מפגש 8

1. מפגש 8 הקדמה והגדרת האנטרופיה

2. מה ראינו? • א. מערכות בטבע נוטות להגדיל את אי הסדר • ב. כאשר יש אינטראקציות חזקות בין החלקיקים, נוצר סדר במערכת • אי הסדר דומיננטי בעיקר בחלקיקי גז ללא אינטראקציות, ובמוצקים - האינטראקציות לרוב יוצרות סדר.

3. מתי יש "תחרות" בין אינטראקציה ואי סדר? א. בחומרים שמצב הצבירה שלהם הוא בין נוזל למוצק (בטמפ' החדר ולחץ אטמ') למשל: שוקולד, מוצק בחדר, נמס בפה. צבע לקירות - נוזל במיכל, מתקשה על הקיר. ב. בתערובות כמו הדיו המצרית שבה שינוי קל יכול לגרום למעבר ממצב מופרד למצב מעורבב. שוקולד – מוצק בחדר ונמס בפה, צבע מתקשה על קיר איך ניתן לקבוע לגבי חומר מסוים את מצב הצבירה שלו, או את "מידת הערבוב" שלו?

4. חומר רך ויצירת תערובות יצירת תערובת יציבה - אחד האתגרים העומדים בפני מדענים העוסקים בחומר רך. גם במערכות ביולוגיות יש חומר רך - הפרדת פאזות המתרחשת בקרנית העין גורמת לתופעה הנקראת קטרקט.אם נבין את מנגנון ההתרחשות, אולי נוכל למנוע את התופעה? במפגשים הקרובים נתמקד בהבנת הגורמים המשפיעים על ייצוב תערובות. ייצוב צבעים עמידות של תרופות קטרקט

5. רוצים להבין האם התהליך הבא הוא אפשרי? למה בעצם שתהליך כזה לא יקרה? אין סתירה לחוק הראשון של התרמודינמיקה!

6. רוצים להסביר O H H C-C H H H H תהליך הערבוב של אתאנול ומים אתאנול: מדוע אין ערבוב של פחם ומים איזה סוגי שינויים אפשר לעשות למערכת, כדי להשפיע על תהליך הערבוב?

7. תערובות - מודל כמותי הסברנו באופן איכותי את תהליך הערבוב באמצעות הבחנה בין סוגי הכוחות הבינמולקולריים (קשרי מימן, ואן-דר-וולס) הפועלים במערכת מצד אחד, ואת הנטייה להגדיל את אי הסדר מצד שני. בחומרים רכים, שינוי קטן בפרמטרים כמו ריכוז או טמפרטורה, יכול לגרום למערכת לעבור ממצב של ערבוב למצב של הפרדת פאזות. במקרים אלו, הסבר איכותי, לא עוזר לנו. לכן, בכדי להיות מסוגלים לתאר את ההתנהגות של חומרים רכים אנו זקוקים למודל כמותי.

8. מודל כמותי אנרגית אינטראקציה אי סדר המודל הכמותי צריך לתת לנו אפשרות למדוד את האנרגיה ואת אי-הסדר של מערכת. השוואה בין אנרגית האינטראקציה ובין אי-הסדר תעזור לנו ללמוד את התנהגות המערכת: מערכת מסודרת כאשר אנרגית האינטראקציה דומיננטית או מערכת מבולגנת כאשר אי הסדר דומיננטי. אם יודעים את סוג האינטראקציה שבין המולקולות, זה די פשוט למדוד את האנרגיה של המערכת. אבל, אנחנו עדיין לא יודעים למדוד את אי-הסדר. במפגש זה נלמד למדוד באופן כמותי את אי-הסדר.

9. אנטרופיה - S אנטרופיה - פונקציה תרמודינמית המודדת אי-סדר. • נלמד איך ניתן למדוד את האנטרופיה של מערכת. • הכפלת האנטרופיה בטמפרטורה נותנת גודל בעל יחידות של אנרגיה, ולכן נוכל להשוות בין האנטרופיה לאנרגיה כדי לקבוע מתי מערכת תתערבב ומתי היא תיצור שתי פאזות שאינן מתערבבות. • ניעזר בפונקצית האנטרופיה לנבא מה יהיה מצב הערבוב של תערובת.

