解等差数列问题 的思想与方法

1. 解等差数列问题 的思想与方法 忻州师院附中 梁培勤

2. an am - 变式 d= n-m 如果 a， A ，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即： 或 一、知识要点 1.定义 差 2 如果一个数列从第___项起，每一项与前一项的____等于______________，那么这个数列就叫做等差数列。 同一个常数 an-an-1=d（d为常数）（n≥2） 2.通项公式 an=a1+(n-1)d 推广公式： an=am+（n-m）·d (d≠0) [函数思想]通项公式整理后是关于n的一次函数 3.等差中项

3. ①对于等差数列 ，若 则： 比如： （下标成等差数列） 如： 成等差数列. ③ 1、 2、 一、知识要点 4.性质 ②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。 5.等差数列的前n项和公式 [说明]对于公式2,若d≠0则整理后是关于n的没有常数项的 二次函数。

4. 一、知识要点 6. an与Sn的关系

5. an a1 由 例题1：在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？并求它们的和。 解：在三位正整数的集合里，为5倍数的依此是 、105、 110、 115 … … 100 995 即组成一个以100为首项，5为公差的等差数列 则 设共有n项， a1 =100 ， an =995 ， 又d = 5 “知三求一” 可以解得n=180 (2) 由求和公式得

6. ∵ ∴ ∴ “土办法” 法二：巧用性质 “巧办法”

7. 9 没什么感觉, 那就要回到最基本的地方去,用首项和公差来分析 尝试! “函数思想” 有用吗? 或 “单调性应用”

8. 因为 合并成 ³ ( n 2 ) 解得 = ( n 1 ) 通性通法一： 解数列问题的转化意识 （Ⅰ） 解： 思路： Sn → an → an-an-1= 常数?

9. 通性通法二： 解数列问题的函数意识 解：

10. == aS 9 , 5 aS 则 } { 59 35 a n 2 1 } { =+++ a =- , Saaa ? an 112, n 12 nn n S 10 : 速度训练 1. { a } n S a + a =10 ( ) 等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值 S n n 3 17 19 (A) 55 (B) 95 (C) 100 (D) 是 是 是 不能确定 ,则 S 2. 设 是等差数列 的前 n 项和，若 （ ） n (A) 1 (B) 1 (C) 2 (D) － 3. 已知数列 的通项公式 则 = （ ） D 12 ） D （ ） A 100 B 50 C 25 （ ） （ ） （ ） 125 (1) B (2)A (3)B

11. 练1： 已知数列{an}的前n项和 求 an 练2：已知数列 { an } 是等差数列,bn= 3an + 4，证明数列 { bn } 是等差数列。

12. 练1： 已知数列{an}的前n项和 求 an 解：当 时 而 当 时 所以上面的通式不适合 时 所以：

13. 练2：已知数列 { an } 是等差数列,bn= 3an + 4，证明数列 { bn } 是等差数列。 证明： 因为数列 {an} 是等差数列数列 设数列{an} 的公差为d（d为常数）即an+1 - an=d 又因为bn= 3an+ 4 , bn+1= 3an+1 + 4 所以bn+1 – bn = （3an+1 + 4）-（3an+ 4） = 3（an+1- an）=3d 所以数列 { bn }是等差数列