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Chapter 3. Transforms 变换

Chapter 3. Transforms 变换. 金小刚 Email: jin@cad.zju.edu.cn 浙江大学 CAD&CG 国家重点实验室，教 I 三楼. 变换可以用来改变物体的位置、形状；对物体、光源和摄像机设置动画等 用齐次坐标， 4X4 矩阵来表示 大部分图形 API ( A pplication P rogramming I nterface) 包含矩阵操作. Affine transform : 平行线变换到平行线，但不保持长度和角度. 基本变换. Translation transform Rotation transform

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Chapter 3. Transforms 变换

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  1. Chapter 3. Transforms变换 金小刚 Email: jin@cad.zju.edu.cn 浙江大学CAD&CG国家重点实验室，教I 三楼

  2. 变换可以用来改变物体的位置、形状；对物体、光源和摄像机设置动画等变换可以用来改变物体的位置、形状；对物体、光源和摄像机设置动画等 • 用齐次坐标，4X4矩阵来表示 • 大部分图形API (Application Programming Interface)包含矩阵操作

  3. Affine transform: 平行线变换到平行线，但不保持长度和角度 基本变换 • Translation transform • Rotation transform • Scaling transform • Shearing transform • Transform concatenation • Rigid body transform • Normal transform

  4. 平移变换 y y x x

  5. 旋转变换

  6. 性质1：迹与旋转轴无关，都为 • 性质2：所有旋转矩阵为正交阵，多个旋转矩阵相乘仍为正交阵。

  7. 比例缩放变换 Example:Scaling in a certain direction 假设沿正交、右手系的矢量fx ,fy ,fz进行比例变换,则首先构造矩阵 最后的变换为

  8. 错切变换 • 六个基本错切矩阵：Hxy(s), Hxz(s), Hyx(s), Hyz(s), Hzx(s), Hzy(s)。第一个下标表示改变的坐标第二个下标表示实施错切的坐标

  9. z z s Hxz(s) 1 1 x x 1 1 由于|H|=1, 故错切变换是一个保体积的变换

  10. Concatenation of Transforms • 因矩阵相乘是不可交换的，所以矩阵的串连是与次序有关的 • 矩阵串连的好处：节约计算量，提高效率 • 复合矩阵为：C=TRS (对于column-major) 注：对于row-major，复合矩阵为C=SRT

  11. 刚体变换 • 只有物体的位置（平移变换）和朝向（旋转变换）发生改变，而形状不变，得到的变换称为刚体变换 • 特点：保持长度和角度

  12. Normal Transform(法向变换) • 几何变换矩阵不能直接用于变换法向！ • 假设变换几何的矩阵为M，则用于变换法向的矩阵为N＝(M-1)T y y y incorrect correct polygon normal x x x 沿x方向比例缩放0.5

  13. 如果已知矩阵是正交的（只有旋转），则不需要计算机矩阵的逆：N＝(M-1)T＝M如果已知矩阵是正交的（只有旋转），则不需要计算机矩阵的逆：N＝(M-1)T＝M • 平移不影响法向 • 若是刚体变换（保长的），采用法向变换的优点是可以避免法向的重新单位化 • 什么时候应用？> 如果三角形的顶点包含法向信息，则必须应用法向变换。> 若法向是通过计算三角形边的叉积得到，则不需要。

  14. 逆矩阵的计算 • 如果矩阵由一个或多个简单变换复合而成，而且已知参数，则逆矩阵可通过“逆参数”和矩阵相乘次序来得到。例子：M=T(t)R(Ø)，则M-1= R(-Ø)T(-t) • 如果矩阵已知是正交的，则M-1 ＝MT • 如果未知任何信息：伴随矩阵法、Cramer法、LU分解法、Gauss消去法 • Cramer法和伴随矩阵法具有较少的“if”分叉，应优先选用。在现代的体系结构中， “if”测试最好避免

  15. 特殊矩阵变换和操作 • 实时图形中非常重要的矩阵变换和操作1。Euler变换2。从一矩阵中抽取基本变换3。绕任意轴的旋转

  16. Euler变换 • Euler变换是一种直观的使一个物体（或摄像机）朝向一指定方向的有效方法。 • 其来源：瑞士大数学家Leonard Euler • 缺省视域方向：视线为－z轴，头朝＋y轴 • Euler变换是三个矩阵的相乘 • E为一正交阵，其逆矩阵

  17. 摇头 “No” y head 左右摇晃身体 roll 点头 pitch -z x Euler变换：Head，Pitch and Roll 其它命名方式：x-roll, y-roll, z-roll。在飞行仿真中，采用yaw而非head