10. הגדרת מודל לתערובת תערובת נוצרת כאשר שני חומרים, המורכבים משני סוגים של חלקיקים, מתערבבים ביניהם. מערכת המורכבת משני סוגי חלקיקים נקראת מערכת בינרית. • כאשר אומרים “חלקיקים” למה מתכוונים? • אטומים • מולקולות • קולואידים - צבר מולקולות או אטומים שגודלם עד מיקרון בערך. נציג מודל פשוט לתיאור מערכת בינרית, בעזרתו נוכל ממש לספור כמה אפשרויות סידור יש למערכת כזו.

11. בניית מודל סטטיסטי למערכת בינרית נייצג את המערכת הבינרית בעזרת מודל של סריג המכיל שני סוגים של כדורים (ירוקים וכחולים). אילו מערכות פיסיקליות יכול מודל כזה לייצג? • תערובת של שני חומרים (שני סוגי מולקולות) במצב נוזלי, • סגסוגת של שתי מתכות במצב מוצק, • גז (כאשר סוג אחד של חלקיקים מייצג את מולקולות הגז והסוג השני מייצג את ה"ריק").

12. מודל גז-סריג Lattice gas המודל יטופל בשתי רמות של מורכבות: • מודל שבו לא מתחשבים באינטראקציה שבין החלקיקים. • מודל שבו מתחשבים גם באינטראקציה בין החלקיקים. בעזרת מודל זה נוכל ללמוד איך משפיעה הטמפרטורה על היווצרות של תערובת ובאיזה תנאים של טמפרטורה ואינטראקציה בין חומרים, תיווצרנה שתי פאזות. בשלב זה, נתרכז במודל שבו לא מתחשבים באינטראקציה

13. לאיזה מערכות אמיתיות יכול להתאים מודל שבו לא מתחשבים באינטראקציות? • גז אידיאלי שבו האינטראקציה בין החלקיקים כמעט ולא קיימת ולכן היא זניחה. • תערובת של שני חומרים דומים: שלמולקולות שלהם גודל דומה ושמידת האינטראקציה ביניהם מאוד דומה, כך שניתן להניח שאין שינוי באינטראקציה בין שני החלקיקים (כמו מים ואתאנול, או סגסוגת של מתכות דומות כימית).

14. . . . . . . . . O O O . . . . H H H H H H O H . . . . H C C O H H O H H H H C-C H H H H אינטראקציות בין מולקולריות דומות מולקולת אתאנול ומולקולת מים דומות זו לזו מבחינה כימית, לכן אין כמעט הבדל בגודל האינטראקציה הבין-מולקולרית שבין: אתאנול - אתאנול מים - מים מים - אתאנול קשרי מימן

15. תיאור מודל lattice gasללא אינטראקציות • נתחיל מסריג קטן - • גודל הסריג אנלוגי לנפח הכלי. • בציור מתואר סריג שגודלו 6 (3x2) • ובתוכו 4 חלקיקים ירוקים ו-2 כחולים. • הנחות המודל: • הכדורים הכחולים והירוקים מייצגים חלקיקים בעלי אותו גודל בערך. • כל תא בסריג יכול להכיל חלקיקי אחד בלבד. • ניתן לבחור סוגים שונים של סריגים, אבל הכי נוח לעבוד עם סריג קובי. ניתן להראות שסוג הסריג לא משפיע על חישוב האנטרופיה. סריג הקסגונלי סריג קובי

16. ספירת כל אפשרויות הסידור כדי שנוכל למדוד אי סדר, צריך לדעת לספור את מספר אפשרויות הסידור שיש למערכת. כמה אפשרויות סידור יש למערכת זו? אחד הסידורים האפשריים בציור מופיעים כל 15 הסידורים האפשריים של המערכת.

17. הגדלת הסריג מה יקרה אם נרצה לעשות ספירה דומה למערכת שבה יש מספר גדול יותר של חלקיקים? מספר אפשרויות הסידור: 495 מהר מאוד נראה שהספירה מייגעת ואינה יעילה. האם ניתן למצוא דרך לחשב את מספר אפשרויות הסידור ללא צורך בספירה? נחוצה לנו נוסחה!

