בדיקת השערות על השוואת שני סטטיסטים

1. בדיקת השערות על השוואת שני סטטיסטים

2. השוואה בין סטטיסטים שנלקחו מאוכלוסיות שונות, למשל ממוצע הכנסה של נשים לעומת ממוצע הכנסה של גברים. • השוואה בין סטטיסטים שנלקחו מאותה אוכלוסיה, למשל ממוצע ציונים של תלמידים לפני קורס ואחריו.

3. השוואת ממוצעים מאוכלוסיות שונות • נניח כי יש שני מדגמים בלתי-תלויים (לא בהכרח בגדלים שווים): • נרצה לבדוק את השערת האפס שהממוצעים שווים (שהפרש הממוצעים הוא 0).

4. השוואת ממוצעים מאוכלוסיות שונות • כאשר המדגמים גדולים ,או ששתי האוכלוסיות מתפלגות בהתפלגות נורמלית, שני הממוצעים יתפלגו בהתפלגות נורמלית, ואז גם הפרשם מתפלג בהתפלגות נורמלית.

5. השוואת ממוצעים מאוכלוסיות שונות • מקרה ראשון: השונויות של שתי האוכלוסיות, ידועות והן מתפלגות נורמלית. במקרה הראשון משתמשים בהתפלגות נורמלית לבדיקת השערות על הפרש הממוצעים.

6. דוגמת הנורות • בבית חרושת לנורות נלקחו נורות משני פסי יצור. מפס היצור הראשון נלקח מדגם של 100 נורות ומפס היצור השני מדגם של 75 נורות. • אורך החיים הממוצע של נורות מפס היצור הראשון היה 1190 שעות, ומפס היצור השני 1230 שעות. • ידוע כי, סטית התקן בפס היצור הראשון היא 90 שעות ובפס היצור השני 120 שעות. • האם יש הבדל במובהקות של 5% באורך החיים הממוצע של נורות בשני פסי היצור?

7. דוגמת הנורות • השערות: • ההשערה היא דו-צדדית ולכן, אם רמת המובהקות היא 5%, נבדוק עבור 2.5% לכל צד.

8. דוגמת הנורות • הפרש הממוצעים הוא -40 • סטית התקן של ההפרש הוא 16.52271 • normdist(-40,0,16.52271,true) = 0.0077 • מאחר ו-0.0077<0.025 דוחים את השערת האפס שהממוצעים שווים. • אם היינו בודקים ברמת מובהקות של 1% היינו מקבלים את השערת האפס כי 0.0077>0.005

9. דוגמת הנורות • יכולנו לפתור בעזרת norminv באופן הבא: • 32.384- = NORMINV(0.025,0,16.52271) • מאחר ו 40- < 32.3839- דוחים את השערת האפס שהממוצעים שווים. • אם רמת המובהקות הייתה 1%: • 42.6- = (NORMINV(0.005,0, 16.52271 • מאחר ו 40- > 42.5997- מקבלים את השערת האפס שהממוצעים שווים.

10. השוואת ממוצעים מאוכלוסיות שונות • מקרה שני: כאשר נלקחים מדגמים גדולים מהתפלגויות נורמליות שהשונויות שלהן אינן ידועות, ניתן להשתמש בשונויות שחושבו במדגמים כהערכה לשונויות של האוכלוסיות, ושוב להשתמש בהתפלגות הנורמלית לבדיקת השערות על הפרשי הממוצעים. • החישובים זהים למקרה הקודם, אלא שמשתמשים ב-s במקום ב-s עבור שני המדגמים.

