Chapter 5 微扰理论

Chapter 5微扰理论 Perturbation Theory

引言前面讨论了量子力学的基本理论，并应用薛定格方程求得了一些简单问题的解。如:（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；（3）势垒贯穿问题；（4）氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。在实际微观体系中，由于哈密顿算符的复杂性，能求出薛定格方程精确解的问题是极少的。例如一个氦原子体系就难以得到精确解。因此，在量子力学中，用近似方法求薛定格方程近似解就显得尤为重要。

近似方法的出发点: 近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。近似方法很多，微扰方法和变分法就是其中两种重要的近似方法。微扰方法又视其哈密顿算符是否与时间有关分为定态微扰和非定态微扰两大类。

讲授内容 5.1非简并定态微扰理论 Non degenerate perturbation theory of stationery state 5.2简并情况下的微扰理论 Degenerate perturbation theory 5.3氢原子的一级斯塔克效应 First order Stark effect of hydrogen atom 5.4变分法 Variational Method 5.5氦原子基态 Ground State to Helium Atom 5.6与时间有关的微扰理论 Perturbation theory with time

5.6与时间有关的微扰理论 • Perturbation theory with time • 5.7跃迁几率 • Transition Probability 5.6与时间有关的微扰理论 Perturbation theory with time 5.7跃迁几率 Transition Probability 5.8光的发射和吸收 Light emission and absorption 5.9选择定则 Selection rule

学习要求： a．了解由初态跃迁到末态的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的表达式； b．理解由微扰矩阵元可以确定选择定则； c．理解能量与时间之间的不确定关系：。 d．理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由态跃迁到态的辐射强度均与矩阵元的模平方成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量数的选择定则。 1.重点掌握非简并定态微扰理论。要求掌握非简并定态微扰波函数一级修正和能级一、二级修正的计算。 2. 对于简并的微扰论，能掌握零级波函数的确定和一级能量修正的计算。 3. 了解定态微扰论的适用范围和条件； 4. 关于与时间有关的微扰论要求如下： 5. 了解氢原子一级斯塔克效应及其解释。

作业 周世勋教材：5.1, 5.2, 5.3 课本上P:136页的例题

量子力学中的近似方法：微扰论（包括定态微扰和含时微扰）；变分法；WKB近似法（即温侧-克喇末-布里渊近似法）本章主要讲述前两种. 微扰论：逐级近似（越往后贡献越小）近似方法：微扰与变分微扰方法：与时间无关（定态微扰）与时间有关（量子跃迁）定态微扰：简并、非简并

当比较复杂，方程(1)难求解时，将　写成： (2) 而　相对很小，可视为加在　上的微扰。现在的任务是通过　和　　，求出相应的修正项以得到　和　的近似解，为此，引入一个很小的实数，并将表示为 (3) 5.1 非简并定态微扰理论设体系的哈密顿算符不显含时间，则其定态薛定鄂方程为 (1) 一、基本方程其中　　是基本部分，与它对应的本征值和本征函数由以下方程求出注：H0具备的条件：贡献占主要部分，H/是小量；方程(3)能解。

(7) (4) (5) (6) 将此式展开，便得到一个两边均为的幂级数等式，此等式成立的条件是两边同次幂的系数应相等，于是得到一列方程： 为任一小量相应地,将　和　表示为实参数的级数形式：将以上几式代入（1）式得：

: : : : 由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得能量和波函数的近似解.的引入只是为了从方程(7)按数量级分出(8)、(9)、 (11) 等方程，达到此目的后，便可省去。方程(4),(5)和(6)便写成 (11)

(14) (12) (13) 为一级修正，为二级修正当　非简并时，属于　的本征函数只有一个，它就是波函数的零级近似　　。（设　　已归一化）。为级修正二、一级修正 (1)能量的一级修正

为求，以 左乘（9）式两边，并对空间积分：（15）注意到是厄米算符，是实数，有再注意的正交归一性＝1，由（1５）式＝0得能量的一级修正值等于在态中的平均值。平均值矩阵元

(2)波函数的一级修正 已知后，由（９）式可求波函数的一级修正。将按的本征函数系　　展开根据态迭加原理，展开系数可为任意常数，故可以选取，使得展开式中不含项，即使，则上展开式可改写为（９）式 or (1６) 注意写法! 代入（9）式得

代入可得 左乘，并对坐标积分，左边

右边左边＝右边可得见下面的（19）式.

