О МУЗЫКАЛЬНОЙ ГАРМОНИИ

1. О ГЕНЕТИЧЕСКОМ КОДЕ И МУЗЫКАЛЬНОЙ ГАРМОНИИА.А.Кобляков1, С.В.Петухов2, И.В.Степанян21 – Московская государственная консерватория2 – Институт машиноведения РАН

2. 50 лет назад произошло великое объединение живых организмов: основы молекулярной системы генетического кодирования оказались одинаковыми у всех видов организмов. В этом отношении мы не отличаемся от бактерий, птиц, растений, червей и пр. Возникло новое понимание самой жизни: «Жизнь есть партнерство между генами и математикой» (Stewart I. Life's other secret: The new mathematics of the living world. 1999, New-York: Penguin). Какая же математика выступает партнером генетического кода?

3. Генетический код обладает высокой помехоустойчивостью. Теория помехоустойчивого кодирования базируется на матричных методах. Например, матричные методы позволяют передавать качественные фотографии поверхности Марса на Землю через миллионы километров сильнейших помех. Именно эти матричные методы были использованы в наших исследованиях.

4. С давних времен теория музыкальной гармонии и музыкальных строев неразрывно связана с математикой. Г. Лейбниц: «Музыка есть таинственная арифметика души, которая вычисляет себя, сама того не сознавая».А. Ф. Лосев «Музыка есть выражение жизни чисел во времени»

5. В настоящем докладе представлены данные, полученные в наших исследованиях о связи отношений музыкальной гармонии с молекулярно-генетической системой. Эти исследования основаны на той эффективной математике, которая используется в теории помехоустойчивой передачи информации и в которую в этом докладе мы не будем углубляться, учитывая школьный возраст слушателей. Данные исследования привели к новым музыкальным строям, которыми в силу их перспективности и связи с основами живых организмов сейчас занимается Московская государственная консерватория в «Центре междисциплинарных исследований музыкального творчества»

6. О МУЗЫКАЛЬНОЙ ГАРМОНИИ Имеются ли исторические основы для мысли о музыкальной гармонии в живом организме? Идея о музыкальной гармонии устройства мироздания относится к числу древнейших идей человечества, хотя для европейцев она в основном связана с пифагорейцами. Многие авторитеты современного математического естествознания в поисках гармонии мира обращаются к музыке. Например, А.Эйнштейн и А.Зоммерфельд ввели термин «музыка атомных сфер» при открытии в атоме водорода спектральных серий Лаймана. Классики кристаллографии многократно отмечали связь отношений параметров кристаллов с отношениями музыкальной гармонии (Вейсс, Грассман, Гольдшмидт и др.)

7. Слово «гармония» возникло в Древней Греции в связи с пифагорейским музыкальным строем, семьнот которого, разнесенные в разные октавы, выстраиваются в единый ряд геометрической прогрессии на основе отношения квинты 3:2. Оказывается, что эта математическая выборка нескольких звуковых частот из бесконечного множества частот слышимого диапазона обладает гармоничностью.

8. Древние греки, как и древние китайцы, приписывали музыкальной гармонии ключевую роль в устройстве мира. Поэтому они придавали чрезвычайное значение поиску отношений квинты 3/2 в природных системах, считая 3 и 2 мужским и женским числами, которые своим взаимодействием порождают новые музыкальные тоны и пр. Так, Архимед считал высшим достижением своей жизни обнаружение квинты 3/2 в соотношении объемов (и площадей) цилиндра и сферы, вписанной в него. Именно эти фигуры он завещал выгравировать на его могильном камне, и именно по их чертежу Цицерон обнаружил могилу Архимеда через 100 с лишним лет после смерти Архимеда. Vcyl : Vsph = Scyl : Ssph = 3:2

9. Нами на первом этапе обращено внимание на то, что молекулярная система генетического кодирования, основы которой едины для всех живых организмов, выстроена во многом на отношениях квинты 3/2.

10. Молекулы наследственности ДНК и РНК содержат вдоль своих нитей кодовую последовательность четырех азотистых оснований - четырех «букв» генетического алфавита: аденина А , цитозина С, гуанина G, тимина T (или родственного ему урацила U в РНК). Названные буквы при их расположении на противоположных нитях ДНК образуют комплементарные пары: А и Т, соединенные двумя водородными связями; С и G, соединенные тремя водородными связями. Генетический код кодирует последовательности 20 видов аминокислот в цепевидных белках с помощью 64 триплетов - «трехбуквенных слов», представляющих собой всевозможные комбинации из этих четырех букв.

11. В результате на первом этапе нами было выявлено, что система генетического кодирования сопряжена с особым семейством матриц (квадратных таблиц) разной величины, математически взаимно связанных. Отношения соседних по величине чисел в каждой матрице равно квинте 3:2, поэтому матрицы называются «квинтовыми»:

13. Каждая из этих «квинтовых» генетических матрицсодержит (n+1) вид чисел, образующих квинтовую геометрическую прогрессию. Выпишем эти виды чисел в столбики: 3 9 27 81 243 …. 2 6 18 54 162 …. 4 12 36 108 …. 8 24 72 …. 16 48 …. 32 ….

14. Но этот набор чисел, получаемый из семейства геноматриц, известен уже 2000 лет под названием числового треугольника древнегреческого математика Никомаха из Гераса. Он опубликован в его книге «Введение в арифметику» как основа пифагорейской теории музыкальной гармонии и эстетики пропорций. Как утверждают искусствоведы, по этому числовому треугольнику, в частности, строился Парфенон и другие великие творения зодчества с их гармонией пропорций, поскольку архитектура трактовалась как застывшая музыка, а музыка – как динамическая архитектура. (Р.Шуман: «Эстетика одного искусства есть эстетика и другого; только материал различен») • 2 4 8 16 32.…. • 3 6 12 24 48…. • 9 18 36 72…. 27 54 108…. 81 162…. 243….