18. נוסחה לחישוב מספר אפשרויות סידור נניח שיש לנו 6 כדורי ביליארד בשקית, בשישה צבעים שונים: ירוק G, סגול P, כחולB , צהוב Y, כתום O ואדום R. מוציאים אותם מהשקית אחד אחרי השני ומציינים את סדר הכדורים. למשל: RGYPOB או BOPYGR וכו'. כמה אפשרויות סידור יש בסך הכל? מספר האפשרויות להוצאת הכדור הראשוןהיא 6, לשני 5 וכו' … לכן: 720654321 = 6! נקרא6 עצרת. מצאנו שיש 720 אפשרויות סידור ל-6 כדורים בצבעים שונים. אין צורך, ומאוד מייגע, לרשום את כל אפשרויות הסידור, ובכל זאת ניתן לחשב כמה יש.

19. נוסחה לחישוב מספר אפשרויות סידור עכשיו נניח שיש לנו 6 כדורים בשני צבעים בלבד: 4 ירוקים (G) 2 כחולים (B). גם כאן, מוציאים אותם מהשקית אחד אחרי השני ומציינים את סדר הכדורים. למשל: BGBGGGאוBGGBGG מה דעתכם? האם מספר אפשרויות הסידור יהיה קטן/גדול יותר? איך מחשבים זאת? במקרה זה יש !4 אפשרויות שחלוף של האדומים בינם לבין עצמם ו-!2 אפשרויות שחלוף של הכחולים בינם לבין עצמם, לכן יש הרבה פחות אפשרויות לסדר את הכדורים וצריך לחלק את ה-!6 במספר אפשרויות השחלוף המיותרות. הנוסחה:

20. למה זה דומה? למעשה, דוגמא זו מתאימה לתיאור המערכת הבינרית שהצגנו קודם. סידור 4 חלקיקים ירוקים ו-2 חלקיקים כחולים ב-6 מקומות, כאשר הערבוב בין כדורים מאותו צבע לא משנה (סידור בקו ישר או בשתי שורות, או בכל צורה אחרת, לא משפיע על מספר האפשרויות). ואכן, קיבלנו בחישוב תוצאה זהה לספירה שעשינו - מספר הסידורים האפשריים למערכת הבינרית הזו הוא 15.

21. "מצב מיקרו" ו"מצב מאקרו" עבור המערכת שבחרנו כדוגמא: נספרו 15 "מצבי מיקרו" – כל מצבי המיקרו האלה יכולים להתקיים עבור "מצב מאקרו" אחד שהוא: מערכת בגודל 6 וביחס של 2:1 בסוג החלקיקים. הנחה בסיסית בתרמודינמיקה סטטיסטית (בהנחה שהאינטראקציות שבין החלקיקים זניחות): "מצב מאקרו" של מערכת יכול להימצא בכל אחד מ"מצבי המיקרו" של המערכת בהסתברות שווה. הנחה זו נקראת ה"הנחה הארגודית". לכן, לכל אחד מ-15 המצבים המיקרוסקופיים יש הסתברות של 1/15 להתרחש.

22. הכללת הנוסחה נסמן: Ω – מספר אפשרויות הסידור (מספר המצבים המיקרוסקופיים) של מערכת גודל השריג: 6נסמן N מספר חלקיקים מסוג 2: 2נסמן N2 מספר חלקיקים מסוג 1: 4נסמן N1 שימו לב:N = N1 + N2הוא המספר הכולל של החלקיקים

23. הכללת הנוסחה Ω – מספר אפשרויות הסידור (מספר המצבים המיקרוסקופיים) של מערכת N – גודל הסריג N1 – מספר חלקיקים מסוג 1 N2 – מספר חלקיקים מסוג 2 כאשר מגדילים את N, Ω גדל במידה רבה הרבה יותר!

24. דוגמאות • חשבו את Ω למערכת בינרית בגודל 6 שבה יחס של 1:1 בין החלקיקים, ז"א 3 חלקיקים ירוקים ו-3 כחולים. • חשבו את Ω למערכת של 100 חלקיקים זהים בסריג בגודל 100. האם זו תערובת בינרית? • חשבו את Ω לתערובת בינרית בגודל 100 וביחס 1:1. • מספר האפשרויות לפזר 100 חלקיקים בסריג בגודל 300? • א. חשבו אתΩ למערכת בגודל 4 עם 3 סוגי חלקיקים (מערכת כזאת נקראת מערכת "טרינרית" כמו Three=3) • (2 ירוקים, 1 כחול, 1 סגול) • ב. כיתבו נוסחה כללית למערכת של 3 סוגים של חלקיקיםובידקו את נכונותה בהשוואה לסעיף א'.

