Árvores AVL

1. ÁrvoresAVL Definição: Uma árvore binária vazia é sempre balanceada por altura. Se T não é vazia e TL e TR são suas sub-árvores da esquerda e direita, então T é balanceada por altura se: 1. TL e TR são balanceadas por altura; 2. |hl - hr|<=1, onde hl e hr são as alturas de TL e TR respectivamente. Adelson-Velskii e Landis em 1962 apresentaram uma árvore de busca binária que é balanceada com respeito a altura das sub-árvores. Uma característica importante deste tipo de árvore é que uma busca é realizada em O(lg(n)) se a árvore possui n nós.

2. INSERSÃO A inserção em árvores AVL e basicamente a mesma das árvores binárias com algumas considerações para manter o balanceamento da árvore. Uma breve explicação sobre o Algoritmo de Inserção Todo novo nodo inserido tem fator de balanceamento igual a zero. O algoritmo é recursivo (não necessariamente) isso, cria um caminho entre o nodo inserido e a raiz. O algoritmo sendo recursivo faz a verificação de balanceamento no desempilhar das suas chamadas. Se for inserido um nodo à esquerda o fator de balanceamento do nodo pai tornar-se-a -1. Se for inserido um nodo à direita o fator de balanceamento do nodo pai tornar-se-a 1.

3. Se um nodo for inserido à esquerda e o fator de balanceamento de seu avô for = -1 e seu pai também tiver fatbal = -1 é feita uma rotação simples à direita. Se um nodo for inserido à direita e o fator de balanceamento de seu avô for = 1 e seu pai também tiver fatbal = 1 é feita uma rotação simples à esquerda. Se um nodo for inserido à esquerda e o fator de balanceamento de seu avô for = -1 e seu pai tiver fatbal =1 à e feita uma rotação dupla para direita. Se um nodo for inserido à direita e o fator de balanceamento de seu avô for = 1 e seu pai tiver fatbal = -1 é feita um rotação dupla a esquerda. É necessário ressaltar que o balanceamento de uma sub-árvore TL pertencente a árvore T não implica que T também esteja balanceada pois, a ação de ajuste da sub-árvore TL pode ter desequilibrado a árvore T, então o algoritmo deve tratar esta situação, mas sendo o algoritmo recursivo este caso será verificado a cada desempilhar da chamada anterior e assim será garantido que a árvore T esteja balanceada. Ver Ver Ver Ver

4. Rotação Simples à Direita Nodo avô desequilibrado fatbal = -1 e fatbal do pai = -1 Avô => p Fatbal = 0 -1 Fatbal = 0 u Pai => u Fatbal = 0 -1 q p q Fatbal = 0 Fatbal = 0 Fatbal = 0 Ok árvore balanceada Volta

5. Rotação Simples à Esquerda Nodo avô desequilibrado fatbal=1 e pai fatbal=1. Fatbal = 0 1 p Avô => u u Fatbal = 0 1 Pai => p q q Fatbal = 0 OK árvore balanceada Volta

6. Rotação Dupla à Direita Avô desequilibrado fatbal= -1 e pai = 1 p p Fatbal = 0 -1 q Fatbal =0 Avô => Rotação simples à direita entre p e q. u q Pai => Fatbal = 1 0 u p Rotação simples para esquerda entre u e q. Fatbal =0 Fatbal =0 u q Fatbal = 0 OK árvore balanceada Volta

7. Avô Rotação Dupla à Esquerda Avô desequilibrado fatbal =1 e pai = -1 p Fatbal = 0 1 p Fatbal = 0 q Uma rotação simples para esquerda entre p e q u q Pai => Fatbal = -1 0 p u Uma rotação simples para direita entre u e q Fatbal = 0 Fatbal = 0 q u Fatbal = 0 OK árvore balanceada Volta