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Das RSA-Verfahren

Das RSA-Verfahren. Klaus Becker 2014. Das RSA-Verfahren. An: b@ob.de Von: a@lice.de Hallo Bob!. Teil 1. Experimente mit CrypTool. Experimente mit CrypTool.

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Das RSA-Verfahren

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Presentation Transcript

  1. Das RSA-Verfahren Klaus Becker 2014

  2. Das RSA-Verfahren An: b@ob.de Von: a@lice.de Hallo Bob!

  3. Teil 1 Experimente mit CrypTool

  4. Experimente mit CrypTool Einen ersten Eindruck vom RSA-Verfahren kann man sich mit dem Software-Werkzeug CrypTool verschaffen. Dieses Werkzeug macht die wichtigsten Schritte des RSA-Verfahrens transparent. Experimente mit CrypTool lassen direkt erkennen, dass das RSA-Verfahren auf Berechnungen mit Zahlen beruht. Die Experimente führen aber noch nicht dazu, dass man versteht, warum gerade dieses Verfahren heutzutage benutzt wird. Hierzu sind vertiefende Untersuchungen erforderlich.

  5. Experimente mit CrypTool Mit den Menüpunkten [Einzelverfahren][RSA-Kryptosystem][RSA-Demo...] kommst du in Bereich, in dem das RSA-Verfahren durchgespielt werden kann. Gib zunächst zwei verschiedene Primzahlen in die dafür vorgesehenen Felder ein. Mit [Parameter aktualisieren] werden dann die beiden Schlüssel erzeugt.

  6. Experimente mit CrypTool Wähle jetzt [Optionen für Alphabet und Zahlensystem...] und lege die vom Programm vorgesehenen Optionen fest. Am besten übernimmst du zunächst die Einstellungen in der Abbildung (beachte das Leerzeichen im Alphabet).

  7. Experimente mit CrypTool Jetzt kannst du Texte (mit Zeichen aus dem voreingestellten Alphabet) verschlüsseln und die Verschlüsselung auch wieder entschlüsseln.

  8. Vorbemerkung Das RSA-Verfahren basiert auf modularem Rechnen. Um die Details des RSA-Verfahrens zu verstehen, muss man modulares Rechnen verstehen und einige zahlentheoretische Zusammenhänge kennen. Im Unterricht kann man die mathematischen Grundlagen vorab erarbeiten, oder – wie hier – bei der Entwicklung des RSA-Verfahres je nach Bedarf bereitstellen.

  9. Teil 2 Verschlüsselung mit modularer Addition

  10. Vorbemerkung Als Vorstufe zum RSA-Verfahren betrachten wir hier ein Verfahren, das auf modularer Addition beruht und bereits viele Ähnlichkeiten zum RSA-Verfahren aufweist. Der Vorteil dieser Vorgehensweise besteht darin, dass wir an das sehr einfache Caesar-Verfahren anknüpfen können und durch Verallgemeinerung schrittweise zu den zahlenbasierten Verfahren gelangen können.

  11. Den Anfang macht Caesar A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Schlüssel: D Quelltext: Geheimtext: SALVEASTERIX VDOYHDVWHULA

  12. Caesar-Verfahren mit Zahlen Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen A → 00B → 01...Z → 25 A,S,T,E,R,I,X 00,18,19,04,17,08,23 Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (00 + 3) % 26 = 03(18 + 3) % 26 = 21...(23 + 3) % 26 = 00 00,18,19,04,17,08,23 03,21,22,07,20,11,00 Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (03 + 23) % 26 = 00(21 + 23) % 26 = 18...(00 + 23) % 26 = 23 03,21,22,07,20,11,00 00,18,19,04,17,08,23 Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen A → 00B → 01...Z → 25 00,18,19,04,17,08,23 A,S,T,E,R,I,X

  13. Caesar-Variation: zusätzliche Zeichen Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen ' ' → 00'A' → 01...'Z' → 26 N,A,C,H, ,R,O,M 14,01,03,08,00,18,15,13 Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (14 + 9) % 27 = 23(01 + 9) % 27 = 10...(13 + 9) % 27 = 22 14,01,03,08,00,18,15,13 23,10,12,17,09,00,24,22 Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (23 + 18) % 27 = 14(10 + 18) % 27 = 01...(22 + 18) % 27 = 13 23,10,12,17,09,00,24,22 14,01,03,08,00,18,15,13 Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00'A' → 01...'Z' → 26 14,01,03,08,00,18,15,13 N,A,C,H, ,R,O,M

