第三篇

第三篇 Electromagnetic field 电磁场第14章 (6) Steady magnetic field 稳恒磁场

早期磁现象：磁铁 磁铁间的相互作用。 I N S 图14-1 §14-1 磁力和磁场磁感应强度一.磁力和磁场 (1)人造磁铁、天然磁铁有吸引铁、鈷、镍的性质—磁性。 (2)磁铁有两个极：N，S。 (3)磁极间存在相互作用力：同极相斥，异极相吸。在历史上很长一段时期里,人们曾认为磁和电是两类截然不同的现象。 1819年,奥斯特实验首次发现了电流与磁铁间有力的作用(见图14-1),才逐渐揭开了磁现象与电现象的内在联系。

运动电荷 磁场 运动电荷 奥斯特实验证明电流对磁铁有力的作用。同时，人们还发现：磁铁对载流导线也有力的作用；磁铁对运动电荷也有力的作用；电流与电流之间也有力的相互作用。 1882年,安培对这些实验事实进行分析的基础上，提出了物质磁性本质的假说：一切磁现象都起源于电荷的运动(电流)。物质间的磁力相互作用是以什么方式进行的呢?近代的理论和实验都表明,物质间的磁力作用是通过磁场传递的。即磁场和电场一样,也是物质存在的一种形式。

二 . 磁感应强度B Pm=NIS (14-1) I s 式中N为线圈的匝数，S为线圈包围的面积，为载流线圈平面正法线方向的单位矢量。图14-2 试验线圈处于平衡时，线圈正法线指示的方向即为该点磁场(B)的方向。试验线圈(电流、尺寸都很小的载流线圈)的磁矩定义为：将试验线圈置于磁场中一点，不管怎样转动，它处于平衡时，正法线总是指向一个确定的方向，这说明磁场是矢量场。我们规定：

磁力线上每一点的切线方向与该点的磁感应强度B的方向一致。 通过某点垂直于磁场方向的单位面积上的磁力线条数等于该点B的大小。定义:磁场中某点磁感应强度的大小等于试验线圈所受的最大磁力矩与线圈磁矩之比。即三.磁感应线(磁力线) 为了形象地描述磁场, 引入磁感应线(也称磁力线)。

图14-3 磁力线有以下特点: (1)磁力线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向无穷远处)。所以磁场是涡旋场。 (2)磁力线与载流电路互相套合(即每条磁力线都围绕着载流导线)。 (3)任两条磁力线都不相交。

(14-2) (14-3) 四 .磁通量磁场中,通过一给定曲面的磁力线数目,称为通过该曲面的磁通量。通过匀强磁场中面积为S的平面的磁通量应为磁通量是标量，其正负由角确定。对闭合曲面来说,我们规定取向外的方向为法线的正方向。这样：磁力线从封闭面内穿出时，磁通量为正；磁力线从封闭面外穿入时，磁通量为负。在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。

(14-4) 五 .磁场的高斯定理由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲面磁通量的代数和(净通量)必为零,亦即这就是磁场的高斯定理。在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反映了静电场的有源性。而在磁场中,磁力线的连续性表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场是无源场。

例题14-1 在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面S,S边线所在平面的法线方向的单位矢量和B的夹角为 ,如图14-4所示，则通过半球面S的磁通量为  B 图14-4 -B r2cos 。将半球面和圆面组成一个闭合面，则由磁场的高斯定理知，通过此闭合面的磁通量为零。 S 这就是说，通过半球面和通过圆面的磁通量数值相等而符号相反。于是通过半球面的磁通量就可以通过圆面来计算：

真空中，电流元Idl在P点产生的磁场为 P r (14-5)  Idl 图14-5 2. r是从电流元Idl 指向场点P的矢量。 r是电流元Idl到P点的距离。 §14-2 毕奥-萨伐尔定律！上式称为毕奥-萨伐尔定律。 1.公式中的系数是SI制要求的。真空的磁导率：o=410-7

3.电流元Idl是线元。 P B r (14-5)  (14-6) Idl 图14-5 是Idl与r 之间的夹角。 B 图14-6 大小：Idl=电流I线元长度dl。方向：电流I的方向； 4.磁场的大小：方向：由右手螺旋法则确定(见图14-6)。

(14-7) (14-6) 5. 对载流导体，按照叠加原理,可分为若干个电流元，然后用毕-萨定律积分：应当注意：上面的积分是求矢量和。 6.磁感应强度的单位是特斯拉(T)，1T=104Gs。

x I Idx  r x . P a o 图14-7 例题14-2求直线电流的磁场。解选坐标如图, 电流元Idx在P点所产生的磁场为  方向：垂直纸面向里(且所有电流元在P点产生的磁场方向相同);所以直线电流在P点产生的磁场为

x 2 I Idx  r x . P a o 1 图14-7 I B 由图14-7可以看出: x=atg( -90 )=-actg 完成积分得 P点磁场方向: 垂直纸面向里。