以左乘，并积分，并注意 的正交归一性得到：令微扰矩阵元（1８）则 : （17）（19）

作展开： （20）三、高级修正（能量的二级修正）代入（16）式，得波函数的一级修正法一：将(21) 代入（10）式，可得到

法二： 用左乘上式，在对坐标积分可得左边厄密算符的定义

右边左边＝右边，并把代入得

于是，能量的二级近似为 课本上的写法！（２２） m不等于n 波函数的一级近似为

（２４） （２５）将（２３）波函数的二级修正不做要求

用乘以上式，再积分 =0 其中利用　　　　　　　　后，上式可写成代入（10）式，可得

总结 m不等于n 务必记住！！波函数的二级修正不要求

四、微扰理论适用的条件 （26） (a) 是问题的主要部分，并且可分为可以精确求解，不能判别级数是否收敛，因不知级数的一般项,故要求后项远小于前项，即 (b) 微扰论的基本思想：先确定H0,并且H0能精确求解，逐级叠代，逐级逼近

课本例题 例题做法1见课本，做法2如下

其中用到了

作业题同学们自己做！ 补充例题如下：的矩阵表示为设在表象中，其中试用微扰论求能级的二级修正. 解：在自身表象下为一对角矩阵，为故为

由微扰论公式 可得

例.设Hamilton量的矩阵形式为： （1）设c << 1，应用微扰论求 H本征值到二级近似；（2）求H 的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面两结果一致。

（1）c << 1，可取零级和微扰 Hamilton 量分别为：解： H0 是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的零级近似为：由非简并微扰公式 E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = - 2 能量二级修正为：得能量一级修正：

准确到二级近似的能量本征值为： (2)精确解：设 H 的本征值是 E，由久期方程可解得：比较（1）和（2）之解，可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c4及以后高阶项的结果相同。解得： (3) 将准确解按 c (<< 1)展开：

递推关系 设一维谐振子受到　　　的微扰（　为实参数，且　　 ),用微扰法求能量的一级修正。能量一级修正等于微扰算符在无微扰本征函数中的平均值： Solve: 哈密顿量本征函数 Ex. 本例题与课本类似，不讲方法一：用微扰公式求解：

由递推关系

波函数的一级修正：

因本征能量其中方法二：用变换哈密顿算符求解：这是一个标准的一维线性谐振子的能量算符

能量的二级修正 故无微扰谐振子能量有微扰时，能量的一级修正

若为　度简并，则有　个本征函数　　　　　　满足方程根据叠加原理，这　个本征函数的任意线性组合仍是属于　本征值的本征函数.因而,可由这个本征函数线性组合构成零级近似波函数：且正交归一（１） 5.2 简并情况下的微扰理论注：简并是对于H0来说的，而不是对于H来说的。问题是零级近似波函数如何取？

微扰理论的基本方程： 得：将以上几式代入将（１）式代入上式可得

得到： ‖ （2）排列成矩阵形式（3）（４）左乘后，再对坐标积分由厄密算符的定义推导

（５） 由(2)式分别求出，代入久期方程（5）式，可求得的　根　　　　　，此即为能量的一级修正。能量的一级近似：（6）方程组(3)有非零解的条件是系数行列式等于零,即

(1). 若的个根 都不相等，则一级微扰可将k度简并完全消除；如果要求二级修正，再应用非简并微扰方法进行。由于 H（0）具有某种对称性，因此不考虑H/时，能级是k度简并的。考虑 H/后，哈密顿量的对称性被破坏，能级的简并度降低并完全消除。讨论

将能量一级修正的个根分别代回方程（4） (2). 若的个根部分相等，则简并度部分解除，这时须再次利用简并微扰法考虑能量二级修正才有可能进一步解除简并，依次进行下去，直到简并度完全消除。 (３).若的个根完全相等，则一级微扰不能消除简并，必须继续利用简并微扰法考虑高阶修正。求零级近似波函数

即由此分别求得组的值，即可求得零级近似波函数 (7)

这里能级由主量子数　决定，与　和　无关，第　个能级 是度简并的。在没有外场作用的情况下，氢原子中的电子所受到的是原子核球对称库仑场的作用，其哈米顿算符、能级和本征函数为： 5.3 氢原子的一级斯塔克效应 1913年德国物理学家斯塔克发现，处于外电场中的原子，其光谱发生分裂。不难理解：谱线分裂是由于能级分裂引起，而能级的分裂是由于系统的某种对称性受到破坏的结果。斯塔克效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。

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