Θεματική Ενότητα

Θεματική Ενότητα Σχέσεις & Συναρτήσεις

Εισαγωγή Σχέσεις μεταξύ διακριτών αντικειμένων Παραδείγματα • Σε ένα σύνολο υπολογιστικών προγραμμάτων, δύο προγράμματα σχετίζονται αν χρησιμοποιούν μερικά κοινά δεδομένα εισόδου • Σε μια ομάδα φοιτητών δύο φοιτητές σχετίζονται αν έχουν ίδια τα δύο πρώτα γράμματα των επιθέτων τους

Διατεταγμένο Ζεύγος • Ένα σύνολο δύο στοιχείων (x, y) στο οποίο μπορεί να οριστεί ποιο είναι πρώτο και ποιο δεύτερο λέγεται «διατεταγμένο ζεύγος». • ΙΣΟΤΗΤΑ: (x1, y1) = (x2, y2) x1 = x2 & y1 = y2 • Συντεταγμένες ονομάζονται οι τιμές xκαι y.

Καρτεσιανό Γινόμενο Καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων ΑκαιΒ ονομάζεται το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών(x, y) με xÎΑκαι yÎB • ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: A×B ={(x, y) : xÎA& yÎB}

Παράδειγμα Έστω τα σύνολα Α={a, b} και Β= {a, c, d} Þ Α× B = {a,b} x {a,c,d}= = {(a,a), (a,c), (a,d), (b,a), (b,c), (b,d)}

Διμελής Σχέση • Μια διμελής σχέση από το Α στο Βείναι ένα υποσύνολοτου A×B • Τυποποίηση της διαισθητικής έννοιας ότι κάποια στοιχεία του Ασχετίζονταιμε κάποια στοιχεία του Β • Εάν ηRείναι διμελής σχέση από το Α στο Βκαι το διατεταγμένο ζεύγος (a,b)ÎR, θα λέμε ότι το στοιχείο α σχετίζεται με το στοιχείο b

Παράδειγμα Έστω • Α = {a,b,c,d}ένα σύνολο 4 φοιτητών • Β = {CS121, CS221, CS257, CS264, CS273, CS281}ένα σύνολο έξι μαθημάτων Το καρτεσιανό γινόμενο A×Bδίνει όλα τα δυνατά ζεύγη φοιτητών και μαθημάτων

Περιγραφή Διμελούς Σχέσης • Παράθεση των διατεταγμένων ζευγών της • Έστω Α = {a,b,c,d}B = {α,β,γ} και Rμία διμελής σχέση από το Α στο Β Þ R = {(a,α), (b,γ), (c,a), (c,γ), (c,β)} • Αναπαράσταση μέσω πίνακα

Περιγραφή Διμελής Σχέσης(συνέχεια) • Αναπαράσταση μέσω διαγράμματος

Πράξεις μεταξύ διμελών σχέσεων Έστω R1και R2 διμελείς σχέσεις από το σύνολο Α στο σύνολο Β • R1 ÇR2: τομή των R1και R2 • R1ÈR2: ένωση των R1και R2 • R1ÅR2: συμμετρική διαφορά των R1και R2 • R1 - R2: διαφορά των R1και R2

Παράδειγμα Έστω • Α = {a,b,c,d}ένα σύνολο φοιτητών και • B = {CS121, CS221, CS257, CS264, CS273, CS281} ένα σύνολο μαθημάτων • R1η διμελής σχέση από το Α στο Β που περιγράφει τα μαθήματα που παρακολουθούν οι φοιτητές • R2η διμελής σχέση από το Α στο Β που περιγράφει τα μαθήματα για τα οποία ενδιαφέρονται οι φοιτητές

Παράδειγμα (συνέχεια) ΟιR1 και R2περιγράφονται από τους παρακάτω πίνακες

Παράδειγμα(συνέχεια) • Μαθήματα τα οποία παρακολουθούν οι φοιτητές και για τα οποία ενδιαφέρονται: R1 ÇR2 = {(a, CS121), (b, CS221), (d, CS264), (d,CS281)} • Μαθήματα τα οποία είτε παρακολουθούν οι φοιτητές είτε τους ενδιαφέρουν: R1 ÈR2 = {(a, CS121), (a, CS264), (b, CS221),(b, CS257),(b, CS273), (c, CS221), (c, CS273), (c, CS281), (d,CS264), (d, CS273), (d, CS281)}