(14-8) 2 I P a 1 图14-8 注意： 1.上式中的a是直电流外一点P到直电流的垂直距离。 2.  1和2是直电流与(直电流端点与场点P的)连线的夹角。  应取同一方位的角。

B 2 I (14-9) P I a 1 图14-8 讨论: (1)对无限长直导线, 1=0, 2=,则有

x I Idx  r x . P a o 图14-7 (2)如果P点位于直导线上或其延长线上, 则P点的磁感应强度必然为零。证：若P点位于直导线上或其延长线上，则=0或=，于是

(1)P点磁场: 2 P A I a 1 I  C B 图14-9   例题14-3直电流公式的应用。 AB： BC： P点磁场：

2 .o .o I I 1 a a 2 A 1 a 2 图14-10 (2)边长为a的正方形中心 O点: 1= 45 ,2= 135 A点磁场： 1= 45 ,2= 90

A B I r a o I C 图14-11 D (3)边长为a的正三角形中心o点的磁场。电流I经三角形分流后, 在中心o点产生的磁场为零。 CD段在三角形中心o点产生的磁场也为零。只有AB段在三角形中心o点产生磁场：

I y Bx = x o  R dB d  图14-12 (4)在一半径为R的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有电流I流过，且电流在横截面上均匀分布。求半圆筒轴线上一点的磁场强度。解用长直导线公式积分。 sin - 2R

B dB dB p  r x Idl R 即 I 图14-13 (14-10) 例题14-4圆电流轴线上一点的磁场。解由对称性可知，P点的场强方向沿轴线向上。 sin 有 B=

(14-11) B dB dB p  r x Idl R o I 图14-13 在圆电流的圆心o处,因x=0,故得由于各个电流元在圆心处产生的磁场方向相同，因此，一段圆弧形电流在圆心处产生的磁场就是圆电流在圆心产生磁场乘以(圆弧弧长与圆周长之比)。如半圆弧圆心处的磁场： B= 当然，圆心之外这个结论就不正确了。

I o a b R I c d 图14-14 R I d e c o a b r I 图14-15 f 例题14-5直电流和圆电流的组合。圆心o: Bo= 方向：垂直纸面向外。方向：垂直纸面向里。

A I Ｉ1l1 B o R I Ｉ2l2 D C 图14-16 圆心o: 电流I经圆环分流后, 在中心o点产生的磁场为零。方向：垂直纸面向里。

A I B I o R D C 图14-17 圆心o点的磁场: 方向：垂直纸面向外。

A D B C 2 1 60 R o 图14-18 (1= 0 ,2= 60 ) 圆心o点的磁场: 2

 R .o dr r   q s o I 2 r 图14-19 例题14-6一均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为, 绕通过盘心且垂直于盘面的轴以的角速度转动，求盘心的磁场及圆盘的磁矩。解将圆盘分为若干个圆环积分。带电圆环旋转时产生的电流强度为环上的电量盘心的磁场：

 Pm=NIS (14-1) R .o dr r  图14-20 圆盘的磁矩: 方向：垂直纸面向里。

r x   R o o 图14-21 图14-22 例题14-7一半径为R的均匀带电半圆弧，单位长度上的电量为，绕其直径所在的直线以角速度匀速转动，求圆心o处的磁场。解半圆弧旋转起来，象一个球面，可划分为若干圆电流积分。

 r x R  o d 图14-23 建立如图14-23所示的坐标系。于是注意到：r=Rsin,

(14-11) 这个定理的表述为：在真空中，磁感应强度B沿任何闭合路径l的线积分(亦称B的环流)等于该闭合路径l所包围的电流强度的代数和的o倍。这就是说，B的环流完全由闭合路径l所包围的电流确定，而与未包围的电流无关。 §14-3 安培环路定理真空中, 安培环路定理的数学表示式如下： 1.I内—是闭合路径l所包围的电流的代数和。包围—以闭合路径l为边界的任一曲面上流过的电流。电流的正负规律是:当闭合路径l的方向与电流方向呈右手螺旋关系时，电流I就取正号;反之,取负号。

I I1 I3 I I2 l l (14-11) 即：右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致时, 拇指的指向即为电流的正方向。