  14. Caesar-Variation: verallgeinerte Addition Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen ' ' → 00'A' → 01...'Z' → 26 D,A, ,I,S,T, ,E,S 04,01,00,09,19,20,00,05,19 Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen(e, n) = (18, 30) (04 + 18) % 30 = 22(01 + 18) % 30 = 19...(19 + 18) % 30 = 07 04,01,00,09,19,20,00,05,19 22,19,18,27,07,08,18,23,07 Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen(d, n) = (12, 30) (22 + 12) % 30 = 04(19 + 12) % 30 = 01...(07 + 12) % 30 = 19 22,19,18,27,07,08,18,23,07 04,01,00,09,19,20,00,05,19 Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00'A' → 01...'Z' → 26 04,01,00,09,19,20,00,05,19 D,A, ,I,S,T, ,E,S

  15. Caesar-Variation: Zeichenblöcke Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen ' ' → 00'A' → 01...'Z' → 26 HAL,LO 80112, 121500 Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen(e, n) = (112233, 321321) (80112 + 112233) % 321321 = 192345 (121500 + 112233) % 321321 = 233733 80112, 121500 192345, 233733 Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen(d, n) = (209088, 321321) (192345 + 209088) % 321321 = 192345 (233733 + 209088) % 321321 = 121500 192345, 233733 80112, 121500 Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00'A' → 01...'Z' → 26 80112, 121500 HAL,LO

  16. Verfahren mit modularer Addition Schlüsselerzeugung: Wähle n größer als die maximale Codezahl. Wähle e mit e <n. Bestimme d mit e+d=n. A(lice) B(ob) öffentl. Schlüssel von B(ob) privat. Schlüssel von B(ob) (e, n) (d, n) "HALLO ..." "HALLO ..." Codierung f(x, (e,n)) = [x+e]%n f*(y, (d,n)) = [y+d]%n Codierung x0, x1, x2, ... y0, y1, y2, ... x0, x1, x2, ... Klartext Geheimtext Klartext Entschlüsselungsfunktion Verschlüsselungsfunktion Schritt 1: Wahl der Blocklänge und Zerlegung des Textes Die Blocklänge legt die Länge der Texteinheiten fest, die mit Zahlen codiert werden und anschließend verschlüsselt werden. Je größer die Blocklänge, desto mehr Zahlen benötigt man zur Codierung der Texteinheiten. Bei einer Blocklänge 3 wird beispielweise der Text 'CAESAR' wie folgt in Texteinheiten zerlegt: 'CAE','SAR' Bei einer Zerlegung eines Textes kann es vorkommen, dass eine Texteinheit übrig bleibt, die nicht mehr die gesamte Blocklänge hat. In diesem Fall füllen wir den Text mit zusätzlichen Zeichen (hier Leerzeichen) auf: 'HAL','LO '

  17. Verfahren mit modularer Addition Schlüsselerzeugung: Wähle n größer als die maximale Codezahl. Wähle e mit e <n. Bestimme d mit e+d=n. A(lice) B(ob) öffentl. Schlüssel von B(ob) privat. Schlüssel von B(ob) (e, n) (d, n) "HALLO ..." "HALLO ..." Codierung f(x, (e,n)) = [x+e]%n f*(y, (d,n)) = [y+d]%n Codierung x0, x1, x2, ... y0, y1, y2, ... x0, x1, x2, ... Klartext Geheimtext Klartext Entschlüsselungsfunktion Verschlüsselungsfunktion Schritt 2: Wahl der Codierung Die Codierung ordnet jeder Texteinheit eine natürliche Zahl zu. Die Zuordnung muss eindeutig sein, so dass eine Decodierung möglich ist. Codierung von Zeichenblöcken: ' ' -> 0000 ' A' -> 0001 ' B' -> 0002 ... ' Z' -> 0026 'A ' -> 0100 'AA' -> 0101 ... 'ZZ' -> 2626 Codierung von Zeichenblöcken: ' ' -> 000 ' A' -> 001 ' B' -> 002 ... ' Z' -> 026 'A ' -> 027 'AA' -> 028 ... 'ZZ' -> 728 Codierung des Alphabets: ' ' -> 00 'A' -> 01 ... 'Z' -> 26