Παράδειγμα(συνέχεια) • Μαθήματα τα οποία παρακολουθούν οι φοιτητές, χωρίς να τους ενδιαφέρουν, και αυτά για τα οποία ενδιαφέρονται, αλλά δεν τα παρακολουθούν: R1ÅR2 = {(a, CS264), (b, CS257), (b, CS273), (c, CS221), (c, CS273), (c, CS281), (d, CS273)} • Μαθήματα τα οποία παρακολουθούν οι φοιτητές, αλλά για τα οποία αυτοί δεν ενδιαφέρονται: R1 - R2 = {(b, CS257), (c, CS221), (c, CS273), (c, CS281)}

Quiz Έστω • Α = {a,b,c,d}ένα σύνολο φοιτητών • Β = {ΒΤ&Τ, CompComm, GEE, JBM, Orange}ένα σύνολο εταιρειών που ήρθαν στο πανεπιστήμιο για να πάρουν συνεντεύξεις από τους φοιτητές που ενδιαφέρονται • R1μία διμελής σχέση από το Α στο Β που περιγράφει ποιοι φοιτητές έδωσαν συνέντευξη σε ποιες εταιρείες • R2μία διμελής σχέση από το Α στο Β που περιγράφει τις προσφορές εργασίας που έκαναν οι εταιρείες στους φοιτητές

Quiz(συνέχεια) ΟιR1 και R2περιγράφονται από τους παρακάτω πίνακες

Quiz (συνέχεια) • Προσδιορίστε το νόημα των διμελών σχέσεων R1 ÇR2,R1ÈR2,R1ÅR2,R1 - R2

Τριμελής Σχέση Μια τριμελής σχέση μεταξύ τριών συνόλων A, B και Cορίζεται ως ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου των δύο συνόλων Α× Bκαι C.

Παράδειγμα Έστω • Α = {a, b} • B = {α, β} • C = {1, 2} Þ (Α× B)×C= {((a, α), 1), ((a, α), 2), ((a, β), 1), ((a, β), 2), ((b, α), 1), ((b, α), 2), ((b, β), 1), ((b, β), 2)}

N – μελής σχέση • Μια n-μελής σχέση ανάμεσα στα σύνολα Α1, Α2, Α3, …, Αn ορίζεται ως ένα υποσύνολο του ((Α1 ×Α2)×Α3)…×Αn • Ένα σύνολο διατεταγμένων n-άδων στις οποίες • τοπρώτο στοιχείο είναι στοιχείο του Α1 • το δεύτεροείναι στοιχείο του Α2 … • το n-οστό στοιχείο είναι στοιχείο του Αn

Διμελής Σχέση επί ενός Συνόλου Μια διμελής σχέση από ένα σύνολο Αστο σύνολο Α λέγεται διμελής σχέση επί του Α

Παράδειγμα • Ορίζουμε μια διμελή σχέση Rεπί του Α τέτοια ώστε το (a,b)ÎRαν και μόνο αν a-b³ 10 Þ(12,1) ÎR, (12,3) Ï R, (1,12) Ï R

Ανακλαστική Σχέση Έστω Rμία διμελής σχέση επί του Α. Λέμε ότι η Rείναι ανακλαστική αν το (α,α)ÎR,"αÎΑ. Με άλλα λόγια, σε μια ανακλαστική σχέση κάθε στοιχείο του Α σχετίζεται με τον εαυτό του

Παράδειγμα Έστω Α το σύνολο των μαθημάτων και έστω Rμία διμελής σχέση επί του Α τέτοια ώστε • για δύο μαθήματα a, bÎA, το (a,b)ÎRαν τα τελικά τους διαγωνίσματα είναι προγραμματισμένα την ίδια μέρα. Προφανώς για οποιοδήποτε μάθημα το (α,α)ÎR Þ η Rείναι ανακλαστική

Παράδειγμα Έστω • Α το σύνολο των θετικών ακεραίων • R μια διμελή σχέση τέτοια ώστε το (a,b)ÎRαν το a διαιρεί το b Αφού ένας ακέραιος διαιρεί πάντα τον εαυτό του Þ η Rείναι ανακλαστική

