Matrices

1. Matrices

2. DEFINICIONES BÁSICAS Una matriz es un cuadro de números que encerraremos entre corchetes o paréntesis. Diremos que una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión mxn filas Matriz de dimensión 2x3 columnas Matriz 1x5 o vector fila Matriz 3x1 o vector columna Matriz 2x2 o matriz cuadrada de orden 2

3. Notación Las matrices se designan con letras mayúsculas. Los elementos de la matriz se designan con la misma letra pero minúscula y con dos subíndices: el primero indica la fila y el segundo la columna Elemento que ocupa la fila 2 y columna 3 =(aij) A= Diagonal principal de una matriz son los elementos aii Igualdad de matrices: A=B si tienen la misma dimensión y aij=bij Algunos tipos particulares de matrices: • matriz cuadrada: m=n • matriz triangular: los elementos por debajo de la diagonal principal son 0. • matriz simétrica: aij=aji (tiene que ser cuadrada) • matriz traspuestade A(mxn)  At (nxm) aij->aji

4. Diagonal principal Matriz triangular Matriz simétrica A= Matriz traspuesta At= Suma de matrices: A(mxn)+B(mxn)=C(mxn) cij = aij + bij + = Producto de un número, t, por una matriz: A(mxn) tA=( taij ) A= 2A=

5. Ejemplo: dadas las matrices A, B, C calcula 2A-3B+4C A= B= C= Propiedades de la suma de matrices: • conmutativa: A+B=B+A • asociativa (A+B)+C=A+(B+C) • matriz nula representada por (0) todos los elementos son 0. • Se cumple A+(0)=A • matriz opuesta de A=(aij), -A=(-aij) • Se cumple: A+(-A)=(0) Ejemplo: dada la matriz A = , halla X tal que 2A+X=(0)

6. Propiedades del producto de un número por una matriz: • asociativa a·(b·A)=(a·b)·A • 1·A=A • 0·A=(0) • (a+b)·A=a·A+b·A • a·(A+B)=a·A+a·B ¡Atención! Es incorrecto: A·5 ó 1) Halla las matrices A y B que verifican: A= B= 2A+3B = 3A-B = Sol: 2) Halla las matriz X que cumple la ecuación matricial: -2B-A+2X=3A siendo: Sol: X= A= B=

7. PRODUCTO DE MATRICES Sólo se puede hacer el producto A·B si el nº de columnas de A es igual al número de filas de B A · B = C mxp pxn mxn Cada elemento de la matriz producto cij se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B y sumando estos productos = = 3x2 3x4 4x2 En general: cij=ai1·b1j+ai2·b2j+…+aipbpj

8. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Asociativa: A·(B·C)=(A·B)·C Distributiva: A·(B+C)=A·B+A·C Existe elemento neutro para el producto de matrices cuadradas que llamaremos matriz identidad I, matriz cuya diagonal principal está formada por 1 y todos los demás elementos son 0 Se cumple: A·I=I·A=A para cualquier matriz A I= Ejemplo: comprueba que A·I=I·A=A siendo A = En general, no se cumple la propiedad conmutativa (ni siquiera para matrices cuadradas) Ejemplo: comprueba que A·B≠B·A siendo A = B=

9. Matriz inversa de una matriz cuadrada: Dada una matriz A, llamaremos inversa de A y la designaremos por A-1 a otra matriz de la misma dimensión que cumpla: A· A-1 =A-1·A=I No todas las matrices tienen inversa. Si una matriz tiene inversa diremos que es invertible o regular Ejemplo: utilizando la definición, halla A-1 y B-1 A= B= Ayuda: haz A-1 y plantea un sistema de ecuaciones Solución: B no tiene inversa; A-1=

10. Vectores. Rango de un conjunto de vectores. Llamaremos Rn al conjunto de todos los vectores columna de n elementos (es decir matrices nx1. Los vectores de Rn se llaman también n-tuplas y se representan así: Por ejemplo: Los vectores de Rn se pueden sumar entre sí y también podemos multiplicar un número por un vector Ejemplo:

11. Dados los vectores: Llamaremos combinación lineal (C.L.) de estos vectores a cualquier otro vector que se pueda expresar de la siguiente forma: siendo números es C.L. de: y ya que: Diremos que un conjunto de vectores es libre o Linealmente Independiente (L.I.) si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás Diremos que un conjunto de vectores es ligado o Linealmente Dependiente (L.D.) si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás Ejemplo: averigua si los siguientes conjuntos son L.I. o L.D.

12. Llamamos rango de un conjunto de vectores al número máximo de vectores linealmente independientes. Ejemplo: calcula el rango de los conjuntos anteriores 2, 2, 1, 3 Llamamos rango de una matriz al rango del conjunto formado por sus vectores columna. Los vectores columna de la matriz A se suelen representar por A1 ;A2;….Am rang(A)=2 Ejemplo: calcula el rango de las matrices:

13. Propiedades del rango de una matriz: • el rango de los vectores fila coincide con el rango de los vectores columna • el rango de una matriz no varía si eliminamos una columna (o fila) que es C.L: de las demás columnas (filas) • el rango no varía si multiplicamos una columna (o fila) por un nº distinto de 0 • el rango no varía si sumamos a una columna (fila) una C.L. de las demás columnas (filas) Ejemplo: calcula el rango:

14. Expresión matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales: A · X = B Matriz de coeficientes o matriz del sistema Vector de términos independientes Vector de incógnitas (solución) Si la matriz A tiene inversa y sabemos calcularla: A · X = B A-1 ·(A · X) = A-1 B (A-1 A) · X = A-1 B I · X = A-1 B X = A-1 B Ejercicio: comprueba que la matriz inversa de A del ejemplo anterior es A-1 y calcula con esta fórmula la solución del sistema Solución: SCD x=-4, y=6, z=1