Более сложные задачи по комбинаторике

1. Более сложные задачи по комбинаторике Выполнила: учитель математики Дмитровской сош №1 им В.И. Кузнецова Кизьякова Елена Борисовна

2. Цели занятия: • рассмотреть более сложные задачи по комбинаторике на • Раскладки; • Разбиения; • Смещения и субфакториалы; • дать понятие о блужданиях и фигурных числах, рекуррентных отношениях.

3. Вспомним и повторим… Задача 1. На блюде лежат 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно взять один фрукт?

4. 1 минута на размышление... Время истекло

5. Вспомним и повторим… Задача 1. На блюде лежат 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно взять один фрукт? Ответ: 5 способами.

6. Какое правило использовали? Правило суммы: Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект B можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m + n способами.

7. Вспомним и повторим… Задача 2. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

8. 1 минута на размышление... Время истекло

9. Вспомним и повторим… Задача 2. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма? Ответ:

10. Какое правило использовали? правило произведения: Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А; В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.

11. Вспомним и повторим… Задача 3. У англичан принято давать ребенку несколько имен. Сколькими способами в Англии можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен?

12. 1 минута на размышление... Время истекло

13. Вспомним и повторим… Задача 3. У англичан принято давать ребенку несколько имен. Сколькими способами в Англии можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен? Ответ: 300 + 300*299 + 300*299*298 = 26 820 600

14. Вспомним и повторим… Задача 4. Сколькими способами можно разложить в два кармана девять монет различного достоинства?

15. 1 минута на размышление... Время истекло

16. Вспомним и повторим… Задача 4. Сколькими способами можно разложить в два кармана девять монет различного достоинства? Ответ: Каждая монета может попасть в один из двух карманов. Поэтому имеем 29 способов.

17. Использовали формулу: Размещения с повторениями из n элементов по k. (k мест нужно заполнить элементами одного из n видов, элементы могут повторяться)

18. Задача 5. В 2004 году в России давали автомобильные номера типа 77х451хо, в которых употреблялись цифры и кириллические буквы, имеющие аналог в латинском алфавите (таких 12). Первые два элемента – цифры(код региона), затем идет буква, затем трехзначное число и под конец еще две буквы. А) сколько таких автомобильных номеров могли выдать в России? Б) На Москву были выделены коды региона 77, 97 и 99. Сколько номеров могли выдать в Москве?

19. 3 минуты на размышление... Время истекло

20. Задача 5. В 2004 году в России давали автомобильные номера типа 77х451хо, в которых употреблялись цифры и кириллические буквы, имеющие аналог в латинском алфавите (таких 12). Первые два элемента – цифры(код региона), затем идет буква, затем трехзначное число и под конец еще две буквы. А) сколько таких автомобильных номеров могли выдать в России? Б) На Москву были выделены коды региона 77, 97 и 99. Сколько номеров могли выдать в Москве?

21. Ответы: а) 102*12*103*122 = 172 800 000 номеров. б) 3*12*103*122 = 5 184 000.

22. Размещения без повторений: Размещение на k местах некоторые из n элементов, причем элементы не могут повторяться.

23. Вспомним и повторим… Задача 6. В правление избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

24. 1 минута на размышление... Время истекло

25. Вспомним и повторим… Задача 6. В правление избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? Ответ:

26. Вспомним и повторим… Задача 7. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А если среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух королей, двух десяток и т.д.?

27. 1 минута на размышление... Время истекло

28. Вспомним и повторим… Задача 7. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А если среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух королей, двух десяток и т.д.? Ответ: 134 способов. Если среди карт не должно быть пар, то имеем размещения без повторений

29. Перестановки Размещения, которые отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов, называются перестановками из n элементов.

30. Вспомним и повторим… Задача 8. На званый вечер приглашены 5мужчин и 5 женщин. Напротив каждого места на круглый стол необходимо поставить табличку с именем того, кто будет на этом месте сидеть, но никакие два лица одного пола не должны сидеть рядом. Сколькими способами можно расставить таблички?

31. 1 минута на размышление... Время истекло

32. Вспомним и повторим… Ответ: Разделение мест на мужские и женские можно сделать двумя способами. После этого мужчин можно посадить на выбранные места способами. Столько же способов рассадить женщин. Всего получаем 2*(5!)2= 28 800 способов.

33. Перестановки с повторениями где .

34. Вспомним и повторим… Задача 9. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?

35. 1 минута на размышление... Время истекло

36. Вспомним и повторим… Ответ:

37. Сочетания без повторений Сочетания из n элементов по k - любой выбор k элементов из имеющихся n элементов. (когда не интересует порядок элементов, а интересует только состав).

38. Сочетания с повторениями

39. Вспомним и повторим… Задача 10. Сколько существует треугольников, у которых длина каждой стороны принимает одно из значений 4, 5, 6, 7?

40. 1 минута на размышление... Время истекло

41. Вспомним и повторим… Задача 10. Сколько существует треугольников, у которых длина каждой стороны принимает одно из значений 4, 5, 6, 7? Ответ: по формуле

42. Раскладки В задачах на раскладки элементы раскладываются в несколько «ящиков» и надо найти число способов это сделать.

43. Раскладки Задача 1. Шары и лузы. Скольким способами могут распределиться 15 перенумерованных бильярдных шаров в 6 лузах?

44. Вторая строка этой схемы не что иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

45. Раскладки Вывод: Число способов размещения n различных предметов по m различным «ящикам» равно

46. Раскладки Задача 2. Сбор яблок. Трое ребят собрали с яблони 40 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считаются одинаковыми?

47. Раскладки Мы имеем дело с сочетаниями с повторениями - есть 3 типа предметов (мальчики) и надо делать из них комбинации из 40 элементов (по числу яблок, какое - кому), порядок элементов не учитывается, разные комбинации отличаются количеством предметов хотя бы одного типа (т.е. как раз числом яблок, достающимся хотя бы одному мальчику)

48. Раскладки Вывод: Число способов размещения n одинаковых предметов по m различным ящикам равно

49. Раскладки Задача 3. Тайным голосованием 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует только за одно предложение и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждое предложение?

50. Раскладки Ответ: Так как не учитывается порядок голосов, а учитывается только их количество, то надо распределить 30 неразличимых бюллетеней по 5 «ящикам». То это сочетание с повторением.