11. השוואת ממוצעים מאוכלוסיות שונות • מקרה שלישי: כאשר המדגמים אינם גדולים, וידוע שהמדגמים נלקחו מהתפלגויות נורמליות, משתמשים בהתפלגות t עם nx+ny-2 דרגות חופש (סכום גדלי המדגמים פחות 2)

12. השוואת ממוצעים מאוכלוסיות שונות • אם נניח שהשונויות, משני המדגמים, שוות, נוכל לתאר את ההתפלגות באופן הבא:

13. השוואת ממוצעים מאוכלוסיות שונות • סטיות התקן המדגמיות אומדות את סטיית התקן. כאשר יש שני אומדים לשונות, ניתן ליצור אומד שהוא ממוצע משוקלל של שני האומדים (השקלול הוא לפי גודל המדגם, כך שהאומד מהמדגם הגדול יותר יקבל משקל גדול יותר). הממוצע המשוקלל נקרא האומד המשותף לשונות (pooled variance):

14. השוואת ממוצעים מאוכלוסיות שונות • לבדיקת ההשערה ברמת מובהקות a, נסמן את הערך המתוקנן שהתקבל במדגם:

15. דוגמת הציונים • נתונים 4 ציונים של תלמידים לתואר שני בקורס מסוים: 100,80,78,90 , וחמישה ציונים באותו קורס לתלמידי תואר ראשון 95,70,60,99,96. • מניחים כי השונויות של הציונים עבור תלמידי תואר ראשון ושני שוות, וכי התפלגות הציונים היא התפלגות נורמלית לכל קבוצה. • רוצים לבדוק אם הממוצעים של תלמידי תואר ראשון ושני, שווים ברמת מובהקות של 95%.

16. דוגמת הציונים • הפתרון מופיע בגיליון.

17. הפונקציה ttest של excel • משמשת להשוואת שני ממוצעים של מדגמים ע"י התפלגות t. לפונקציה 4 פרמטרים. • שני הפרמטרים הראשונים הם המערכים המכילים את ערכי המדגמים, שאת הממוצעים שלהם רוצים להשוות. • הפרמטר השלישי הוא מספר הזנבות בהשערה, 1 או 2. • הפרמטר הרביעי הוא 1 אם המדגמים מזווגים ( הסבר בהמשך). • ערכו 2 אם יש 2 מדגמים ומניחים שונויות שוות • ערכו 3 אם יש 2 מדגמים ואי אפשר להניח שהשונויות שוות.

18. spss • הנתונים של שני המדגמים שאת ממוצעיהם רוצים להשוות, חייבים להופיע בעמודה אחת. • בעמודה נוספת יופיע קוד המציין לכל שורה, לאיזה משני המדגמים שייכת השורה. זהו משתנה החלוקה.

19. spss • משתמשים בתפריט analyze ובתת ההוראה compare means בוחרים את indepedent-samples T-test. • מעבירים את המשתנה המכיל את המדידות ימינה. את משתנה החלוקה מעבירים ל grouping variable . ע"י לחיצה על define groups , קובעים מהם שני הערכים המציינים השתייכות לשני המדגמים.

20. spss • בחלון ה outputבודקים אם ניתן להניח שהשונויות בשתי האוכלוסיות שמהן נלקחו המדגמים, שוות. בדיקה זו מתבצעת ע"י התפלגות F. • מתקבלת טבלה בה מופיע ערכו של F והמובהקות שלו. מובהקות קטנה, אומרת שהשונויות אינן שוות . אם sig המופיע אחרי F אינה קטנה, מסתכלים ב sig (מובהקות t) המופיע אחרי t בשורה הראשונה (equal variances (assumed. • אם sig המופיע אחרי F קטנה, מסתכלים ב sig (מובהקות t) המופיע אחרי t בשורה השניה (equal (variances not assumed.

21. השוואת ממוצעים ממדגמים מזווגים • כאשר שני מדגמים בנויים כזוגות של תצפיות שיש ביניהם תלות הם נקראים מדגמים מזווגים. • דוגמאות: שכר של אנשים לפני שנה והשכר של אותם האנשים היום, משקל של אנשים לפני דיאטה ומשקלם אחרי הדיאטה, תוצאות בדיקת דם לפני לקיחת תרופה ואחריה. • אם המדידות נעשו על אותם נדגמים, יש ביניהן תלות ולכן נשתמש בשיטה שונה מאשר עבור מדגמים בלתי-תלויים.