  18. Verfahren mit modularer Addition Schlüsselerzeugung: Wähle n größer als die maximale Codezahl. Wähle e mit e <n. Bestimme d mit e+d=n. A(lice) B(ob) öffentl. Schlüssel von B(ob) privat. Schlüssel von B(ob) (e, n) (d, n) "HALLO ..." "HALLO ..." Codierung f(x, (e,n)) = [x+e]%n f*(y, (d,n)) = [y+d]%n Codierung x0, x1, x2, ... y0, y1, y2, ... x0, x1, x2, ... Klartext Geheimtext Klartext Entschlüsselungsfunktion Verschlüsselungsfunktion Schritt 3: Wahl des Moduls und der Verschiebezahl Die Modulzahl n ist eine beliebige natürliche Zahl. Sie muss nur so gewählt werden, dass sie größer als die größtmögliche Codezahl einer Texteinheit ist. Die zu wählende Größe hängt demnach von der Blocklänge und der gewählten Codierung ab. Die Verschiebezahl e zum Verschlüsseln (e-ncrypt) ist eine beliebige natürliche Zahl, die kleiner als die Modulzahl n ist. Beide zusammen - Verschiebezahl und Modul - werden zur Verschlüsselung benötigt. Das Zahlenpaar (e, n) bildet den Schlüssel zur Verschlüsselung eines Textes. Dieser Schlüssel wird auch öffentlicher Schlüssel genannt. Schritt 4: Bestimmung des Gegenschlüssels Die Verschiebezahl d zum Entschlüsseln (d-ecrypt) ergibt sich direkt aus e und n: Es muss e+d=m gelten. Also ist d = n - e. Das Zahlenpaar (d, n) bildet den Schlüssel zur Entschlüsselung eines Textes. Dieser Schlüssel wird auch privater Schlüssel genannt.

  19. Verfahren mit modularer Addition Schlüsselerzeugung: Wähle n größer als die maximale Codezahl. Wähle e mit e <n. Bestimme d mit e+d=n. A(lice) B(ob) öffentl. Schlüssel von B(ob) privat. Schlüssel von B(ob) (e, n) (d, n) "HALLO ..." "HALLO ..." Codierung f(x, (e,n)) = [x+e]%n f*(y, (d,n)) = [y+d]%n Codierung x0, x1, x2, ... y0, y1, y2, ... x0, x1, x2, ... Klartext Geheimtext Klartext Entschlüsselungsfunktion Verschlüsselungsfunktion Schritt 5: Verschlüsselung codierter Texte Zur Verschlüsselung eine Codezahl x benötigt man den öffentlichen Schlüssel (e, m). Die Verschlüsselung erfolgt hier durch modulare Addition: x -> [x + e]%n Schritt 6: Entschlüsselung codierter Texte Zur Entschlüsselung eine Codezahl y benötigt man den privaten Schlüssel (d, n). Die Entschlüsselung erfolgt analog zur Verschlüsselung: y -> [y + d]%n

  20. Übung Benutze unsere Standardcodierung mit Blocklänge 2. Wähle einen öffentlichen Schlüssel (wie z.B. (567, 2911)) und verschlüssele eine selbst gewählte (nicht zu lange) Nachricht mit dem oben beschriebenen Verfahren mit modularer Addition. Gib die Nachricht an deinen Nachbarn weiter. Teile ihm auch den benutzten öffentlichen Schlüssel mit. Dein Nachbar soll jetzt die Nachricht wieder entschlüsseln.

  21. Durchführung mit Python Aufgabe: Eine Implementierung nutzen Lade die Datei chiffriersystemModularesAddieren.py (siehe inf-schule) herunter. Diese Datei enthält eine ganze Reihe von Funktionen, die Teilaufgaben beim Verfahren mit modularer Addition übernehmen. Mit den Funktionen kannst du jetzt interaktiv das Verfahren mit modularer Addition durchspielen. Führe selbst weitere Tests durch. >>> abc = ' ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ' >>> block = 2 >>> oeffentlicherSchluessel = (2102, 3000) >>> privaterSchluessel = (898, 3000) >>> quelltext = 'ASTERIX' >>> quellcode = codierung(quelltext, block, abc) >>> quellcode [119, 2005, 1809, 2400] >>> geheimcode = verschluesselung(quellcode, oeffentlicherSchluessel) >>> geheimcode [2221, 1107, 911, 1502] >>> entschluesseltercode = verschluesselung(geheimcode, privaterSchluessel) >>> entschluesseltercode [119, 2005, 1809, 2400] >>> entschluesseltertext = decodierung(entschluesseltercode, block, abc) >>> entschluesseltertext 'ASTERIX'

