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Storia delle equazioni

Storia delle equazioni. da Tartaglia a Galois. IL CINQUECENTO. Incremento demografico Miglioramento condizioni di vita Ascesa del ceto mercantile-imprenditoriale Costituzione di grandi imperi coloniali Riforma protestante Germania: cuius regio eius religio Concilio di Trento 1545

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Presentation Transcript

  1. Storia delle equazioni da Tartaglia a Galois Classe II B - anno scolastico 2002/03

  2. IL CINQUECENTO • Incremento demografico • Miglioramento condizioni di vita • Ascesa del ceto mercantile-imprenditoriale • Costituzione di grandi imperi coloniali • Riforma protestante • Germania: cuius regio eius religio • Concilio di Trento 1545 • Francia: guerra di religione fra Cattolici e Ugonotti • Rinascimento: decentralizzazione uomo Classe II B - anno scolastico 2002/03

  3. Niccolò Tartaglia Brescia 1499 – Venezia 1557 Classe II B - anno scolastico 2002/03

  4. Regola di Scipion del Ferro “Quando le cose e li cubi si eguagliano al numero [ax+bx3=c] ridurai la equatione a un cubo [x3+px=q] partendo per la quantità dei cubi [dividendo per il coefficiente dix3], poi cuba la terza parte delle cose [p3/27], poi quadra la metà del numero [q2/4] e questo suma con il detto cubato [q2/4+p3/27], et la radice di deta summa più la metà del numero fa un binomio [ ] et la radice cuba di tal binomio, men la radice cuba del suo residuo val la cosa ”. Classe II B - anno scolastico 2002/03

  5. Alcuni problemi proposti da fiori: • trovare un numero che, sommato alla sua radice cubica, dia come risultato sei. • Un ebreo presta un capitale a condizione che alla fine dell’anno gli venga pagata come interesse la radice cubica del capitale. Alla fine dell’anno, l’ebreo riceve ottocento ducati, tra capitale e interessi. Qual era il capitale? Classe II B - anno scolastico 2002/03

  6. Alcuni problemi posti da Tartaglia • un vascello sul quale si trovano quindici turchi e quindici cristiani viene colpito da una tempesta e il capitano ordina di gettare fuori bordo la metà dei passeggeri. Per sceglierli si procederà come segue: tutti i passeggeri verranno disposti in cerchio e, cominciando a contare a partire da un certo punto, ogninono passeggero verrà gettato in mare. In che modo si devono disporre i passeggeri perché solo i turchi siano designati alla sorte per essere gettati in mare? • Suddividere un segmento di lunghezza data in tre segmenti con i quali sia possibile costruire un triangolo rettangolo. • Una botte è piena di vino puro. Ogni giorno se ne attingono due secchi, che vengono sostituiti con due secchi d’acqua.in capo a sei giorni, la botte è piena per metà d’acqua e per metà di vino. Qual era la sua capacità? Classe II B - anno scolastico 2002/03

  7. Partiamo dall’equazione x3+6x=20; applicando il procedimento di Tartaglia si ha: • u – v = 20 • uv = 216/27 = 8 • sostituendo la 1) nella 2) si ottiene: • (20 + v)v = 8 da cui v2 + 20v – 8 = 0 • applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado si ha • la radice positiva è , conseguentemente • Infine • In generale Classe II B - anno scolastico 2002/03

  8. Girolamo Cardano Padova 1501 – Roma 1576 Classe II B - anno scolastico 2002/03

  9. Practicae arithmeticae, Norimberga, 1539 Artis magnae, sive De regulis algebraicis liber unus, Norimberga, 1545 De vita propria liber, 1575 La pubblicazione della formula risolutiva delle equazioni di terzo grado nell’ArsMagna, portò ai sei cartelli di “matematica disfida” con Tartaglia, che tra l’altro lo ingiuriò con l’appellativo di “huomo che tien poco sugo”. Le opere Classe II B - anno scolastico 2002/03

  10. Equazioni di 3° grado… in rima! Quando che ‘l cubo con le cose appresso Se agguaglia a qualche numero discreto: Trovami dui altri, differenti in esso; Dapoi terrai, questo per consueto, Che ‘l loro prodotto, sempre sia eguale Al terzo cubo delle cose netto; El residuo poi suo generale Delli lor lati cubi, ben sottratti Varrà la tua cosa principale. […] Classe II B - anno scolastico 2002/03