25. פתרונות • החישוב: • Ω כאן גדול יותר מאשר ביחס של 1:2. • נבחן בהמשך אם זה תמיד כך. • 1 = Ωזו לא מערכת בינרית כי יש רק סוג אחד של חלקיקים. • החישוב: • אם משווים מספר זה למה שחושב בשאלה 4, ניתן להבין למה הערבוב הוא מועדף. • החישוב: • שימו לב באיזו מהירות גדל Ω עם גודל הסריג. • 8.א. 12: ב.

26. האם אומגה הוא גודל נוח למדידת אי סדר של מערכות? • מה השגנו בעזרתו? ניתן לספור את מספר המצבים המיקרוסקופיים של מערכת ולנבא מה יהיה המצב המועדף של המערכת. • מה הבעיה? • אנו מצפים שגודל פיסיקלי יהיה אדיטיבי: במערכת המורכבת משתי תת מערכות, הערך של גודל פיסיקלי למערכת המורכבת יינתן כסכום הערכים של הגודל הפיסיקלי בתת המערכות– האם זה קורה כשמדובר ב- Ω? • תנו דוגמאות לגדלים פיסיקליים המקיימים "אדיטיביות". • נראה דוגמא הממחישה ש- Ω לא אדיטיבי.

27. גדלים פיסיקליים למה אנחנו קוראים גודל פיסיקלי? גודל המודד תכונה של מערכת פיסיקלית גודל פיסיקלי יכול להיות גודל אקסטנסיבי גודל אינטנסיבי תלוי בגודל המערכת לא תלוי בגודל המערכת מסה אנרגיה נפח מספר חלקיקים טמפרטורה מתח לחץ ריכוז כימי

28. דוגמאות הלחץ בכל הנפח זהה V1 N1 1 atm N = N1 +N2 V = V1 +V2 N2 V2 הטמפרטורה בכל הנפח זהה 300 K

29. אבל.... Ω של מערכת גדל בחזקת גודל המערכת: במערכת בגודל 10 שבה 5 חלקיקים אדומים ו-5 כחולים (יחס 1:1) 252Ω = , וכאשר המערכת היא בגודל 100 (יחס 1:1) - Ω = 1029. וגם מאוד לא נוח להתעסק עם מספרים כל-כך גדולים. מה עושים?

30. הגדרת האנטרופיה מגדירים פונקציה שקוראים לה אנטרופיה: S =ln(Ω) כאשר: ln הוא לוגריתם לפי בסיס טבעי – e e = 2.7182818…. לראשונה פורסם מספר זה בשנת 1618, ומאז נעשה בו שימוש נרחב מאוד במתמטיקה. למתעניינים במתמטיקה, e התקבל מחישוב של:

31. איך מוגדרת הפונקציה loga(x)? לוג של מספר הוא התשובה לשאלה: a בחזקת איזה מספר יהיה שווה ל-x? loga(x) = y  x = ay לדוגמא, כאשר a = 10: log(100) = 2כי102 =100 לוג של שבר נותן מספר שלילי. לדוגמא: log(0.01) = (-2)כי 10-2 =0.01 וגם: log(1) = 0כי100 = 1 כאשר a=10 נהוג להשמיט אותו.

32. פונקצית ה-ln: loge(x) = ln(x) ln של מספר הוא התשובה לשאלה: e בחזקת איזה מספר יהיה שווה ל-x? ln(x) = y  x = ey לדוגמא: ln(e) = 1כיe1 = e גם ln של שבר נותן מספר שלילי. לדוגמא: ln(0.0001) = -9.21כיe- 9.21 = 0.0001 וגם: ln(1) = 0כיe0 = 1

33. תכונות הלוגריתמים: ln ו- log רשימה ללא הוכחות

34. תכונות של ln(x) • ln(x) היא פונקציה עולה (כלומר השיפוע שלה הוא חיובי תמיד), • ערכה של ln(x) שלילי עבור 10<x<וערכה חיובי עבור x>1 כמתואר בגרף הבא: • הפונקציה ln(x) לא מוגדרת עבור x שלילי.