  22. Durchführung mit Python Aufgabe : Eine Implementierung nutzen Alternativ kann man auch ein kleines Testprogramm wie das folgende erstellen: from chiffriersystemModulareAddition import * # Vorgaben abc = ' ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ' block = 2 oeffentlicherSchluessel = (2102, 3000) privaterSchluessel = (898, 3000) # Verarbeitung quelltext = 'COSINUS' quellcode = codierung(quelltext, block, abc) geheimcode = verschluesselung(quellcode, oeffentlicherSchluessel) entschluesseltercode = verschluesselung(geheimcode, privaterSchluessel) entschluesseltertext = decodierung(entschluesseltercode, block, abc) # Ausgaben print('Quelltext:') print(quelltext) print('Quellcode:') print(quellcode) print('Geheimcode:') print(geheimcode) print('entschlüsselter Code:') print(entschluesseltercode) print('entschlüsselter Text:') print(entschluesseltertext)

  23. Korrektheit Schlüsselerzeugung: Wähle n größer als die maximale Codezahl. Wähle e mit e <n. Bestimme d mit e+d=n. A(lice) B(ob) öffentl. Schlüssel von B(ob) privat. Schlüssel von B(ob) (e, n) (d, n) "HALLO ..." "HALLO ..." Codierung f(x, (e,n)) = [x+e]%n f*(y, (d,n)) = [y+d]%n Codierung x0, x1, x2, ... y0, y1, y2, ... x0, x1, x2, ... Klartext Geheimtext Klartext Entschlüsselungsfunktion Verschlüsselungsfunktion Korrektheit: Die Entschlüsselung macht die Verschlüsselung rückgängig: x → [x + e]%n → [[x + e]%n + d]%n = [x + [e + d]%n]%n = [x]%n = x

  24. Sicherheit Schlüsselerzeugung: Wähle n größer als die maximale Codezahl. Wähle e mit e <n. Bestimme d mit e+d=n. A(lice) B(ob) öffentl. Schlüssel von B(ob) privat. Schlüssel von B(ob) (e, n) (d, n) "HALLO ..." "HALLO ..." Codierung f(x, (e,n)) = [x+e]%n f*(y, (d,n)) = [y+d]%n Codierung x0, x1, x2, ... y0, y1, y2, ... x0, x1, x2, ... Klartext Geheimtext Klartext Entschlüsselungsfunktion Verschlüsselungsfunktion Sicherheit: Das additive Chiffrierverfahren ist nicht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel sofort den privaten Schlüssel bestimmen kann.

  25. Teil 3 Exkurs - Modulares Rechnen

  26. Uhrenaddition Modulare Addition kennt man aus dem täglichen Leben. Aufgabe: Ergänze die in der Tabelle fehlenden Angaben zur Uhrzeit (in MOZ / Moskauer Zeit). Wie rechnet man mit Uhrzeiten? Wie kann man z.B. direkt aus 17 und 149 zum Ergebnis 22 gelangen?

  27. Modulare Gleichheit Verallgemeinerte Uhrzeiten Bei Beginn der Reise in Moskau ist es 17 Uhr. Nach 149 Stunden wird das Ziel Wladiwostok erreicht. Es ist jetzt (17+149) Uhr bzw. 166 Uhr. Das entspricht - auch im fernen Sibirien - 22 Uhr. Man kann diese Uhrzeit leicht rechnerisch ermitteln indem man den Rest bei der Division durch 24 ermittelt: 166 % 24 = 22 Uhrzeiten werden eigentlich nur mit den Zahlen 0, 1, ..., 23 angegeben. Im Alltag lässt man auch manchmal die Zahl 24 zu. 24 Uhr ist dasselbe wie 0 Uhr. Die 24 ist - bei Uhrzeitangaben - also gleich zu behandeln wie die 0. 31 Uhr und 55 Uhr (als verallgemeinerte Uhrzeiten) würden für dieselben Uhrzeiten stehen, weil der zyklisch sich drehende und immer wieder bei 0 neu beginnende Uhrzeiger dieselbe Stelle anzeigen würde. Rechnerisch zeigt sich das, indem beide Zahlen 31 und 55 denselben Rest bei der Division durch 24 hinterlassen. Def.: Vorgegeben sei eine natürliche Zahl n. Zwei natürliche Zahlen a und b heißen gleich modulo n bzw. kongruent modulo n genau dann, wenn sie beide den gleichen Rest bei der Division durch n erzeugen. Beispiel: 31 und 55 sind gleich modulo 24, denn es gilt: [31]%24 = 7 = [55]%24