  11. Ludovico Ferrari Bologna 1522 - 1565 Classe II B - anno scolastico 2002/03

  12. Formula risolutiva per le equazioni di 4° grado • Data un’equazione del tipo ax4 + bx² + c = dx, aggiungendo ad entrambi i membri opportune quantità in modo da rendere entrambi dei quadrati ed estraendo, poi, la radice quadrata, si ottiene un’equazione facilmente risolubile, ma non era in termini geometrici. • Metodo escogitato da Ferrari con l’esempio numerico dell’equazione: x4 + 6x² + 36 = 60x • Se si aggiunge ai due membri dell’equazione: 6x² + 2x²y + (y² + 12y), dove y è una nuova incognita, si ottiene: (x² + y + 6)² = 2(y + 3)x² +60x + y² + 12y • Il primo membro è un quadrato perfetto ; affinché lo sia anche il secondo deve essere : 30² = 2(y + 3)(y² + 12y) • da cui si ottiene la risolvente di 3° grado 2y³ + 30y² + 72y = 900  y³ + 15y² + 36y = 450 • che permette di determinare la y e risolvere completamente l’equazione data con un’estrazione di radice quadrata, che porta ad un’equazione di 2° grado in x. Classe II B - anno scolastico 2002/03

  13. Raffaele Bombelli Bologna (?) Classe II B - anno scolastico 2002/03

  14. Nella sua opera, Algebra, espose i metodi di risoluzione delleequazioni di 3° grado. • Bombelli si occupò del cosiddetto “caso irriducibile”, utilizzando nella sua risoluzione radici quadrate di numeri negativi, operando su di esse come se fossero veri numeri, “cosa assurda” per un matematico dell’epoca. In particolare, partendo da una dimostrazione geometrica basata sulla scomposizione di un cubo in due cubi e sei parallelepipedi, fornì il metodo per calcolare le soluzioni reali di equazioni del tipo x³+ px = q Classe II B - anno scolastico 2002/03

  15. Osserviamo il cubo sottostante: Sia a il lato del cubo completo, (a-b) il lato del cubo più grande e b quello del più piccolo che si forma dalla sezione effettuata. I parallelepipedi che si formano sono tre di base (a-b)(a-b) ed altezza b, e tre di base b b ed altezza (a-b). Unendo ognuno dei maggiori con ognuno dei minori si formano tre parallelepipedi di base a(a-b) e altezza b. Assegnate le misure dei lati alle diverse figure, si ha: x3=(a-b)3+b3+3b2(a-b)+3(a-b)2b, ossia il volume del cubo assegnato è uguale alla somma dei volumi delle figure in cui si scompone. Svolgendo i prodotti, raccogliendo e portando al primo membro (a-b), si ottiene: (a-b)3=a3-3ab(a-b)-b3. L’obiettivo è trovare le soluzioni dell’equazione del tipo x3+px=q. Se prendo come incognita la quantità x=(a-b), ossia il lato del cubo più grande ottenuto dalla scomposizione, e la sostituisco nella precedente equazione si ha l’identità: (a-b)3=a3-3ab(a-b)-b3 x3=a3-3abx-b3 x3+3abx=a3-b3 L’equazione x3+px=q si riduce all’identità precedente quando a e b siano tali da rendere 3ab=p quindi ab=p/3 a3-b3=q a3-b3=q Classe II B - anno scolastico 2002/03

  16. EsempioTrovare la soluzione dell’equazione x³+6x=20. Per trovare la soluzione di questa equazione, posto x=a–b risolvere il sistema: ab=6/3=2a3-b3=20Dalla prima equazione, preso b=2/a e sostituitolo nella seconda equazione, otteniamo a³-8/a³=20; facendo il m.c.m. si ha a6 -20a³-8=0. Posto a³=t, l’equazione si trasforma in t² -20t–8=0 che ha come soluzioni, applicando la formula ridotta, t=10± ma, poiché la nostra incognita è il lato di un cubo, la soluzione negativa non sarà accettabile, per cui l’unica soluzione che possiamo considerare è t=10+Quindi si avrà a= e b=2/a, quindi b=2/ , che razionalizzando si può scrivere come:Quindi Classe II B - anno scolastico 2002/03

  17. Ciò equivale alla forma che si trova nell’opera di Bombelli Ora e poiché Operando allo stesso modo su si ha che Come si è detto in precedenza Bombelli introdusse i numeri immaginari per trattare le equazioni cubiche anche nel caso irriducibile, circostanza che capitava assai più frequentemente della risoluzione con radicali cubici reali. Il nome proposto per l’unità immaginaria (oggi i) è proprio solo di Bombelli: poiché “non si può chiamare né più, né meno, però lo chiamerò più di meno (+ i) quando egli si dovrà aggiungere, e quando si dovrà cavare lo chiamerò men di meno (- i)”. Classe II B - anno scolastico 2002/03