22. השוואת ממוצעים ממדגמים מזווגים • מספר הערכים בשני המדגמים שווה ושווה ל-n. • נניח שנתוני המדגם "לפני" ונתוני המדגם "אחרי" מגיעים מהתפלגות נורמלית בעלת תוחלת וסטיית תקן לא ידועים. • נחשב את ממוצע המדגם "לפני" ואת ממוצע המדגם "אחרי" • נוכל ליצור מ"מ שהוא ההפרש בין זוג של מדידות, מדידת "לפני" פחות מדידת "אחרי". • ההפרש מתפלג נורמלית עם ממוצע וסטיית תקן לא ידועים.

23. השוואת ממוצעים ממדגמים מזווגים • יצרנו בעיה מסוג שאנו כבר מכירים: בדיקת השערות ל mעם n תצפיות, כאשר השונות אינה ידועה. • נפתור את הבעיה באופן בו פתרנו בעיות דומות

24. דוגמת התרופה • נבדקה השפעת תרופה להורדת לחץ-דם על מדגם של 10 חולים. לכל חולה, לחץ הדם נמדד לפני לקיחת התרופה ולאחר חודש של שימוש. נניח כי לחץ הדם מתפלג נורמלית. • נבדוק את ההשערה שהתרופה הורידה את תוחלת לחץ הדם ברמת מובהקות של 5%.

25. spss • ב spss רושמים את הנתונים בשתי עמודות שונות • בכל שורה צריכים להופיע שני הנתונים המתייחסים לאותה נקודת מדגם. • משתמשים בתפריט analyze ובתת ההוראה compare means בוחרים את paired-samples T test. • מעבירים ימינה את זוג המשתנים המזווגים שאת ממוצעיהם רוצים לבדוק.

26. spss + ttest • בחלון output מסתכלים במובהקות sig של ערך t המתקבל. • ערך זה צריך להיות קטן מהמובהקות שהוגדרה מראש, כדי לדחות את ההנחה ששני הממוצעים שווים. • ב excel משתמשים בפונקציה ttest עם פרמטר רביעי 1.

27. השוואת שתי שונויות • כאשר רוצים לבדוק השערה ששתי שונויות שוות זו לזו משתמשים בהתפלגות חדשה הנקראת התפלגות F. • בדומה להתפלגות t , גם התפלגות F היא שם קיבוצי לאינסוף התפלגויות, אלא שלהתפלגות F יש שני פרמטרים של דרגות חופש.

28. השוואת שתי שונויות • הבדיקה היא, האם השונויות של שני מדגמים שנלקחו משתי אוכלוסיות המתפלגות כל אחת בהתפלגות נורמלית, הן שוות. בודקים במקום זאת, האם היחס ביניהן הוא 1 , כלומר השערת האפס תהיה

29. השוואת שתי שונויות • כאשר שני המדגמים נלקחו מהתפלגויות נורמליות, היחס בין שתי השונויות מתפלג בהתפלגות F עם שני פרמטרים – הראשון מספר דרגות החופש (גודל המדגם פחות 1) של המשתנה במונה, והשני- מספר דרגות החופש (גודל המדגם פחות 1) של המשתנה במכנה. • נסמן זאת

30. הפונקציה finv • Finv(probability,degF1,degF2) • הפרמטרים degF1 ו-degF2 הם מספר דרגות החופש של המדגם שהשונות שלו במונה ובמכנה בהתאמה. • הפונקציה תיתן את הערך, שההסתברות לקבל ערך גדול או שווה לו, היא המשתנה הראשון. • פונקצית ההתפלגות F אינה סימטרית

31. דוגמת חוזק החומר • חוקר בודק חוזק של חומר משני פסי יצור. מפס היצור הראשון נלקח מדגם בגודל 13 ושונות החוזק התקבלה כ 1.3 . מפס היצור השני נלקח מדגם בגודל 9, והשונות של החוזק התגלתה כ- 0.45 . השאלה היא האם ניתן להניח כי השונויות בשני פסי היצור זהות? • פתרון בגיליון.