  28. Modulare Addition Aufgabe: (a) Führe die Rechnung für weitere Städte durch. (b) Darf man für EKATERINBURG auch so rechen: [17 + 26]%24 = [17]%24 + [26]%24 = ... (c) Geht das auch für NOVOSIBIRSK? Was müsste man hier noch tun? [17 + 46]%24 = [17]%24 + [46]%24 = ...

  29. Modulare Addition Vorgegeben sei eine natürliche Zahl n. Zwei natürliche Zahlen a und b werden modulo n addiert, indem man sie addiert und anschließend von der Summe den Rest bei der Division durch n berechnet. Das Ergebnis ist also [a+b]%n. Beachte, dass das Ergebnis bei der Addition modulo n immer eine Zahl kleiner als n ist. Aufgabe: Erstelle selbst eine Verknüpfungstafel für die Addition modulo n = 5. Rechengesetz (Modulare Gleichheit bei der Addition): Aus [a1]%n = [b1]%n und [a2]%n = [b2]%n folgt [a1+a2]%n = [b1+b2]%n. Das erste Rechengesetz besagt, dass Zahlen, die modulo n gleich sind, auch zu gleichen Additionsergebnissen modulo n führen. Rechengesetz (Addition und iterierte Modulberechnung): [a+b]%n = [[a]%n + [b]%n]%n Das zweite Rechengesetz erlaubt es, bei der Addition modulo n zuerst die Summanden zu verkleinern und dann erst die Addition durchzuführen.

  30. Modulare Multiplikation Vorgegeben sei eine natürliche Zahl n. Zwei natürliche Zahlen a und b werden modulo n multipliziert, indem man sie multipliziert und anschließend vom Produkt den Rest bei der Division durch n berechnet. Das Ergebnis ist also [a*b]%n. Beachte, dass das Ergebnis bei der Multiplikation modulo n immer eine Zahl kleiner als n ist. Aufgabe: Erstelle selbst eine Verknüpfungstafel für die Multiplikation modulo n = 8. Rechengesetz (Modulare Gleichheit bei der Multiplikation): Aus [a1]%n = [b1]%n und [a2]%n = [b2]%n folgt [a1*a2]%n = [b1*b2]%n. Das erste Rechengesetz besagt, dass Zahlen, die modulo n gleich sind, auch zu gleichen Multiplikationsergebnissen modulo n führen. Rechengesetz (Multiplikation und iterierte Modulberechnung): [a*b]%n = [[a]%n * [b]%n]%n Das zweite Rechengesetz erlaubt es, bei der Multiplikation modulo n zuerst die Faktoren zu verkleinern und dann erst die Multiplikation durchzuführen.

  31. Modulare Potenz Vorgegeben sei eine natürliche Zahl n. Eine natürliche Zahl a wird mit einer natürlichen Zahl x modulo n potenziert, indem man sie mit x potenziert und anschließend von der Potenz den Rest bei der Division durch n berechnet. Das Ergebnis ist also [ax]%n. Beachte, dass das Ergebnis bei der Potenzbildung modulo n immer eine Zahl kleiner als n ist. Aufgabe: (a) Berechne [34]%5. (b) Berechne [64]%5. Berechne auch [([([([6]%5)*6]%5)*6]%5)*6]%5. Was stellst du fest? (c) Welche Vorteile ergeben sich bei großen Zahlen, wenn man [ax]%n wie folgt berechnet: [(...([([a]%n)*a]%n)...)*a]%n ? Rechengesetz (Modulare Gleichheit bei der Potenzbildung): Aus [a]%n = [b]%n folgt [ak]%n = [bk]%n. Das erste Rechengesetz besagt, dass Zahlen, die modulo n gleich sind, auch zu gleichen Potenzierungsergebnissen modulo n führen. Rechengesetz (Potenzbildung und iterierte Potenzbildung): [ak]%n = [[a%n]k]%n = [(...([([a]%n)*a]%n)...)*a]%n Das zweite Rechengesetz erlaubt es, bei der Potenzbildung modulo n zuerst die Basis zu verkleinern und dann erst die Multiplikation durchzuführen.