Συμμετρική Σχέση Έστω Rμία διμελής σχέση επί του Α. HR λέγεταισυμμετρική αν για κάθε ζεύγος (α,b)ÎRισχύει ότι και το ζεύγος (b,a)ÎR

Παράδειγμα Έστω • Α ένα σύνολο φοιτητών • R μια διμελής σχέση πάνω στο Α τέτοια ώστε το (a,b)ÎRανν ο α και ο b είναι εγγεγραμμένοι σε ένα κοινό μάθημα Αν ο α είναι εγγεγραμμένος σε ένα μάθημα που είναι ο b Þ προφανώς ο bείναι επίσης εγγεγραμμένος σε ένα μάθημα που είναι και ο α Þ η σχέση Rείναι συμμετρική

Αντισυμμετρική Σχέση Έστω Rμία διμελής σχέση επί του Α. HR λέγεταιαντισυμμετρική αν για κάθε ζεύγος (α,b)ÎRτο συμμετρικό ζεύγος (b,a)ÏR, εκτός αν a = b

Παράδειγμα Έστω • Α ένα σύνολο από εξετάσεις που πρέπει να γίνουν σε έναν ασθενή • R μια διμελής σχέση πάνω στο Α τέτοια ώστε αν το (a,b)ÎR, τότε η εξέταση α πρέπει να γίνει πριν από την b Προφανώς αν η εξέταση α γίνει πριν από την b Þ η εξέταση bδεν μπορεί να γίνει πριν από την α, για οποιεσδήποτε διαφορετικές εξετάσεις Þ η σχέση Rείναι αντισυμμετρική

Μεταβατική Σχέση Έστω Rμία διμελής σχέση επί του Α. HR λέγεταιμεταβατική αν " (α,b), (b,c)ÎR, ισχύει ότι και το (a,c)ÎR

Παράδειγμα Έστω • Α = {a,b,c} και • R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,c)} Παρατηρούμε ότι η σχέση Rείναι μεταβατική Επίσης παρατηρούμε ότι • η Υ = {(α,b)} είναι και αυτή μεταβατική • ενώ η Ζ = {(a,b), (b,c)}δεν είναι

Μεταβατική Επέκταση Διμελούς Σχέσης Έστω Rμία διμελής σχέση επί του Α. H μεταβατική επέκταση της R, η οποία συμβολίζεται R1, είναι μια διμελής σχέση επί του Α τέτοια ώστε η R ÍR1 και επιπλέον, αν τα (α,b) και (b,c)ÎR, τότε το (a,c)ÎR1

Παράδειγμα Έστω • Α = {a,b,c,d} και • R η διμελής σχέση που φαίνεται στο δίπλα σχήμα Η μεταβατική επέκταση της R, R1 , φαίνεται στο δεύτερο σχήμα, όπου τα διατεταγμένα ζεύγη που ανήκουν στην R1,αλλά δεν ανήκουν στην R είναι σημειωμένα με έντονα σημάδια Ö

Μεταβατική Θήκη Διμελούς Σχέσης Έστω ότι η R2 συμβολίζει την μεταβατική επέκταση της R1και γενικά έστω ότι η Ri+1συμβολίζειτην μεταβατική επέκταση της Ri. Ορίζουμε ως μεταβατική θήκη της R, την οποία συμβολίζουμε με R*,την R ÈR1ÈR2 È…È Rk

Παράδειγμα Έστω • Α = {a,b,c,d} και • R η διμελής σχέση που φαίνεται στο δίπλα σχήμα Η μεταβατική θήκη της Rφαίνεται στο δεύτερο σχήμα

Παράδειγμα Έστω • Α ένα σύνολο πόλεων • R μια διμελής σχέση πάνω στο Α τέτοια ώστε το διατεταγμένο ζεύγος (a,b)ÎR, αν υπάρχει σύνδεσμος επικοινωνίας από την πόλη α στην πόλη bγια την μετάδοση μηνυμάτων

Παράδειγμα (συνέχεια) • η μεταβατική επέκταση της R, R1, περιγράφει πως μπορούν να μεταδοθούν μηνύματα από μία πόλη σε μία άλλη, • είτε μέσω ενός άμεσου συνδέσμου επικοινωνίας • είτε μέσω μιας ενδιάμεσης πόλης