  18. François Viète Fontenay-le-Comte 1540 Parigi 1603 Classe II B - anno scolastico 2002/03

  19. Convocato al parlamento di Parigi nel 1571, fu dapprima consigliere presso il parlamento di Bretagna, poi presso quello di Parigi dove divenne consigliere di Enrico III e di Enrico di Navarra. • Introdusse l’uso delle lettere nel calcolo per rappresentare le quantità note e le incognite e portò contributi fondamentali alla teoria delle equazioni. • La prima raccolta della sua Opera mathematica fu pubblicata solo nel 1643: ciò ne impedì la valorizzazione mantenendo nell’ombra i suoi meriti. • 1579, Canon Mathematicus: introduzione di frazioni decimali, in luogo di quelle sessagesimali, per ottenere tavole trigonometriche migliori (inventa le regole di prostaferesi). • Conferma dell’intuizione bombelliana riguardo all’esistenza di una relazione tra il caso irriducibile delle equazioni di 3° grado e il problema della trisezione dell’angolo. Dall’equazione x3 + px + q = 0 con la sostituzione x = my si ottiene, infatti, l’equazione y3 + yp/m2 + q/m3 = 0, dove m rappresenta una quantità che possiamo determinare a piacere. Confrontando ora quest’ultima equazione con la seguente identità trigonometrica: cos3 /3 – ¾ cos /3 – ¼ cos  = 0 richiedendo che sia p/m2 = - ¾ e q/m3 = - ¼ cos si ricavano per m e cos  i seguenti valori reali (poiché p<0) Classe II B - anno scolastico 2002/03

  20. De aequationum recognitione et emendatione • Risoluzione trigonometrica dell’equazione di 3° grado. • Presentazione di funzioni simmetriche per le equazioni fino al 5° grado. • Conservazione del formalismo dell’algebra retorica usato da Cardano e Bombelli. • Es.: per indicare l’uguaglianza preferì abbreviare in “aeq” il latino “aequalis”, ignorando, invece, il simbolo “=”, già introdotto nel 1557; tuttavia propose di indicare con consonanti le grandezze o quantità che si ritenevano note e le vocali per rappresentare le incognite nelle equazioni. Classe II B - anno scolastico 2002/03

  21. IL SETTECENTO E L’OTTOCENTO • Crescita popolazione: teorie di Malthus e Hume • Inghilterra: rivoluzione agricola, capitalismo agrario, lavoro salariato, rivoluzione industriale; altri Paesi arretrati • Grandi potenze mercantili europee; imperi coloniali • Indipendenza Stati Uniti d’America (1776) • Liberismo e fisiocrazia • Rivoluzione dei consumi: nuovi alimenti importati dall’America • Nascita della politica dell’equilibrio come soluzione alle guerre del secolo • Illuminismo francese: l’Encyclopèdie; diffusione anche nel resto d’Europa • Giusnaturalismo e contrattualismo • Rivoluzione francese e ascesa napoleonica Classe II B - anno scolastico 2002/03

  22. Niel Henrick Abel Norvegia 1802 - 1829 Classe II B - anno scolastico 2002/03

  23. Testi di grandi matematici: Eulero, Newton e Lagrange • Nel 1821, a soli diciannove anni fece una scoperta eccezionale: riuscì a dimostrare che è impossibile risolvere un’equazione di quinto grado attraverso una formula. • Nel 1823 scoprì che è impossibile risolvere in radicali un’equazione generale di quinto grado e ne ricavò il problema inverso: quello della classificazione completa delle equazioni algebriche risolvibili in radicali. N.H.Abel Classe II B - anno scolastico 2002/03

  24. Evariste Galois Bourg-la-Reine 1811 – Parigi 1832 Classe II B - anno scolastico 2002/03

  25. Arrestato nel 1831 per le sue idee repubblicane ed espulso dall’Ecole Normale di Parigi. • Pubblicazione postuma dei manoscritti: fama indiscussa di matematico geniale. • Galois ricavò che a ogni equazione risolvente è associato un gruppo di numeri algebrici intermediario fra il corpo generato dalle radici dell’equazione in esame e quello determinato dai suoi coefficienti. La risolubilità per radicali di un’equazione di grado n dipende quindi dalla presenza o meno di determinate proprietà nella sequenza di gruppi da cui è costituita. Queste proprietà sono sempre presenti per la equazioni di grado 4. In generale non ci sono per quelle di grado >4. E. Galois in un disegno dell’epoca Classe II B - anno scolastico 2002/03

  26. Realizzazione:Manuela ZARDONI Flaminia SPARACINO Elisabetta BORRONI Linuccia BLANCO Veronica COLLINI Si ringrazia per la collaborazione: Daniela Zardoni Liceo Classico Linguistico “D. Crespi” - Busto Arsizio Classe II B - anno scolastico 2002/03

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