35. סולם ריכטר וגרף פונקצית ה-ln לסולם ריכטר שמודד את לוגריתם של עוצמת רעידת האדמה יש את צורת הגרף הלוגריתמי. ההבדל הוא, שכאן ציר ה-x הוא למעשה הלוגריתם של ציר ה-y F(x) x

36. נחזור לפונקצית האנטרופיה ראינו כמה שימושי להגדיר את האנטרופיה כ: S = ln(Ω) בהגדרה זו האנטרופיה היא חסרת יחידות, כי ln ו-logהם מספרים חסרי יחידות. בשלב זה, אין צורך להוסיף לאנטרופיה יחידות, נעשה זאת בהמשך.

37. איך תכונות הלוגריתם משפיעות על S? תכונות הלוגריתם הופכות את פונקצית האנטרופיה לפונקציה אדיטיבית (בניגוד ל-Ω). כאשר מחברים שתי מערכות, במקרים רבים, מספר אפשרויות הסידור הוא מכפלה של מספר המצבים של כל מערכת. למשל, חלקיק בודד בתוך נפח של 1000תאים לעומת 2 חלקיקים באותו נפח. עבור כל חלקיק בודד: Ω1 = 1000 עבור שני חלקיקים: Ωtotal = 1000x1000 בהנחה שעבור כל אחד, כל הנפח עומד לרשותו

38. איך תכונות הלוגריתם משפיעות על S? האנטרופיה של כל חלקיק בנפרד ניתנת לחישוב מהקשר: אם נחבר את שתי המערכות, ז"א נכניס לאותו נפח עוד חלקיק, האנטרופיה הכוללת של שתי המערכות תחושב ע"י חיבור האנטרופיות של כל חלקיק בנפרד: S1 = ln(Ω1) S = S1 + S2 = ln(Ω1) + ln(Ω2) = ln(Ω1 Ω2)

39. פונקצית האנטרופיה האנטרופיה גדלה ככל שגדל מספר אפשרויות הסידור של מערכת. S = ln(Ω) במילים אחרות – האנטרופיה גדלה כשאי הסדר גדל.

40. חישוב השינוי באנטרופיה - S השינוי בפונקצית האנטרופיה Sנותן מדד אם תהליך כלשהו יהיה ספונטני או לא. מערכת במצב 1 מצב התחלתי Sinitial מערכת במצב 2 מצב סופי Sfinal מחשבים את השינוי בפונקצית האנטרופיה: S = Sf – Si ניסוח נוסף לחוק ה-II של התרמודינמיקה: עבור מערכת מבודדת, תהליך ספונטני יתרחש כאשר: Ssystem> 0

41. חישוב S בתהליך ערבוב נחשב מה השינוי באנטרופיה כאשר מחברים שתי מערכות של 32 חלקיקים (בכל אחת 32 חלקיקים בצבע אחיד), ויוצרים מערכת בינרית שגודלה 64. החישוב מתאים לשינוי האנטרופיה בתהליך שבו מערכת עוברת ממצב של הפרדה בין החלקיקים למצב של ערבוב. אחרי ערבוב לפני ערבוב כי יש רק מצב אחד אפשרי בכל חלק התהליך ספונטני! S = 42 - 0 > 0

42. דוגמא נוספת לחישוב S חשבו - מה השינוי באנטרופיה כאשר מערכת בינרית שגודלה 64 ויחס החלקיקים בה הוא 7:1, עוברת ממצב של שתי מערכות מופרדות למצב של ערבוב? אחרי ערבוב לפני ערבוב גם כאן יש רק אפשרות אחת בכל חלק התהליך ספונטני! דף עבודה – שאלות 3-4 S = 22.2 - 0 > 0