  18. Gimbal lock现象：当一个自由度丧失时。 • 当 时，矩阵只依赖一个角（r+h）

  19. 从Euler变换获取参数 • 从一正交矩阵反求Euler参数 • 把上式展开，得到

  20. 由于sin p= f21 , f01/f11= - tan r, f20/f22= -tan h • 故三个欧拉参数的值为 • h = atan2 (-f20, f22) • p = arsin(f21) • r = atan2(-f01,f11)

  21. 特殊情况处理 • 当cos p = 0时，f01=f11=0，此时r = atan2(-f01,f11)无解。因cos p = 0时，故sin p = ±1, 可任意设定 h=0, 再得到r = atan2(f10, f00) • 由于p的值域为[-900,900]，如果p的值不在这个范围，原始参数无法求得。故求得的h、p、r不是唯一的。

  22. 矩阵分解 应用需求： • 获取比例缩放因子 • 对于特殊系统，获取基本变换（如VRML采用Transform节点，不支持任意4X4矩阵） • 决定一个变换是否刚体变换 • 当只有矩阵信息时，动画中关键帧插值问题 • 从一矩阵中剔除错切部分 平移获取很容易，rotation, scaling, shears获取较复杂

  23. 绕任意轴旋转 • 绕任意单位轴r旋转角度α是一个很有用的操作 • 思想: (1).由r构造一正交坐标系 (2).变换坐标系，使得r与x轴重合 (3).绕x轴旋转 (4).变换回去 y y y r r s M MT s s r x x x t Rx(α) z z z t t

  24. 正交坐标系的构造 • 数值稳定的方法：先找到r中绝对值最小的坐标分量，然后把其设置为0，然后设置

  25. 由（r, s, t)构造矩阵M，该矩阵M把r变换为x轴， s变换为y轴， t变换为z轴。 • 故最后的变换为 • 含义：先把r变换为x轴，然后绕x轴旋转，最后用M的逆矩阵变换回去。注：这里M-1=MT

  26. Goldman提出的方法 • 参考：Goldman, Ronald, “Matrices and Transformations ”, in Graphics Gems, 1990, pp.472-475

  27. 四元数（Quaternion） • 最早由Sir William Rowan Hamilton于1843年提出，从复数推广到四维空间 • 1985年，Shoemake把四元数引入计算机图形学 • 在表示旋转和朝向方面，优于Euler角。具有表示紧凑，朝向插值稳定的优点

  28. 数学背景 • 定义： q=(qv, qw)=(iqx+jqy+kqz+qw)= qv+qw , qv= (iqx+jqy+kqz)=(qx, qy, qz) , i2 = j2 = k2 =-1, jk=-kj=i, ki=-ik=j, ij=-ji=k qw为实部， qv称为虚部，i, j, k称为虚轴

  29. 四元数乘： qr =(iqx+jqy+kqz+qw) (irx+jry+krz+rw) = i (qyrz-qzry+rwqx+qwrx) + j (qzrx-qxrz+rwqy+qwry) + k (qxry-qyrx+rwqz+qwrz) + qwrw-qxrx-qyry-qzrz =(qv× rv+rw qv+ qw rv, qw rw- qv. rv) • 四元数加： q + r = (qv, qw) + (rv, rw) = (qv+rv , qw+rw)

  30. 四元数共轭：q*= (qv, qw)*= (-qv, qw) • 四元数范数： n(q)= ||q2|| =q q*=q* q = qv .qv+q2w=q2x+q2y+q2z+q2w • 四元数的逆：q－1= q* / ||q2|| • 共轭法则: (q*)*= q; (q+r)*= q*+ r* ; (qr)*= r*q* • 范数法则: n(q) = n(q*); n(qr) = n(q) n(r)

  31. 线性性：p(sq+tr) = s pq+ tpr (sp+tq)r = s pr+ tqr • 交换率：p(qr)=(pq)r • 单位四元数： n(q) =1, 可写成 q= (sinøuq, cosø)=sinøuq+cosø; 其中||uq||=1 • 对于单位复数，有 cosø+ isinø = eiø 对于单位四元数有：q= sinøuq+ cosø= eøuq • 对数运算：log(q)=log(eøuq)=øuq • 指数运算：qt=(sinøuq, cosø)t=eøtuq =sin(øt)uq+ cos(øt)

  32. 四元数变换 • 单位四元数的最重要性质：能表示任意旋转，而且表示简单、紧凑 • 给定矢量p=(px, py , pz , pw)T和单位四元数 q= (sinøuq, cosø)，qpq-1把p绕单位轴uq旋转2ø角度 • q和-q表示相同的旋转 • q和r的复合旋转为rq uq ø ø

  33. 矩阵转换 • 把q转化为旋转矩阵，可得到( 设s=2/n(q) )： 对于单位四元数，上式简化为

  34. 旋转矩阵到四元数的转换 • 由Mq可得到 故若得到qw，则qx、qy、qz便可得。因为

  35. 故单位四元数为

  36. 单位四元数的球面线性插值 • 给定两个单位四元数q和r，计算其插值四元数 • 代数形式 • 更有用的形式Spherical Linear intERPolation (Slerp)