15. Геометрические прогрессии с коэффициентом квинты 3/2 представлены как в пифагорейском музыкальном строе, так и в рассматриваемых квинтовых геноматрицах. Чисто формально можно каждому числу этих геноматриц сопоставить некоторую ноту, если для взаимной однозначности волевым образом сопоставить наименьшее число геноматрицы с нотой ФАБ. Тогда, например, каждая квинтовая геноматрица PMULT(n) предстанет как матрица нот. Так, квинтовая геноматрица 64 триплетов сопоставима следующему нотному ансамблю:

16. Характерно, что в молекулах ДНК квинтовые отношения реализованы не только для водородных связей комплементарных оснований (числа 2 и 3), но и для ряда других параметров, например, для сумм протонов в кольцах комплементарных оснований (числа 40 и 60), для количеств атомов в кольцах пиримидинов и пуринов (числа 6 и 9) и др. Для этих параметров также имеют место квинтовые последовательности, которые могут быть представлены в форме последовательности нот пифагорейского музыкального строя. Но очередность «нот» из этих квинтовых последовательностей вдоль молекулы ДНК по каждому из этих параметров, вообще говоря, своя. Другими словам, ДНК представляет собой конструкцию из параллельных блоков, у которой отдельные виды блоков образуют гармонизированные по квинтам параллельные последовательности вдоль ДНК, относительно независимые друг от друга («квинтовое многоголосье»)

17. Семейство квинтовых геноматриц PMULT(n) имеет скрытую связь со знаменитым золотым сечением φ = (1+50.5)/2 = 1,618… Если извлечь квадратный корень из любой его матрицы, то образуется «золотая» геноматрица ΦMULT(n) = (РMULT(n))1/2, все элементы которой равны знаменитому золотому сечению в целой степени.

18. Например, в (8х8)-матрице (PMULT(3))1/2 фигурируют только две пары инверсионных друг другу золотых чисел: φ+1 иφ-1, φ+3 иφ-3.Все золотые геноматрицы также по своей мозаике являются матрицами диадических сдвигов и фрактальных блоков (2х2) циклических сдвигов.

19. Золотое сечение много веков является математическим символом самовоспроизводства. Им занимались Леонардо да Винчи, Кеплер и др. Золотое сечение по многим публикациям проявляется в разных физиологических системах и и процессах: сердечно-сосудистой системе, дыхательной системе, локомоторной системе, электрической активности мозга и пр. Обнаружение золотого сечения в системе параметров генетического кода свидетельствует в пользу молекулярно-генетической обусловленности этих «золоточисленных» макрофеноменов, связанной с биологической помехоустойчивостью.

20. Золотое сечение тесно связано с рядом чисел Фибоначчи, по которым генетически формообразуются многие живые организмы, чему посвящены тысячи публикаций: Fn=Fn-2+Fn-1: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

21. МУЗЫКАЛЬНАЯ ГАРМОНИЯ И СИСТЕМА ФИБОНАЧЧИЕВО-СТУПЕННЫХ СТРОЕВ Наши исследования выявили новую систему строев для музыкознания, неожиданно также сопряженную с числами Фибоначчи. Семейство квинтовых геноматриц PMULT(n) связано с треугольником Никомаха и пифагорейским музыкальным строем. А какие числовой треугольник и строй связаны с семейством золотых геноматриц (PMULT(n) )1/2 , виды чисел в которых образуют геометрические прогрессии с коэффициентом φ2? φ1φ2φ3φ4 …. φ-1φ0φ1 φ2 …. φ-2 φ-1φ0 …. φ-3φ-2 .... φ-4 ….

22. Исследование этого генетического числового треугольника на основе того же алгоритма, по которому строится пифагорейский музыкальный строй, привело нас к новой системе музыкльных строев вложенных друг в друга. Они называются «Фибоначчиево-ступенными строями», поскольку количество тон-интервалов и полутон-интервалов в них оказывается фибоначчиевым. Кроме того, величины тон-интервалов и полутон-интервалов выражаются через числа Фибоначчи.

23. Эти взаимосвязанные фибоначчиево-ступенные строи с бинарными интервальными коэффициен-тами могут также называться пентаграммными строями в силу связи их порождающего коэффициента φ2с системой пентаграмм: габариты пентаграмм, вписанных друг в друга, отличаются именно в это иррациональное число раз. Пентаграмма является древнимсимволом здоровья, а пифагорейцыклялись ею и использовали вкачестве опознавательного знакадля членов их братства.Пентасимметрии широкопредставлены в формах живойприроды, квазикристаллах,фуллеренах и пр.

24. 8-ступенный генетический пентаграммный строй имеет много аналогий с пифагорейским строем по внутренним симметриям и пропорциямДиапазон слухового восприятия человека содержит бесконечное множество частот. Пифагорейский строй выделяет из него небольшое множество математически взаимно связанных частот, образующих гармонический ансамбль. Но никто никогда не утверждал, что это – единственный способ образования гармонического ансамбля звуковых частот. И многие исследователи разных эпох, включая И.Кеплера, Р.Декарта, Г.Лейбница, Л.Эйлера и др., занимались поиском новых музыкальных строев. Но наука того времени не владела знанием о генетическом коде.