Cap 3 – Resposta no Tempo

1. INTRODUÇÃO AO CONTROLO 1º semestre – 2011/2012 Cap 3 – Resposta no Tempo Transparências de apoio às aulas teóricas Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

2. Objectivos • Referências • Cap.3 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal) • Sinais e Sistemas, IsabelLourtie, Escolar Editora (para revisão de conceitos sobre TL) Rever conceitos sobre a resposta no tempo deSLITs Pólos, zeros, ganho estático e a resposta dinâmica deSLITs Caracterização da resposta de sistema de 1ª e 2ª ordem e ordem superior Sistemas de fase não mínima Relação tempo-frequência

3. y(t) r(t) SLIT Y(s) R(s) G(s) Função de Transferência: definição FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Quociente da transformada deLaplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais Para condições iniciais nulas • A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída • Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente o sistema do ponto de vista de entrada-saída

4. y(t) r(t) SLIT Resposta no Tempo • Dados • a equação diferencial que representa um modelo do SLIT • a entradar(t) • as condições iniciais • Pretende-se: • Conhecer a evolução temporal da saída, y(t) Uma maneira de resolver o problema Resolver aequação diferencial que é a representação do comportamento de entrada-saída

5. y(t) r(t) SLIT r(t) y(t) TLu TLu-1 R(s) Y(s) Y(s) R(s) G(s) Função de Transferência e a Resposta no Tempo Resolução da eq.diferencial Se as condições iniciais forem nulas

6. f(t) m b Resposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordem G(s) Sistemas mecânicos de translaçãoexemplo-1ªordem u(t) = escalão de Heaviside f(t) = F u(t) = entrada do sistema F 1 assume-se que o sistema está inicialmente em repouso TL-1

7. Resposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordem decomposição em fracções parciais saída Ganho em regime estacionário

8. Resolução daeq.diferencial r(t) y(t) TL TL-1 R(s) Y(s) A FT e a obtenção da resposta de um SLIT comc.i. não nulas Utilização da Função de Transferência na obtenção da resposta de um SLIT Se as condições iniciais forem nulas E se as condições iniciais não forem nulas? Não é possível continuar a usar(directamente) aFunção de Transferência ? TLu-1 TLu G(S) R(s) c.i. 0 eq.diferencial Y(s) y(t) Já tem em linha de conta as c.i.

9. A FT e a obtenção da resposta de um SLIT comc.i. não nulas exemplo TLuconsiderando c.i. não nulas TL-1 Sistema linear Princípio da sobreposição Resposta devida à excitação pelas condições iniciais Resposta devida à excitação pela entradar(t)

10. Y(s) R(s) G(s) Função de transferência: caso geral. Pólos e Zeros • Função de transferência • própria  nm • estritamente própria  n>m • não própria  n<m Só estudaremos este tipo de FT Pólo do SLIT C é um polo do sistema com FT própriaG(s) sse |G()|= Zero do SLIT C é um zero do sistema com FT própriaG(s) sse |G()|=0 • Se N(s) eD(s) não tiverem factores comuns • Os pólos do sistema são os zeros deD(s) • Os zeros do sistema são as zeros deN(s) cuidado ao cancelar factores comuns nos polinómios N(s) eD(s)

11. Função de Transferência: outras representações Representações alternativas (Se não houver pólos e/ou zeros na origem, nm ) Pólos {-p1, -p2, ... , -pn} Zeros {-z1, -z2, ... , -zm} (em rad/seg) Forma das constantes de tempo (em seg) Se -pi for um pólo real ganho estático Atenção ao valor do ganho estático quando houver pólos e/ou zeros na origem constante de tempo

12. f(t) m b Resposta no tempo a partir da FT: exemplo de sistema de 1ª ordem (cnt) pólo = (rad/seg) G(s) não tem zeros constante de tempo= (seg) FT na forma das constantes de tempo Ganho estático= = 1.33 • Quando aumenta, • a resposta do sistema torna-se mais rápida. • a constante de tempo diminui • o regime transitório atenua-se mais rapidamente |pólo| a aumentar • O pólo determina a natureza da componente natural da resposta; pólo real  exponencial amortecida • Como é a resposta em frequência para estas duas situações?

