Lógica Proposicional

Lógica Proposicional

Lógica Proposicional • Até agora estudamos a Lógica de maneira informal. • A Lógica formal é o estudo de formas de argumento, isto é, regras abstratas de raciocínio comum em vários argumentos. • Iniciaremos nosso estudo formal com a Lógica Proposicional. Abordaremos a sintaxe e a semântica seguindo o seguinte roteiro de estudo:

Lógica Proposicional(Roteiro de Estudo) • Sintaxe: (Cap 3 - Livro do J. Nolt) • Linguagem da Lógica Proposicional • Formas de Argumento • Formalização • Regras de Inferência • Não-Hipotéticas • Hipotéticas • Derivadas • Sistema Formal • Semântica: (Cap 2 - Livro do Chang e Lee) • Semântica dos operadores e interpretação • Satisfatibilidade, validade e consequência lógica • Método de prova: Tabela Verdade • Formas Normais

Formas de Argumento Exemplos: 1 . Hoje é segunda-feira ou sexta-feira. . Hoje não é segunda-feira.  Hoje é sexta-feira. 2 . Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou. . Não foi Rembrandt quem a pintou. Michelângelo pintou a Mona Lisa. 3 . Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável. . Ele não é menor de 18 anos. Ele é um irresponsável.

Formas de Argumento • Os 3 argumentos são da seguinte forma: . P ou Q . Não é o caso que P  Q • As letras P e Q representam sentenças declarativas: (símbolos sentenciais). P pode representar: Hoje é segunda-feira. Q pode representar: Hoje é terça-feira.

Formas de Argumento • Com essa representação, a forma anterior representa o argumento 1 do exemplo. • Os argumentos 1, 2 e 3 são variantes gramaticais ou instâncias da forma: . P ou Q . Não é o caso que P  Q • Esta forma de argumento (ou regra) é conhecida como silogismo disjuntivo.

Formas de Argumento • A lógica trata de formas de argumentos consistindo de letras sentenciais combinadas com as expressões: • Não é o caso que • E • Ou • Se ... então • Se e somente se • Estas expressões são chamadas de operadores ou conectivos lógicos.

Formas de Argumento Conectivo Não é o caso que • Essa expressão prefixa uma sentença para formar uma nova sentença a qual chamamos a negação da primeira. Exemplo: A sentença 'Não é o caso que ele é fumante‘ é a negação da sentença 'Ele é fumante'. • Variações gramaticais da negação: Éle é não-fumante’, Éle não é fumante’ e Éle não fuma’.

Formas de Argumento Conectivo E • Uma composição constituindo-se de duas sentenças ligadas por 'e' chama-se conjunção. Exemplo: Chove e faz calor • A conjunção também pode ser expressa por palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo', ... ”Chove mas faz calor”

Formas de Argumento Conectivo Ou • Um enunciado composto consistindo de duas sentenças ligadas por 'ou' chama-se disjunção. Exemplo: Chove ou faz calor

Formas de Argumento Conectivo Se ... então • Enunciados do tipo se... então ... chamam-se condicionais. • O enunciado subsequente ao 'se' chama-se o antecedente e o subsequente ao 'então' chama-se o conseqüente. • Forma do condicional: Se antecedente então consequente Ex: ‘Se sinto frio então visto o casaco '.

Formas de Argumento Conectivo Se ... então • Se antecedente então consequente • O antecedente é condição suficiente para ocorrência do consequente • O consequente é condição necessária para ocorrência do antecedente • Exemplo: • Se é Juiz então é advogado • o fato de ser juiz é suficiente para ser advogado • para alguém ser juiz é necessário que seja advogado, mas não é o suficiente

Formas de Argumento Conectivo Se ... então • Exemplo: Que condições são necessárias para um aluno ser aprovado em lógica? • Se aluno foi aprovado então assistiu aula, é estudioso, fez muitos exercícios de lógica tem um bom método de estudo

Formas de Argumento Conectivo Se ... então • Exemplo: ‘O fogo é uma condição necessária para a fumaça´ ou ‘Se houver fumaça haverá fogo’ • Exemplo: ‘Se chover então molha a rua´ • é suficiente chover para você deduzir que a rua fica molhada • o fato da rua ficar molhada não garante que choveu

Formas de Argumento Conectivo Se ... então • Uma condicional também pode ser expressa na ordem inversa. ‘Visto o casaco se sentir frio‘ mantém a semântica de ‘ Se sentir frio, visto o casaco’ ‘ Se sentir frio então visto o casaco’

Formas de Argumento Conectivo Se ... então • Variações gramaticais da condicional: (P e Q sentenças quaisquer) • Se P então Q • P implicaem Q; P, logo Q • P só se Q; P somente se Q • P apenas se Q; P só quando Q • Q se P ; Q segue de P • P é condição suficiente para Q • Q é condição necessária para P

Formas de Argumento Conectivo Se ... então • Variações gramaticais da condicional: Exemplo: • Se chove então molha a rua. • Chover implica em molhar a rua. • Chove somente se molha a rua • Se chove, logo molha a rua • Molha a rua, se chove • Chover é condição suficiente para molhar a rua • Molhar a rua é condição necessária para chover

Formas de Argumento Conectivo Se ... então • Os advérbios só, somente e apenas tem significados diferentes dependendo do local em que aparecem na sentença. Representam uma implicação e o conseqüente sempre aparece depois do advérbio

Formas de Argumento Conectivo Se ... então • Exercício. Identifique antecedente e conseqüente das seguintes proposições: • Se a chuva continuar o rio vai transbordar. • Maria vende o carro, se comprar a casa. • Maria vende o carro só se comprar a casa. • Os abacates só estão maduros quando estão escuros e macios.