Παράδειγμα (συνέχεια) • Η μεταβατική επέκταση της R1, R2περιγράφει πως μπορούν να μεταδοθούν μηνύματα από μία πόλη σε μία άλλη, • είτε μέσω ενός άμεσου συνδέσμου επικοινωνίας • είτε μέσω το πολύ δύο ενδιάμεσων πόλεων

Παράδειγμα (συνέχεια) • Η μεταβατική επέκταση της R, R* περιγράφει πως μπορούν να μεταδοθούν μηνύματα από μία πόλη σε μία άλλη, • είτε μέσω ενός άμεσου συνδέσμου επικοινωνίας • είτε μέσω κάποιου, οσοδήποτε μεγάλου, αριθμού ενδιάμεσων πόλεων

Σχέση Ισοδυναμίας Μια διμελής σχέση επί ενός συνόλου λέγεται σχέση ισοδυναμίας εάν είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική

Παράδειγμα Η διμελής σχέση επί του συνόλου {a,b,c,d,e,f} που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα είναι σχέση ισοδυναμίας

Παράδειγμα Έστω • Α ένα σύνολο από φοιτητές • R μια διμελής σχέση πάνω στο Α τέτοια ώστε το διατεταγμένο ζεύγος (a,b)ÎR, ανν ο aμένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον b Ο καθένας μένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον εαυτό του Þ η Rανακλαστική σχέση

Παράδειγμα (συνέχεια) Αν ο α μένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον bτότε και ο bμένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον α Þ η Rσυμμετρική σχέση Αν ο α μένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον bτότε και ο bμένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον c, τότε και ο α μένει στο ίδιο διαμέρισμα με τον c Þ η Rμεταβατική σχέση

Διαμέριση Συνόλου Μια διαμέριση ενός συνόλου Α είναι ένα σύνολο από μη κενά υποσύνολα του Α, {Α1, Α2, Α3, …, Ακ}, τέτοιο ώστε Α1ÈΑ2ÈΑ3È …ÈΑκ =Ακαι Αi Ç Αj= Æ, " Αi¹Αj

Διαμέριση Συνόλου • Μια διαίρεση του συνόλου σε διαζευγμένα υποσύνολα • Τα υποσύνολα αυτά ονομάζονται επίσης και σύμπλοκα διαμέρισης

Παράδειγμα Έστω • Α = {a,b,c,d,e,f,g} • το {{a}, {b,c,d}, {e,f}, {g}}είναι μια διαμέριση του Α Εισάγουμε τον συμβολισμό , όπου τοποθετούμε μία γραμμή πάνω από τα στοιχεία που ανήκουν στο ίδιο σύμπλοκο

Σχέσεις Διαμέρισης και Ισοδυναμίας Από μία σχέση ισοδυναμίας επί του συνόλου Α μπορούμε να ορίσουμε μία διαμέριση του Α έτσι ώστε • Όταν δύο στοιχεία σχετίζονται να ανήκουν στο ίδιο σύμπλοκο • Όταν δεν σχετίζονται να ανήκουν σε διαφορετικά σύμπλοκα

Σχέσεις Διαμέρισης και Ισοδυναμίας (1/2) Από μία διαμέριση ενός συνόλου Α μπορούμε να ορίσουμε μία σχέση ισοδυναμίας επί του Α έτσι ώστε • Κάθε δύο στοιχεία που ανήκουν στο ίδιο σύμπλοκοτης διαμέρισης να σχετίζονται • Οποιαδήποτε δύο στοιχεία που ανήκουν σε διαφορετικά σύμπλοκανα μην σχετίζονται

Παράδειγμα Έστω • Α ένα σύνολο από άτομα • R μια διμελής σχέση πάνω στο Α τέτοια ώστε το διατεταγμένο ζεύγος (a,b)ÎR, ανν ο aκαι ο bέχουν το ίδιο επώνυμο Þ η R είναι μία σχέση ισοδυναμίας της οποίας οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι οικογένειες

Εκλέπτυνση Διαμέρισης ‘Εστω π1 και π2 δύο διαμερίσεις ενός συνόλου Α. Έστω R1καιR2οι αντίστοιχες σχέσεις ισοδυναμίας. Λέμε ότι η π1 είναι μία εκλέπτυνση της π2, το οποίο συμβολίζεται με π1£π2, ανR1Í R2

Θεματική Ενότητα

Θεματική Ενότητα

Presentation Transcript