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§4.9 三角函数的最值

§4.9 三角函数的最值. 惠安三中 黄冬梅. 换元法、配方法. 通过三角恒等变换化为一角一函数. 三角法. 方法. 代数法. 通过变量代换转化为代数函数. 不等式法. 判别式法. 单调性法. 解析法. 把三角函数与直角坐标联系起来. 知识网络. 利用 |sinx|≤1 ，注 意 a 的符号影响. 基本类型. 知识网络. 设 t=tanx 化为分式函数，用判别式法. 当 ab>0 时，还可用均值不等式定理. 利用正余弦函数有界性，可用分离常数法或逆求法. 去分母转为上面 2 型；或用数形结合法 ( 斜率 ) ；或用万能公式换元. 知识网络.

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§4.9 三角函数的最值

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  1. §4.9 三角函数的最值 惠安三中 黄冬梅

  2. 换元法、配方法 通过三角恒等变换化为一角一函数 三角法 方法 代数法 通过变量代换转化为代数函数 不等式法 判别式法 单调性法 解析法 把三角函数与直角坐标联系起来 知识网络

  3. 利用|sinx|≤1，注 意a的符号影响 基本类型 知识网络

  4. 设t=tanx化为分式函数，用判别式法 当ab>0时，还可用均值不等式定理 利用正余弦函数有界性，可用分离常数法或逆求法 去分母转为上面2型；或用数形结合法(斜率)；或用万能公式换元 知识网络

  5. 复习导引 1、以上第六种类型若用平均值定理求时若等号取不到，该怎么办？ 2、三角函数的最值或值域都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设中所给出的区间、函数有意义的条件、弦函数的有界性、以及变换的等价性. 3、含参数的函数的最值问题，要注意参数的作用和影响，一般要对参数进行讨论.

  6. 1、(2003·北京春招)设M和m分别表示 的最大值和最小值，则M+m 等于( ) 考点练习 D

  7. 2、已知 ，则( ) A、函数最小值为–2，最大值为0 B、函数的最小值为–4 C、函数无最小值，最大值为0 D、函数最小值为–4，最大值为4 考点练习 C

  8. 3、已知 的最小值是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 考点练习 A

  9. 考点练习 4、设函数y=acosx+b(a，b为常数且a>0)的最大值为1，最小值为–7，那么acosx+bsinx的最大值为 ( ) A、3 B、4 C、5 D、6 C

  10. 考点练习 5、函数y=(sinx+1)(cosx+1)的最大值和最小值 分别是、.

  11. 考点练习

  12. 【例1】求函数 的最大值和最小值. 解析：（法一）：函数 的几何意义为 两点 连线的斜率k，而Q点的轨迹 为单位圆，由图可知: 典型题选讲

  13. 【例1】求函数 的最大值和最小值. ②当 时 典型题选讲 解析：（法二）： ①当y=0时；t=0

  14. 【例1】求函数 的最大值和最小值. 典型题选讲 解析：（法三）：

  15. 【例2】是否存在实数，使得函数y=sin2x+ acosx+ 在闭区间 上的最大值为1 若存在，求出对应的值，若不存在，试说明理由. 典型题选讲

  16. 典型题选讲 解析：

  17. 综上所述，存在 符合题意 典型题选讲

  18. T P A O B 典型题选讲 【例3】点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，使PT=1，∠PAB=α，当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？最大值是多少？ 解析：首先由题意作出示意图：

  19. T P A O B 典型题选讲

  20. T P A O B 典型题选讲

  21. A B C O 典型题选讲 【例4】在足球比赛中，甲队的边锋从乙队球门的一侧带球过人沿平行于边线的直线向前推进，试问：边锋在何处射门可命中球门的角最大？

  22. 典型题选讲 解析：设球门的两立柱分别为A、B两点，边锋为C，C到球门AB所在直线的距离

  23. 【例5】(2003年全国高考·北京卷理科) 已知函数f(x)=cos4x–2sinxcosx–sin4x， (Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若x∈[0， )，求f(x)的最大值、最小值. 典型题选讲 解析：(Ⅰ)因为

  24. 典型题选讲

  25. 典型题选讲

  26. 课堂练习 <<新高考攻略>> P.89-90 习题: 一.二 书面作业 <<新高考攻略>>P.90 习题: 三1.2.3.5

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