応用数理工学特論線形計算とハイパフォーマンスコンピューティング

応用数理工学特論線形計算とハイパフォーマンスコンピューティング応用数理工学特論線形計算とハイパフォーマンスコンピューティング 2008年6月19日名古屋大学　計算理工学専攻山本有作

期末発表について • 概要 • 日時：　7/10 および 7/17 • １～３人のグループで１つの発表を行う。 • 論文を読んでまとめるか，あるいは講義で勉強したことをもとに自分たちで数値実験を行った結果を発表 • グループの決定 • 本日の講義後に，グループを申告してください。 • 未決定の人は，今週末までに決めてメールで申告してください。 • 発表テーマの決定 • テーマの候補をホームページに掲載します。 • 来週の講義までに，自分たちのテーマを決めて報告してください。

前回の概要 ３.　非対称行列の固有値計算のための前処理・ハウスホルダー法によるヘッセンベルグ化４.　ヘッセンベルグ行列の固有値計算・べき乗法・直交化付き同時反復法・ QR法

今回の内容 ４.　ヘッセンベルグ行列の固有値計算（続き）・シフト付きQR法・減次（デフレーション）・ QR法の演算量・ヘッセンベルグ行列に対するQR法

今回の内容 ５.　ヘッセンベルグ行列の固有値計算の高性能化・ QR法の問題点・マルチシフトQR法・ level-3 BLAS の利用６.　三重対角行列の固有値計算の高性能化

QR法の基礎 • アルゴリズム（Francis, 1961 & Kublanovskaya, 1961） • 行列 A0から始めて次のように QR 分解と相似変換を繰り返す。 • A0 = Q1R1 • A1 = R1Q1 (= Q1–1A0 Q1 ) • A1 = Q2R2 • A2 = R2Q2 (= Q2–1A1 Q2 = Q2–1Q1–1A0 Q1Q2 ) • 収束定理 • 適当な条件の下で，Ak は（ブロック）上三角行列に収束 • A0 の固有値を絶対値の大きい順に l1, l2, … , lnとすると，対角要素 aijは li に１次収束 • 非対角要素 aij （j < i）は収束率 rij≡ |li| / |lj| で 0 に１次収束

各部分の実行時間 Execution time (min) • 全固有値を求める場合の演算量 • ヘッセンベルグ化：　(10/3) n3 • QR法：　10n3（経験値） • 演算量（時間）の大部分をQR法が占める。 • QR法の高速化が必要 Origin2000 1PU （R12000，400MHz）上での実行時間 K. Braman et al: “The Multishift QR Algorithm I” より抜粋 Hessenberg 化の時間は推定値

レベル3 BLAS の利用 • 更新処理の分割 • m/2個のバルジをそれぞれ r行追跡する際，　まず対角ブロックのみを更新 • 非対角ブロックは，更新に使ったハウスホルダー変換を1個の行列に蓄積し，後でまとめて更新　　非対角ブロックの更新でレベル3 BLASが使用可能 • rの決め方 • 演算量の点から，r～3mとするのが最適 • このとき，演算量は方式１の約2倍　　（非ゼロ構造を利用した場合） 0 バルジ（3×3）最初に更新まとめてBLAS3で更新蓄積されたハウスホルダー変換の非ゼロ構造

マルチシフトQR法の性能 • 流体力学の問題に対する計算時間の例 • PowerPC G5 2.0GHz （1CPU） • 行列は金田研究室水野氏提供 N=3645 N=11232

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