  32. Aufgaben Bestätige die Rechengesetze für modulare Addition und Multiplikation anhand von Beispielen. Du kannst Python als Taschenrechner benutzen. >>> n = 14 >>> a1 = 16 >>> b1 = 19 >>> a2 = 44 >>> b2 = 75 >>> a1%n 2 >>> a2%n 2 >>> b1%n 5 >>> b2%n 5 >>> (a1+b1)%n ...

  33. Teil 4 Verschlüsselung mit modularer Multiplikation

  34. Vorbemerkung Statt modularer Addition verwenden wir jetzt modulare Multiplikation als Grundlage eines Verschlüsselungsverfahres. Dieses Verfahen kann ebenfalls als Vorstufe zum RSA-Verfahren angesehen werden. Wir werden hier sehen, wie die Sicherheit eines Verfahrens davon abhängt, ob man über schnelle Algorithmen für bestimmte Problemstellungen verfügt.

  35. A(lice) A(lice) B(ob) B(ob) öffentl. Schlüssel von B(ob) öffentl. Schlüssel von B(ob) privat. Schlüssel von B(ob) privat. Schlüssel von B(ob) (e, n) (e, n) (d, n) (d, n) "HALLO ..." "HALLO ..." "HALLO ..." "HALLO ..." Codierung Codierung f(x, (e,n)) = [x*e]%n f(x, (e,n)) = [x+e]%n f*(y, (d,n)) = [y*d]%n f*(y, (d,n)) = [y+d]%n Codierung Codierung x0, x1, x2, ... x0, x1, x2, ... y0, y1, y2, ... y0, y1, y2, ... x0, x1, x2, ... x0, x1, x2, ... Klartext Klartext Geheimtext Geheimtext Klartext Klartext Entschlüsselungsfunktion Entschlüsselungsfunktion Verschlüsselungsfunktion Verschlüsselungsfunktion Multiplikation statt Addition

  36. Statt Addition ... Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen ' ' → 00'A' → 01...'Z' → 26 N,I,X, ,L,O,S 14,09,24,00,12,15,19 Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen(e, n) = (7, 30) (14 + 7) % 30 = 21(09 + 7) % 30 = 16...(19 + 7) % 30 = 26 14,09,24,00,12,15,19 21,16,01,07,19,22,26 Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen(d, n) = (23, 30) (21 + 23) % 30 = 14(16 + 23) % 30 = 09...(26 + 23) % 30 = 19 21,16,01,07,19,22,26 14,09,24,00,12,15,19 Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen ' ' → 00 'A' → 01...'Z' → 26 14,09,24,00,12,15,19 N,I,X, ,L,O,S

  37. ... benutze Multiplikation! Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen ' ' → 00'A' → 01...'Z' → 26 N,I,X, ,L,O,S 14,09,24,00,12,15,19 Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen(e, n) = (7, 30) (14 * 7) % 30 = 08(09 * 7) % 30 = 03...(19 * 7) % 30 = 13 14,09,24,00,12,15,19 08,03,18,00,24,15,13 Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen(d, n) = (…, 30) (08 * d) % 30 = 14(03 * d) % 30 = 09...(13 * d) % 30 = 19 08,03,18,00,24,15,13 14,09,24,00,12,15,19 Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen ' ' → 00 'A' → 01...'Z' → 26 14,09,24,00,12,15,19 N,I,X, ,L,O,S

  38. ... benutze Multiplikation! Aufgabe: (a) Ermittle (durch Ausprobieren) die Zahl d, mit der man die Entschlüsselung hier völlig analog zur Verschlüsselung durchführen kann. (b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Zahl e (hier 7) zum Verschlüsseln, der Zahl d (hier ...) zum Entschlüsseln und der Modulzahl n (hier 30)? Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen(d, n) = (…, 30) (08 * d) % 30 = 14(03 * d) % 30 = 09...(13 * d) % 30 = 19 08,03,18,00,24,15,13 14,09,24,00,12,15,19 Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen ' ' → 00 'A' → 01...'Z' → 26 14,09,24,00,12,15,19 N,I,X, ,L,O,S