Formas de Argumento Conectivo Se e somente se • Os enunciados formados com a expressão ...se e somente se... são chamados bicondicionais. • Um bicondicional pode ser considerado como uma conjunção de dois condicionais.

Formas de Argumento Conectivo Se e somente se • P se e somente se Q • P se Q e P somente se Q • Se Q então P e P somente se Q • Se Q então P e Se P então Q • Se P então Q e Se Q então P

Formas de Argumento Conectivo Se e somente se Exemplo: 'T é um triângulo se e somente se T é um polígono de três lados.‘ Equivale: T é um triângulo se T é um polígono de três lados; e T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados. Que equivale: Se T é um polígono de três lados então T é um triângulo; e se T é um triângulo entãoT é um polígono de três lados.

Formas de Argumento Conectivo Se e somente se 'T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados'. equivale a: 'Se T é um triângulo então T é um polígono de 3 lados'.

Formas de Argumento Formalização • Para facilitar o reconhecimento e a comparação de formas de argumento, cada operador lógico é representado por um símbolo especial: • Não é o caso que: ~ ou ┐ • E: ^ ou & • Ou: v • Se ... então:  • Se e somente se: 

Formas de Argumento Formalização • O Silogismo disjuntivo é simbolizado: . P v Q . ~P  Q Ou assim, { P v Q , ~P} ├ Q

Formas de Argumento Formalização { P v Q , ~P} ├ Q o traço de asserção (afirmação), ├ , significa dizer que Q é deduzido (provado) apenas dos enunciados (premissas) P v Q e ~P.

Formas de Argumento Formalização • A linguagem consistindo das letras sentenciais e dos operadores lógicos juntamente com as regras a serem empregadas chama-se a Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional. • O objetivo fundamental do Cálculo /Lógica: Mostrar a Validade de certas formas de argumento.

Formas de Argumento Formalização • Uma forma de argumento é válida se todas as suas instâncias são válidas. • Uma forma de argumento é inválida se pelo menos uma de suas instâncias é inválida. • Uma instância de uma forma de argumento (um argumento particular) é válida somente quando é impossível que a sua conclusão seja falsa enquanto suas premissas são verdadeiras. Caso contrário ela é inválida.

Formas de Argumento Formalização • Mesmo para uma forma de argumento válida, nem todas as instâncias são corretas. Exemplo: O argumento da Monalisa (exemplo 2) tem a forma válida mas é incorreto ‘ Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou’ é uma premissa Falsa. • O Silogismo disjuntivo é uma forma de argumento válida, pois para qualquer instância ocorre que: se as suas premissas forem verdadeiras, a sua conclusão será verdadeira.

Formas de Argumento Formalização • Observe a seguinte forma de argumento: . Se P então Q. . Q.  P Ou: {P Q, Q} |-- P • Essa forma é inválida, pois a seguinte instância é notoriamente inválida: Se você está dançando na Lua então você está vivo. Você está vivo. Você está dançando na Lua.

Formas de Argumento Formalização • Exemplo de formalização: Simbolize o argumento que segue. A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até Sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira.

Solução: • 1[A proposta de auxílio está no correio]. 2[Se os árbitros a receberem até Sexta-feira, eles a analisarão]. Portanto, 3[eles a analisarão] porque 4[se a proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira]. (C,S,A) C: A proposta de auxílio está no correio. S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira. A: Os árbitros analisarão a proposta. {C, SA, CS} |-- A 1 + 2 + 4 3

Fórmula bem formada – wff – well-formed formula • Qualquer letra sentencial é uma wff. • Se Φ é uma wff, então ~Φ também o é. • Se Φ e Ψ são wff, então (Φ &Ψ), (Φ v Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) também o são.

Exercícios: 1) Quais das expressões seguintes são fórmulas (wff's) e quais não são: a) ~~~R b) (~R) c) PQ d) ~(PQ) e) ~(~P ^ ~Q)

Exercícios: 2) Formalize os seguintes argumentos usando as letras sentenciais indicadas. Utilize os indicadores de inferência para facilitar. a) Se Deus existe, então a vida tem significado. Deus existe. Portanto, a vida tem significado. c) Como hoje não é Quinta-feira, deve ser Sexta-feira. Hoje é Quinta-feira ou Sexta-feira. d) Hoje é um fim de semana se somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado.

Exercícios: d) "Hoje é quarta-feira ou sexta-feira. Mas não pode ser quarta-feira, pois o consultório do médico estava aberto esta manhã, e aquele consultório está sempre fechado às quartas. Portanto, hoje deve ser sexta-feira."

Exercícios: Q: hoje é quarta-feira X: hoje é sexta-feira C: consultório aberto {Q v X, (C ^(Q -> ~C))} |- X

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