  37. 多个单位四元数的插值 • 目标：给定单位四元数q0, q1, … qn-1,计算其插值四元数 • 用Slerp直接推广，会导致关键帧处朝向的变化不连续 • 三次样条法: (1) 首先计算辅助四元数 (2) 然后用三次样条进行插值

  38. 从一个矢量旋转到另一矢量 • 给定两个单位矢量s和t，要把s变换到t • 该问题可很容易采用四元数来解决。 (1) 首先计算单位旋转轴u=(s×t)/|| s×t || (2) e=s.t=cos(2Ø), ||s×t||=sin(2Ø), 2Ø为s和t之间的夹角，则所对应的旋转四元数为q=(sinØu,cosØ),简化后可得

  39. 通过巧妙的技巧，对应的旋转矩阵简化为 由于没有开方和三角运算，计算效率高

  40. 顶点混合（Vertex Blending） • 假设一个数字角色的手臂用前臂和后臂来模拟，我们要对手臂设置动画。 • 若采用刚体变换设置动画，则关节处（肘）不像真实手臂。因为我们采用了两个分离的物体来模拟手臂，在关节处有重叠部分。 • 解决方法：Vertex Blending (其它称呼：Skinning, Enveloping, Skeleton-subspace Deformation) 采用一个物体模拟，关节处应是柔性的。

  41. 前臂2/3, 后臂1/3 folding (2/3,1/3) bones ＋ ＋ ＋ ＋ (1/3,2/3) 刚 体 simple skin 顶点混合

  42. 最简单方法：前臂和后臂仍单独设置动画，但关节处用一柔性的“skin”来连接。最简单方法：前臂和后臂仍单独设置动画，但关节处用一柔性的“skin”来连接。 • 柔性部分的一部分顶点由前臂的矩阵来变换，另一部分由后臂的矩阵来变换。即：一个三角形的顶点可以由不同的矩阵来变换，而不是一个矩阵。这种基本技术有时也称为“Stitching”。 • 进一步推广：一个顶点可以由几个不同的矩阵进行加权变换 • 实施方法：在物体上放置关节骨架，每个骨架按用户给定的权因子影响顶点。

  43. 整只手臂可以是 “柔性”的。所有的顶点可以由多个矩阵影响。整个多边形网格常称为骨架上的“skin”(外皮) vertex blending 例子

  44. 顶点混合的数学表示 • p为原始顶点，u(t)为变换后的顶点，n为影响p的关节数目 • Mi：把第i个关节骨架的初始坐标系变换到世界坐标系 • Bi(t)：第i个关节随时间变化的世界变换，通常是一系列矩阵的连乘 • wi:第i个关节骨架作用于p的权因子 vertex blending 例子

  45. 顶点混合可在CPU上实现。如果是瓶颈，则该操作应在图形硬件上实现，顶点混合可在CPU上实现。如果是瓶颈，则该操作应在图形硬件上实现， • 有些图形硬件支持顶点混合。也可以用可编程图形硬件（Vertex Shader）实现。 • DirectX 8 允许两种流水线来实现Skinning: (1) Fixed function path (2) Vertex shader

  46. Fixed function path: 最多允许256个矩阵，每个顶点可最多用其中4个矩阵（在实用中已足够）。该系统称为“indexed vertex blending”。 • 缺点：Fixed function path 不能与Vertex shader联合使用，因为 Vertex shader 是另一个流水线的一部分。 • 采用Vertex shader实现vertex blending 的好处： (1). 硬件加速 (2). 可与per-pixel lighting 结合

  47. Vertex Blending的一些其它问题 • 如果需要对皮肤模型进行精确的碰撞检测，则为了获取变换后的顶点，顶点混合不得不在CPU内进行（否则需要在GPU和CPU之间进行顶点传输）。 • 顶点混合可能出现的问题：不应该的折叠、扭曲，自交

  48. 投影（Projections） • 到目前为止，齐次变换中的w分量还没有用到 • 透视投影矩阵（Perspective projection matrices）将用到该分量 • 我们采用右手坐标系，视线方向为-z注：DirectX 采用的是左手系

  49. 正交投影(Orthographic Projection) • 特征：平行线投影后仍为平行线 • 正投影到平面z＝0的投影矩阵为

  50. 实现正交投影更常用的矩阵：通过六元组来表达。(l, r, b, t, n, f)：Left, Right, Bottom, Top, Near, Far planes. • 该矩阵把由这些平面构成的Axis-Aligned Bounding Box (AABB)变换为与轴对齐的立方体 t y y y l r n T(t) S(s) b x x x z z z

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