ME623A Planejamento e Pesquisa

1. ME623APlanejamentoePesquisa

2. Experimentos com Efeitos Aleatórios • Até agora vimos experimentos com fatores fixos, isto é, os níveis dos fatores são especificamente escolhidos como sendo os únicos de interesse • No entanto, quando temos fatores que são quantitativos é comum pensar que os níveis escolhidos são, na verdade, uma amostra de um número infinito de possíveis níveis • Nesse caso dizemos que o fator é aleatório

3. Efeito Fixo ou Aleatório? Para um Fator A com a níveis: Efeito Fixo: os a tratamentos foram especi-ficamente escolhidos. Conclusões aplicam-se APENAS aos trata-mentos considerados na análise Efeito Aleatório: os a tratamentos são uma amostra aleatória de uma população de tratamentos. Conclusões podem ser estendidas à população de tratamentos

4. Efeito Fixo ou Aleatório? Exemplos?

5. Efeito Fixo ou Aleatório? Exemplos? Uma empresa tem 100 lojas, escolhe 7 delas e fazemos um leventamento da satisfação dos clientes Não estamos apenas interessados na satisfação das 7 lojas, mas de todas

6. Efeito Fixo ou Aleatório? Exemplos? Dos vários possíveis operadores de uma certa máquina, escolhemos 10 operários e medimos a produtividade Estamos interessados na produtividade geral, portanto podemos colocar os operários como fator aleatório

7. Modelo com Um Fator Fixo • O modelo é escrito como: com i = 1, ..., a e j = 1, ..., n • Assumimos que constante • Restrição: • Note que • Hipóteses:

8. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) • O modelo é escrito como: com i = 1, ..., a e j = 1, ..., n (ni = n) • Assumimos que • são indep. • são indep. • e são indep. • , constantes • i = 1...a • j = 1...n

9. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) • O modelo é escrito como: • Note que:

10. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) • O modelo é escrito como: • Importante: Diferentemente da ANOVA de fatores fixos, onde todas observações Yijsão independentes, para o modelo de fator aleatório Yijsão apenas independentes se pertencem a diferentes níveis de fator: • Isto é, a cov. entre duas respostas no mesmo nível de fator é constante para todos os níveis de fator

11. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) • Seja • então

12. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) • Perguntas de Interesse: • Geralmente não queremos saber detalhes de um específico • Mas sim, fazer inferência da população toda • Ou seja, queremos investigar e

13. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) • É uma medida de variabilidade de • O efeito dessa variabilidade é medido relativo a variabilidade total • Esta razão mede a proporção da variabilidade total de Y que é “explicada” por • Obvio: vai de 0 à 1

14. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) • Exercício: • Mostrar que • É chamado coeficiente de correlação intraclasse

15. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) • Teste de Hipótese: • Para testar se todos os são iguais, temos • E claro que H0 implica que para todo i

16. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) • A análise de variânciapara um fatoraleatórioé da mesma forma quepara um fatorfixo, a diferençaestánaesperança do quadradomédio • Se H0é verdadeira, então MSE e MSTR tem a mesma esperança • Se não, E(MSTR) > E(MSE) já que n > 0 sempre • Assim, valores altos da estatística nos levam a rejeitar H0

17. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

18. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) Exemplo: • Cincogeneraisforamescolhidosaleatoriamente do exércitobrasileiro, e 4 candidatosforamassinaladosaleatoriamenteparacada um dos generaisparaseremavaliados, recebendonotas. • Como explicar o modelo?

19. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) Exemplo: F0 = 5.39

20. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) Como estimar ? Um estimador não viesado é Exercício: Mostrar que Um estimador não viesado é

21. Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans) Assim temos que tem distribuição t(a-1) E um intervalo de confiança para é Exercício: Calcular do exemplo dos generais

22. Modelo com Um Fator Aleatório • O modelo é escrito da mesma forma: com i = 1, ..., a e j = 1, ..., n • Assumimos que constante • A diferença é que τi’s também são v.a., independentes dos erros, tal que • Então • O modelo acima é chamado de componentes de variância ou modelo de efeitos aleatórios

23. Modelo com Um Fator Aleatório • A decomposição das SS ainda é valida, • A variabilidade total é particionada em duas compo-nentes: uma que mede a variabilidade entre os tratamentos (SSA) e uma que mede a variabilidade dentre tratamentos (SSE) • Testar hipóteses sobre os efeitos dos tratamentos individuais não faz sentido. Em vez disso, testamos: • Se H0 é verdadeira, todos os tratamentos são iguais. Caso contrário, existe variabilidade entre tratamentos

24. Valor Esperado dos MS • Para elaborar o teste para testar a hipótese, temos que avaliar a esperança dos MS • Sob H0 , • Exercício: Mostre o valor esperado de MSA

25. Modelo de Efeito Fixo • O cálculo da tabela ANOVA para efeitos aleatório é idêntico ao da ANOVA para efeitos fixos • No entanto, as conclusões são bem diferentes • Nos efeitos aleatórios, as conclusões aplicam-se a população inteira de tratamentos • Como estimar as variâncias do modelo? • Proporção da variância de uma observação devido à diferença entre tratamentos

26. Modelo Efeito AleatórioExemplo Fibra Sintética (Aula 4) • Aqui nesse exemplo, com a porcentagem de algodão sendo fator aleatório, rejeitamos a hipótese de que a variância dos efeitos é nula • A maior parte da variabilidade de uma observação é atribuída à variabilidade entre tratamentos