  39. Modulares Inverses Def.: Zwei natürliche Zahlen a und b heißen modular invers zueinander bezüglich n genau dann, wenn gilt: [a*b]%n = 1. Beispiel: [2*3]%5 = 1. Die beiden Zahlen 2 und 3 sind also modular invers zueinander bzgl. 5. Die Zahl 2 ist das modulare Inverse von 3 bzgl. des Moduls 5. Ebenso ist 3 das modulare Inverse von 2 bzgl. des Moduls 5. Aufgabe: (a) Betrachte den Fall n = 5. Bestimme zu a = 1, 2, 3, 4 jeweils das modulare Inverse bzgl. n. (b) Betrachte den Fall n = 8. Für welche der Zahlen a = 1, 2, ..., 7 kann man das modulare Inverse bzgl. n bestimmen? (c) Betrachte den Fall n = 15. Hast du bereits eine Vermutung, für welche der Zahlen a = 1, 2, ..., 14 man das modulare Inverse bzgl. n bestimmen kann?

  40. Existenz des modularen Inversen Satz (über die Existenz des modularen Inversen): Gegeben sei eine natürliche Zahl n. Das modulare Inverse zu einer Zahl a ungleich Null existiert genau dann, wenn a und n keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben - d.h., wenn ggT(a, n) = 1 gilt.

  41. Verfahren und seine Korrektheit Schlüsselerzeugung: Wähle n größer als die maximale Codezahl. Wähle e mit e <n. Bestimme d mit [e*d]%n = 1. A(lice) B(ob) öffentl. Schlüssel von B(ob) privat. Schlüssel von B(ob) (e, n) (d, n) "HALLO ..." "HALLO ..." Codierung f(x, (e,n)) = [x*e]%n f*(y, (d,n)) = [y*d]%n Codierung x0, x1, x2, ... y0, y1, y2, ... x0, x1, x2, ... Klartext Geheimtext Klartext Entschlüsselungsfunktion Verschlüsselungsfunktion Korrektheit: Die Entschlüsselung macht die Verschlüsselung rückgängig: x → [x * e]%n → [[x * e]%n * d]%n = [x * [e * d]%n]%n = [x * 1]%n = x Es muss hierzu folgende Schlüsselbedingung erfüllt sein: [e * d]%n = 1 d.h.: d ist modulares Inverses zu e bzgl. n.

  42. Durchführung mit Python Aufgabe: Eine Implementierung testen Lade die Datei chiffriersystemModularesMultiplizieren.py (siehe inf-schule) herunter. Teste das Chiffriersystem mit selbst gewählten Beispielen. Dokumentiere die Ergebnisse. from chiffriersystemModulareMultiplikation import * # Vorgaben abc = ' ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ' block = 1 oeffentlicherSchluessel = (7, 30) privaterSchluessel = (13, 30) # Verarbeitung quelltext = 'ASTERIX' quellcode = codierung(quelltext, block, abc) geheimcode = verschluesselung(quellcode, oeffentlicherSchluessel) entschluesseltercode = verschluesselung(geheimcode, privaterSchluessel) entschluesseltertext = decodierung(entschluesseltercode, block, abc) # Ausgaben print('Quelltext:') print(quelltext) print('Quellcode:') print(quellcode) print('Geheimcode:') print(geheimcode) print('entschlüsselter Code:') print(entschluesseltercode) print('entschlüsselter Text:') print(entschluesseltertext)

  43. Geheimcodes knacken Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen ' ' → 00'A' → 01...'Z' → 26 … Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel(e, n) = (16, 33) Entschlüsselung: privater Schlüssel(d, n) = (..., ...) 24, 12, 15, 29, 23, 12, 13 Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00 'A' → 01...'Z' → 26

  44. Geheimcodes knacken Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen ' ' → 00'A' → 01...'Z' → 26 … Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel(e, n) = (781, 2828) 1893, 236, 1973, 1292, 1077, 2028, 2431 Entschlüsselung: privater Schlüssel(d, n) = (..., ...) Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen ' ' → 00 'A' → 01...'Z' → 26