13. R(s) Y(s) K0 63.2% 86.5% 95% 98% Resposta no Tempo: caso geral de 1ª ordem Pólo = -a (rad/seg) Constante de tempo = 1/a (seg) Ganho estático = K0 r(t)=u(t) Para t0 Tempo de estabelecimento (a 2%)–tempo ao fim do qual a resposta se confina a uma faixa de2% do valor final. ts a 5%

14. Y(s) R(s) G(s) Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs) Teorema do Valor Inicial Teorema do Valor Final Se todos os pólos de sX(s) estão no s.p.c.e De que modo estes teoremas podem ser usados na análise do comportamento (da saída) deSLITs ? Sem o cálculo explícito da saída para umadada entrada é possível avaliar valores particulares da saída:

15. Y(s) R(s) G(s) Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs) no cálculo de características da saída de um SLIT Valor Inicial da Saída Entrada escalão unitário Valor Final da saída Entrada escalão unitário Valor do ganho em regime estacionário

16. f(t) m b Ganho Estático: exemplo X Entrada=f(t) Saída = x(t) este sistema tem um pólo na origem (a posição é o integral da velocidade)

17. f(t) m b Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem X exemplo Objectivo: controlar o sistema em posição + _ Qual é a função de transferência do sistema controlado? • sistema de 2ª ordem, com 2 pólos, sem zeros • ganho estático = ?

18. R(s) G(s) Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem. Caso geral Y(s) • Qual é a resposta para uma entrada escalão de amplitude unitária ? • depende da localização dos pólos Sistema subamortecido Pólos complexos conjugados Sistema criticamente amortecido Pólo real duplo Sistema sobreamortecido Pólos reais distintos

19. Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos) Sistema subamortecido Sistema sobreamortecido Sistema criticamente amortecido

20. Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos) Sistema sobreamortecido Sistema subamortecido zoom zoom A derivada na origem é nula Demonstre este resultado usando o teorema do valor inicial, mostrando que:

21. Wn – freq. oscilações naturais NÃO amortecidas -- coeficiente de amortecimento Wd – frequência das oscilações amortecidas Sistema de 2ª ordemSubamortecido pólos complexos Resposta a uma entrada escalão unitária Td Período das oscilações sobreelevação parte real dos pólos S 1 parte imaginária dos pólos Consequência de o ganho estático ser unitário 0.9 0.1 Nota: wn actua apenas como factor de escala de tempo ts tr tp Tempo desubida Tempo de pico Tempo de estabelecimento

22. Especificações no domínio do tempo • As especificações para o desempenho de um sistema controlado são, por vezes, expressas em termos da sua resposta no tempo • Especificações típicas em termos de: • Tempo de subida (tr) – tempo que o sistema demora a atingir a vizinhança de um novo set-point • Vulgarmente o intervalo entre 0.1 e 0.9 do valor final • Tempo de estabelecimento (ts) – tempo que o regime transitório demora a decair • Vulgarmente o tempo até a saída se confinar a uma faixa de 5% do valor final • Sobreelevação - (S%) – valor máximo da saída menos o valor final divido pelo valor final • Tempo de pico (tp) – é o tempo que o sistema demora a atingir o valor máximo da saída • Para sistemas de 2ª ordem, sem zeros, subamortecidos, estas especificações podem expressar-se como função de e de n

23. Sistema de 2ª ordemSubamortecido Características da resposta • Pontos em que a derivada se anula A derivada na origem é nula Para n=0 • Período das oscilações - Td • Tempo de pico - tp Tempo ao fim do qual ocorre o máximo absoluto dey(t) n=1

24. tr Sistema de 2ª ordemSubamortecido Características da resposta • Sobreelevação– S% Só depende do coeficiente de amortecimento • Tempo de subida - tr Tempo requerido para a saída evoluir de 10% a 90% do valor final Não há uma expressão analítica simples que relacionetr com o coeficiente de amortecimento e a frequênciawn. Mas há expressões aproximadas

25. aproximação Sistema de 2ª ordemSubamortecido Características da resposta • Tempo de estabelecimento a 2% (ts(2%)) • Instante de tempo em que a saída atinge e se mantém numa faixa de  2% do valor final • A mesma definição usada nos sistemas de 1ª ordem a 2% a 5% Valores aproximados Verifique a analogia com os sistemas de 1ª ordem a 1%

26. Sistema de 2ª ordemSubamortecido – Vários Exemplos Figuras retiradas de Análise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001

27. Sistema de 2ª ordemSubamortecido – Vários Exemplos Figuras retiradas de Análise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001

28. Sistema de 2ª ordemSubamortecido Lugar geométrico dos pólos que correspondem a determinadas especificações Tempo de subida constante Tempo de estabelecimento constante Sobreelevação, constante Tempo de pico constante

29. Exercício R(s) Y(s) + • O ganho estático do sistema em cadeia fechada depende de K? • Determine o valor de K para que a resposta do sistema em cadeia fechada a uma entrada escalão de amplitude unitária tenhasobreelevação de 20%. • Para esse valor de K qual é o tempo de estabelecimento a 5% da resposta? _ Ganho estático unitário, independente de K O sistema em cadeia fechada tem uma f.t. da forma Das especificações pretendidas: Por comparação: Confirme resultados usando Matlab