I l I 图14-24 2.应该强调指出,安培环路定理表达式中右端的I内虽然只包括闭合路径l所包围的电流的代数和,但在式左端的B却是空间所有电流(闭合路径l内外的电流)产生的磁感应强度的矢量和。 (14-11) 3.适用条件：稳恒电流(闭合电路)。

I r P S 于是得 B= 0 图14-25 (14-11) 例如, 对有限长直电流, P点磁场： I (圆面) 0 (曲面S) 正确答案请见例题14-2。

I r B l 旋转对称 R 图14-26 例题14-8设无限长圆柱体半径为R,电流I沿轴线方向,并且在横截面上是均匀分布的。求:(1)圆柱体内外的磁场；(2)通过斜线面积的磁通量。解 (1)由对称性可知，磁场方向为圆周切线方向，满足右手螺旋关系。选半径r的圆周为积分的闭合路径，如图14-26所示。由安培环路定理： I内是以r为半径的圆面上流过电流的代数和。 r是场点到轴线的距离;

I 设电流密度为 o r B 2 r 旋转对称 o R 2 r 图14-26 J.r2 I

I dr 2R r B l ds R 图14-26 (2)通过斜线面积的磁通量:

J B1 B2 p r1 r2 r2 r1 J o = + o o o´ J a B2 B1 图14-28 例题14-9一长直圆柱体内有一长直柱形空腔，两轴线平行且相距a，柱体中的电流密度为J,求空腔中的磁场强度。解空腔柱体的磁场可看作是两个流有反向电流J的实心长直柱体的叠加。由上题计算结果可知：

J p r2 r1 B1 y o o B2 a x 2 1 r1 r2 B2 B1 图14-28 1 2 o´ o a 空腔中的场强: 可见，空腔中的磁场是一个匀强磁场：大小：方向：y轴正方向(即垂直于连心线oo´)。

实心柱体内: 实心柱体外: J o o P. r a 图14-29 讨论: 图中P 点的磁场:

× I · I a o × · × o · c b 2 r × 图14-30 o 2 r 旋转对称例题14-10一半径为a的长直圆柱体和一内外半径分别为b和c(a<b<c)的同轴长直圆筒通有等值反向电流I(电流在横截面内是均匀分布的)，如图14-30所示，求空间的磁场分布。解 J.r2 I

I o r 2 r o l                   图14-31 例题14-11求载流螺线环的磁场分布。设螺线环环上均匀密绕N匝线圈,线圈中通有电流I,如图14-31所示。解由对称性知,与螺线环共轴的圆周上各点磁感应强度的大小相等,方向沿圆周为切线方向。由安培环路定理： NI 在环管内: B=

I l2 l1                   图14-31 对于管外任一点,过该点作一与螺线环同轴的圆周l1或l2为闭合路径，由于这时I内=0，所以有 B=0 (在螺线环外) 可见，螺线环的磁场集中在环内，环外无磁场。

(14-12) B I 图14-32 对载流长直密绕螺线管，若线圈中通有电流强度为I的电流,沿管长方向单位长度上的匝数为n，则由安培环路定理容易求得：管内：管外： B=0 可见，管内是匀强磁场, 而管外的磁场仍为零。

 图14-33 例题14-12 一均匀带电的长直柱面，半径为R，单位面积上的电量为，以角速度绕中心轴线转动，如图14-33所示，求柱面内外的磁场。解旋转的柱面形成圆电流，它和一个长直螺线管等效。由长直螺线管的磁场可知，柱面外的磁场为零；而柱面内的磁场为 =o×单位长度上的电流强度

实验表明: 电流元Idl在磁场B中受的作用力(安培力)为 F B (14-13) Idl  图14-34 即：dF 的方向垂直于Idl 和B组成的平面，指向由右手螺旋确定。 §14-4 磁场对载流导线的作用一.安培力大小：dF=IdlBsin 方向：

(14-14) a b (14-15)  I B 图14-35 =ab 对载流导体，可分为若干电流元积分：对于放置在均匀磁场中长度为l的直载流导线,其所受的安培力为其大小： F=IlBsin 方向：

直载流导线受的安培力: 例题14-13在均匀磁场B中有一段弯曲的导线ab,通有电流I, 求此段导线受的磁场力。 I B Idl  l a b 图14-36 解弯曲导线ab可分为若干电流元积分：可见, 在匀强磁场中,弯曲导线受的磁场力等于从起点到终点的直导线所受的磁场力。力的大小：F=IlBsin 力的方向: 垂直纸面向外。

直载流导线受的安培力: I a I b a R R b o B o B 又如，匀强磁场中的导线：圆弧受的力：圆弧受的力：力的方向垂直纸面向外。

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