43. מערכת בשווי משקל מצב של אנטרופיה מקסימלית כאשר המערכת נמצאת במצב של אנטרופיה מקסימלית, כל שינוי S מהמצב הזה יהיה שלילי - מדוע? כאשר מערכת מבודדת מגיעה למצב של מקסימום אנטרופיה, היא תישאר במצב הזה: בשווי משקל, אין שינוי בגדלים מאקרוסקופיים הנמדדים במערכת - המערכת נמצאת במצב המסתבר ביותר. במילים אחרות, החוק השני של התרמודינמיקה קובע שתהליכים יהיו ספונטניים אם הם יביאו את המערכת לשיווי משקל, ולא יהיו ספונטניים אם הם ירחיקו אותה משיווי משקל הגעתי לפסגת האנטרופיה

44. אנטרופיה של ערבוב עד עתה, דנו במערכות שבהן התרכזנו בערבוב של חלקיקים: בדומה למערכת של כהל + מים. מה ראינו? הערבוב המלא שאנו רואים במערכת המאקרוסקופית נובע מכך שאי הסדר במיקום החלקיקים במרחב הוא מקסימלי! מערכת המגיעה למצב שבו האנטרופיה שלה מקסימלית – נמצאת בשווי משקל. אלכוהול ומים מתערבבים בכל יחס

45. נספח עוד על הלוגריתם הנורא!מה הוא עושה ולמה צריך אותו?

46. עוד על הלוגריתם הנורא!מה הוא עושה ולמה צריך אותו? עוצמת קול נמדדת ביחידות של הספק ליחידת שטח, כלומר כמות אנרגית קול הפוגעת בשטח מסוים במשך שנייה. הדציבל גם הוא יחידה למדידת עוצמת קול, אך הוא לא מבטא את עוצמת גל הקול אלא את הלוגריתם של היחס בין עוצמת הקול הנמדדת לעוצמת הקול המינימלית הניתנת לשמיעה, כפול 10. 1 decibel = 10log(I/I0) כאשר I היא עוצמת גל הקול ו-I0 היא עוצמת גל הקול המינימלית הניתנת לחישה על ידי האוזן האנושית. 10-8Watt/cm2= I0 = 10-12 Watt/m2 http://www.phys.unsw.edu.au/jw/dB.html http://www.alltechinsulation.com/Acoustic_Decibel_Demo.asp

48. מדוע כדאי להשתמש בפונקציתה-log? מכיוון שהאוזן האנושית לא מבחינה בשינוי של יחידות דציבלים בודדים. פונקצית הלוגריתם מקטינה שינויים שנראים כגדולים והופכת אותם לקטנים יותר, מסדר גודל המתאים לאוזן האנושית. ע"י כך, ניתן לסנן שינויים לא משמעותיים. לדוגמא: אם עוצמת הקול היא 5mWatt/cm2 והיא מוגברת לעוצמה של 6mWatt/cm2 זה נראה שינוי משמעותי אבל סביר להניח שהאוזן לא תבחין בשינוי כלל. השינויים בהם תבחין האוזן הם שינויים גדולים יותר של פי 2 או 5.

49. רעידות אדמה הלוגריתם משמש אותנו גם להערכת העוצמה של רעידות אדמה. מי לא מכיר את סולם ריכטר המפורסם? סולם ריכטר מעריך את עוצמת הרעידות השונות ע"י שימוש בפונקצית הלוגריתם. עוצמת הרעידה החזקה ביותר שנמדדה על פני כדור הארץ הייתה רעידה בעוצמה של 9.5 בסולם ריכטר שהתרחשה בצ'ילה בשנת 1960. ברעידה זאת השתחררה אנרגיה גבוהה פי 1000 מאשר ברעידה של 7.5 בסולם ריכטר שהתרחשה בפקיסטן בשנת 2005. ההבדל העצום באנרגיה מתבטא בשינוי קטן של 2 יחידות בסולם ריכטר, בגלל הלוגריתם.

50. כפי שנראה בתרשים, ההפרשים הולכים וגדלים בעוצמת התנודות, אך בסרגל בציר האופקי ההפרשים נשארים קבועים. הלוגריתם היא פונקציה שהופכת הבדלים עצומים בין גדלים שונים, להבדלים קטנים יותר שניתן לשים אחד ליד השני על סולם, או סרגל אחד. הציר האנכי מייצג את עוצמת הרעד על-פי משרעת (עוצמת) התנודות, והציר האופקי מייצג את סולם ריכטר הלוגריתמי.