30. Sistema de 2ª ordem – Criticamente amortecido ganho estático unitário entrada escalão de amplitude unitária

31. Sistemas de ordem superior. Efeito de pólos adicionais • De que modo um pólo influencia a resposta global? • Através de: • tipo de pólo (real, complexo, simples, duplo) • parte real - que determina o ritmo de decaimento da componente transitória associada • resíduo associado – que depende da localização dos outros pólos e zeros. Contribuição de pólos para a resposta transitória pólo simples pólo duplo pólos complexos

32. Sistema de 3ª ordem sem zeros -2 -1 -3 -8 sistema de 3ª ordem c/ 2 pólos complexos conjugados e um pólo real a =1, 3, 8 rad/seg sistema de 2ª ordem a=8 a=3 • Quando |a| aumenta • a influência do pólo real diminui • O pólo torna-se “menos dominante” • A resposta é “dominada” pelos pólos complexos • Em qualquer das situações o sistema torna-se mais lento • A largura de banda DECRESCE quando|a| diminui a=1 Compare o diagrama de Bode para as quatro situações

33. Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes • Quando |a| aumenta • a influência do pólo diminui • O pólo torna-se “menos dominante” • Os pólos complexos sãopólos dominantes • Em que condições é possível desprezar o pólo (real) não dominante ? • Quando o regime transitório associado é desprezável, no conjunto de todas as contribuições transitórias, ao fim de aproximadamente 5 constantes de tempo. • Quando o módulo do pólo real é pelo menos cinco vezesmaior que o módulo da parte real dos pólos dominantes.

34. Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes 2ªordem 3ªordem O desprezo de pólos não dominantes tem que preservar o ganho estático Aproxima o sistema de 2ªordem, no que respeita à resposta no tempo Que acontece no domínio da frequência? Qual é o conceito de pólo não dominante no domínio da frequência?

35. Efeito de zeros adicionais • Qual a influência de zeros na resposta deSLITs? ganho estático unitário Entrada escalão de amplitude unitária Cálculo geométrico dos resíduos -c -a Os zeros determinam o valor dos resíduos -b aproximação • Os resíduos R2ou R3serão pequenos se o zero estiverpróximode pólo em –b ou do pólo em –c, respectivamente.

36. Pólos não dominantes: Redução de ordem • Em que condições • Sistemas de ordem superior podem ser aproximados por sistemas de ordem mais baixa? • Quando há PÓLOS NÃO DOMINANTES • o resíduo associado ao pólo é pequeno • Proximidade com um zero • a parte real do pólo é elevada • Regime transitório extingue-se muito rapidamente Como se faz a aproximação? • despreza-se o pólo e o zero • despreza-se o pólo Cuidado a ter na aproximação O sistema original e o aproximado devem ter o mesmo ganho estático exemplo

37. Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional 1 pólo duplo e 1 zero Para entrada escalão unitário Características da resposta Use os teoremas dos valores inicial e final para chegar a estas conclusões Pode ser negativo se o zero estiver no spcd

38. -b -wn Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional -b -wn Existe sobreelevação Combinação linear de um sinal e da sua derivada

39. Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional Pólo duplo e zero no spcd -b -wn Sistema tem um zero no spcd - sistemade FASE NÃO MÍNIMA • Sistema de fase não mínima é aquele que tem pelo menos um pólo e/ou um zero nosemi-plano complexo direito • Pólonospcd – instabilidade • Qual é o efeito de umzeronospcd ? Derivada na origem é negativa

40. Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete • Exemplo – Barrilete • Centrais termoeléctricas • Produção de vapor r(t) h(t) barrilete Caudal de água fria à entrada Altura da água no barrilete Lento • Relação entre a abertura da válvula da água fria e a altura da água no barrilete depende de: • Efeito rápido de contracção da água devido à injecção de água fria • Efeito de integração devido à adição de massa Rápido

41. Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete • Exemplo – Barrilete • Para certa relação de K1et o sistema tem um zero nosemi-plano complexo direito (t<1/ K1 ) • Nos sistemas reais t<<1, K1<<1. entrada escalãor(t) =u(t)

42. Sistema de fase não mínima: Manipulador Flexível Manipulador Rígido saída entrada T(t) q(t) T q t t 0 0 T-binário motor Manipulador Flexível saída entrada T(t) q(t) t t 0 T q Efeito de “chicote” (FASE NÃO MÍNIMA) INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2006/2007 T-binário motor