y = dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0', 'x') simplify(y) %uproszczenie y = 4/3*cos(x)-1/3*cos(2*x) ans = 4/3*cos(x)-2/3*cos(x)^2+1/3

28. Przykład 4 warunki początkowe u = dsolve('D3u=u','u(0)=1','Du(0)=-1','D2u(0) = pi','x') • D3u reprezentuje d3u/dx3 • D2u(0) odpowiada u"(0) u = 1/3*pi*exp(x)-1/3*(pi+1)*3^(1/2)*exp(-1/2*x)*sin(1/2*3^(1/2)*x)+ (1-1/3*pi)*exp(-1/2*x)*cos(1/2*3^(1/2)*x)

29. Układ równań różniczkowych Funkcja dsolve rozwiązuje także układ równań różniczkowych zwyczajnych kilku zmiennych, z warunkami początkowymi lub bez

30. Przykład • Dwa równania liniowe, pierwszego rzędu: S = dsolve('Df = 3*f+4*g', 'Dg = -4*f+3*g') • S = • f: [1x1 sym] • g: [1x1 sym] • Rozwiązania obliczane są zwracane w strukturze S. • Można określić wartości f i g, wpisując: • f = S.f • g = S.g • f = • exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t)) • g = • exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t))

31. Jeśli chcemy uzyskać f i g bezpośrednio, oraz uwzględnić także warunki początkowe, wpisujemy: • [f,g] = dsolve('Df=3*f+4*g, Dg =-4*f+3*g', 'f(0) = 0, g(0) = 1') • f = • exp(3*t)*sin(4*t) • g = • exp(3*t)*cos(4*t)

32. Jeszcze jeden przykład składni w SymbolicMathToolbox. y(0) = 1 y = dsolve('Dy+4*y = exp(-t)', 'y(0) =1') • spr=diff(y,t)+4*y%sprawdzenie rozwiązania • spr =simplify(spr) • t=0%sprawdzenie warunku początkowego • wp=subs(y) • y = • (1/3*exp(3*t)+2/3)*exp(-4*t) • spr = • exp(-4*t)*exp(3*t) • spr = • exp(-t) • t = • 0 • wp = • 1