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微積分

微積分. Chapter6 　　　　積分技巧. 積分技巧. 6.1 分部積分 6.2 三角積分及代換 6.3 部分分式 6.4 積分表及數學運算軟體的應用 6.5 近似積分 6.6 瑕積分. 6.1 積分技巧. 1. 微積分 , 6.1, 頁 6-2. 2. 微積分 , 6.1, 頁 6-2. 6. 微積分 , 6.1, 頁 6-5. 6.2 三角積分及代換. 如何積分 sin x 和 cos x 的乘方？ 從例 1 至 4 可以歸納出下列的方法：. 微積分 , 6.2, 頁 6-9.

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Presentation Transcript

  1. 微積分 Chapter6 　　　　積分技巧

  2. 積分技巧 • 6.1 分部積分 • 6.2 三角積分及代換 • 6.3 部分分式 • 6.4 積分表及數學運算軟體的應用 • 6.5 近似積分 • 6.6 瑕積分

  3. 6.1 積分技巧 • 1. 微積分, 6.1, 頁6-2

  4. 2. 微積分, 6.1, 頁6-2

  5. 6. 微積分, 6.1, 頁6-5

  6. 6.2 三角積分及代換 • 如何積分sin x和cos x的乘方？ 從例1至4可以歸納出下列的方法： 微積分, 6.2, 頁6-9

  7. (i) 如果cos x是奇數次方，留下一個cos x，其他用cos2x=1-sin2x改寫成sin x的函數。接著用u=sin x代換。 微積分, 6.2, 頁6-9

  8. (ii) 如果sin x是奇數次方，留下一個sin x，其他用sin2x=1-cos2x改寫成cos x的函數。接著用u=cos x代換。 微積分, 6.2, 頁6-9

  9. (iii) 如果sin x和cos x都是偶數次，可以用半角公式： 有時用恆等式 也會有幫助。 微積分, 6.2, 頁6-9

  10. 如何積分tan x和sec x的乘方？ 從例5至6可以處理下列二種情形： 微積分, 6.2, 頁6-10

  11. (i) 如果sec x是偶數次方，留下一個sec2x，其他用sec2x=1+tan2x，改寫成tan x的函數。接著用u=tan x代換。 微積分, 6.2, 頁6-10

  12. (ii) 如果tan x是奇數次方，留下一個sec x tan x，其他用tan2x=sec2x - 1改寫成sec x的函數。接著用u=sec x代換。 微積分, 6.2, 頁6-10

  13. 微積分, 6.2, 頁6-11

  14. 1. 微積分, 6.2, 頁6-11

  15. 　函數形式 　　　　　 三角代換 三角恆等式 • 三角函數代換表 微積分, 6.2, 頁6-13

  16. 6.3 部分分式 • 9. 微積分, 6.3 , 頁6-22

  17. 6.5 近似積分 圖1 微積分, 6.3 , 頁6-22

  18. 圖1 微積分, 6.5 , 頁6-32

  19. 圖1 微積分, 6.5 , 頁6-32

  20. 把[a, b]區間分成等長的n個子區間，那麼積分會近似於 其中Δx=(b-a) / n是子區間的長度，而xi*的第i個區間[xi-1, xi]中的任一點。 微積分, 6.5 , 頁6-32

  21. 如果取xi*為左端點 微積分, 6.5 , 頁6-32

  22. 如果取xi*為右端點 微積分, 6.5 , 頁6-32

  23. 中點法則 其中 而 的中點 微積分, 6.5 , 頁6-32

  24. 梯形法則 其中 而 微積分, 6.5 , 頁6-33

  25. 微積分, 6.5 , 頁6-33

  26. 微積分, 6.5 , 頁6-34

  27. 誤差範圍 假設在a ≦ x ≦b時， │f ” (x)│ ≦K。如果ET和EM分別代表中點法則和梯則的誤差，那麼它們會滿足 和 微積分, 6.5 , 頁6-35

  28. 微積分, 6.5 , 頁6-37

  29. 微積分, 6.5 , 頁6-37

  30. 辛普森法(Simpson’s rule) 其中n是偶數而 微積分, 6.5 , 頁6-38

  31. 辛普森法的誤差範圍 假設在a ≦ x ≦b時 │f (4) (x)│ ≦K，那用辛普森法到的誤差ES會滿足 微積分, 6.5 , 頁6-40

  32. 6.6 瑕積分 • 在定義積分 時，我們考慮定義在有限區間[a,b]上的函數 f。在這一節中，我們把定積分推廣到更一般的情形，這時 f 可以定義在無窮的區間上，或者在區間中有趨近於無窮大的不連續點。我們稱這二種情形的積分為瑕積分。 微積分, 6.6 , 頁6-43

  33. 第1型瑕積分的定義 (a)如果對任意t ≧ a積分 都會存在，而且它在t→∞時的極限也會存在(有限值)，那我們就定義積分 微積分, 6.5 , 頁6-40

  34. 第1型瑕積分的定義 (b)如果對任意t ≦b積分 都會存在，而且它在t→∞時的極限也會存在(有限值)，那我們就定義積分 在極限存在的情況下，我們就說瑕積分 或 是收斂(convergent)的，極限不存在時就說這積分是發散(divergent)的。 微積分, 6.5 , 頁6-40

  35. 第1型瑕積分的定義 (c)如果對任意 和 都收斂，我們就定義 這裡的 a可以取任意的實數 微積分, 6.5 , 頁6-40

  36. 2.在p >1時是收斂的，而在p≦1時是發散的。 微積分, 6.6 , 頁6-47

  37. ò = ò b t f ( x ) dx lim f ( x ) dx a a t→b- • 第2型瑕積分的定義 (a)如果 f 在[a, b)連續但在b點不連續，而且極限 存在，我們就定義積分 微積分, 6.6 , 頁6-48

  38. ò = ò b b f ( x ) dx lim f ( x ) dx a t t→a+ • 第2型瑕積分的定義 (b)如果 f 在[a, b)連續但在a點不連續，而且極限 存在，我們就定義積分 在極限存在的情況下，我們就說瑕積分 是收斂(convergent)的，極限不存在時就說這積分是發散(divergent)的。 微積分, 6.6 , 頁6-48

  39. c b ò f ò ( x ) dx f ( x ) dx a c • 第2型瑕積分的定義 (c)如果 f 在 a 和 b 之間有不連續點 c，而且 和 都收斂，我們就定義 微積分, 6.6 , 頁6-48

  40. dx ] 3 = - = - = 3 ò ln x 1 ln 2 ln 1 ln 2 0 - 0 x 1 • 錯誤的結果： 這是因為瑕積分一定要用取極限的方式算出來。 微積分, 6.6 , 頁6-49

  41. 比較定理 假設連續函數 f 和 g 在x ≧ a時滿足f (x)≧ g (x)≧0。 (a)如果 是收斂的，那麼 也 會收斂 (b)如果 是發散的，那麼 也 會發散 微積分, 6.6 , 頁6-50

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