  45. Bestimmung des modularen Inversen Ein naiver Ansatz besteht darin, der Reihe nach alle Zahlen durchzuprobieren, bis man das gewünschte Ergebnis gefunden hat. Beispiel: e = 16; n = 33 [16*1]%33 = 16; [16*2]%33 = 32; ...; [16*31]%33 = 1 Diesen naiven Ansatz kann man auch leicht implementieren: def modInv(e, n): gefunden = False d = 1 while d <= n and not gefunden: if (e * d) % n == 1: gefunden = True else: d = d + 1 if d > n: d = -1 return d

  46. Bestimmung des modularen Inversen Aufgabe: Teste den Baustein modInv mit selbst gewählten Beispielen. Überprüfe auch die Richtigkeit der Ergebnisse. Aufgabe: (a) Teste den Baustein mit großen Zahlen. Bestimme hierzu das modulare Inverse von a = 775517959261225265313877628572204089387832653836742449 bzgl. des Moduls n = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000. (b) Bestimme zunächst mit dem Resultat aus (a) das modulare Inverse von b = 49 bzgl. des Moduls n = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000. Bestimme anschließend das gesuchte modulare Inverse mit dem vorgegebenen Baustein. Welches Problem tritt hier auf? Hast du eine Vermutung, warum das Problem auftritt.

  47. Bestimmung des modularen Inversen def modInvMitAusgaben(e, n): gefunden = False d = 1 while d <= n and not gefunden: if d % 10000000 == 0: print("Anzahl der Versuche: ", d) if (e * d) % n == 1: gefunden = True else: d = d + 1 if d > n: d = -1 return d >>> modInvMitAusgaben(49, 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000) Anzahl der Versuche: 10000000 Anzahl der Versuche: 20000000 Anzahl der Versuche: 30000000 ... für 10 Millionen Überprüfungen benötigt man mehr als 1 Sekunde!

  48. Bestimmung des modularen Inversen Beispiel: d = 49n = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000modInv(d, n) Um 10 000 000 (= 107) Zahlen durchzuprobieren, benötigt ein Rechner derzeit mehr als 1s. Da das erwartete Ergebnis 775517959261225265313877628572204089387832653836742449 eine 54-stellige Zahl ist, wird der Rechner eine Zeit benötigen, die in der Größenordnung von 1047s liegt. Dies sind mehr als 1039 Jahre. Bedenkt man, dass das Universum ein Alter von etwa 1010 Jahre hat, dann zeigt sich, wie ungeeignet das naive Vorgehen ist. Verwendbarkeit: Für größere Zahlen ist der naive Algorithmus zur Berechnung des modularen Inversen unbrauchbar. Für die gezeigten Zahlen benötigt ein Rechner länger, als das Universum alt ist.

  49. Vielfachsummensatz Ein besseres Verfahren zur Bestimmung des modularen Inversen basiert auf folgendem Zusammenhang ("Vielfachsummensatz", "Lemma von Bézout", "Lemma von Bachet"): Vielfachsummensatz: Für je zwei natürliche Zahlen a und b gibt es ganze Zahlen x und y mit ggT(a,b)=x*a+y*b. Beispiele: a = 3; b = 4: ggT(3, 4) = 1 = (-1)*3 + 1*4 a = 6; b = 9: ggT(6, 9) = 3 = (-1)*6 + 1 * 9 a = 41; b = 192: ggT(41, 192) = 1 = 89*41 + (-19)*192

  50. Erweiterter euklidischer Algorithmus Gegeben: a = 884; b = 320Gesucht: ggT(a, b) = x*a + y*b (1) 884 = 2*320 + 244→ 244 = 884 - 2*320 = (1*884 + 0*320) - 2*(1*320 + 0*884) = 1*884 - 2*320 (2) 320 = 1*244 + 76→ 76 = 320 - 1*244 = (0*884 + 1*320) - 1*(1*884 - 2*320)) = 3*320 - 1*884 (3) 244 = 3*76 + 16→ 16 = 244 - 3*76 = (1*884 - 2*320) - 3*(3*320 - 1*884) = 4*884 - 11*320 (4) 76 = 4*16 + 12→ 12 = 76 - 4*16 = (3*320 - 1*884) - 4*(4*884 - 11*320) = 47*320 - 17*884 (5) 16 = 1*12 + 4→ 4 = 16 - 1*12 = (4*884 - 11*320) - 1*(47*320 - 17*884) = 21*884 - 58*320 (6) 12 = 3*4 + 0 Ergebnis: ggT(884, 320) = 4= 21*884 + (- 58)*320

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