Munka és energia

1. Munka és energia

2. Munka Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő hatására elmozdul. • Ha állandó F erő hatására az erő irányában s úton elmozdul a test, akkor az erő munkája: W = F·s [Nm = J] • Ha állandó F erő hatására az elmozdulás a szöget zár be erő irányával, akkor s úton az erő munkája: W = F·s·cosa

3. Munka • Általános definíció: W = F·Dr·cosa =F·Dr

4. Emelési munka • Függőlegesen mozgatunk egy testet. • A nehézségi erő ellenében végez az F erő munkát. • A mozgás egyenletes, az F erő nagysága ugyanakkora, mint a nehézségi erő: F = m·g We= m·g·h

5. Gyorsítási munka • Ha egy kezdetben nyugvó testre állandó erő hat, a test egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végez. • A test a mozgás során az erő irányába mozdul el, így munkavégzés történik. F= m·a We= m·a·s = m·a·½at2=½m·a2·t2= ½m·v2

6. Lineáris erő ellenében végzett munka • Lineáris erő: F ~x • Rúgó erő ellenében végzett munka: F =Dx

7. Energia • Energia  Munkavégző képesség • Egy meghatározott A állapotban levő test energiával rendelkezik, ha megfelelő körülmények között munkavégzésre képes. • Energiáját azzal a munkával mérjük, amelyet a test végez, míg egy A állapotból a megállapodás szerint választott A0 állapotba jut, vagy azzal a munkával, amelyet a testre ható erők ellenében végeznünk kell, míg A0 -ból A-ba juttatjuk. • Az energia mértékegysége megegyezik a munkáéval. [J]

8. Helyzeti (potenciális) energia • Bármely magasságba felemelt testeknek van energiája. • A gravitációs erő képes a felemelt testet mozgásba hozni. • A helyzeti energia szempontjából alapállapotnak tetszőleges magasságot tekinthetünk. E = mgh

9. Mozgási (kinetikus) energia • Ha bármely test valamilyen vsebességgel mozog, annak energiája van. Alapállapotnak ebben az esetben a nyugalmi állapotot tekintjük. Ekin= ½m·v2

10. Rugalmas energia • A kihúzott rugónak energiája van. Alapállapotnak ebben az esetben a test feszítés előtti állapotát tekintjük.

11. Munkatétel • Egy tömegpont kinetikus energiájának megváltozása megegyezik a ráható erők eredője által végzett munkával:

12. Konzervatív erőtér • A térnek azt a tartományát, amelyben az odahelyezett testekre erő hat, erőtérnek vagy mezőnek nevezzük. • Az erőterek minden pontjához rendelhetünk egy fizikai mennyiséget, azt a munkát, amelyet az erőtér végez, miközben a test az adott pontból egy vonatkoztatási pontba jut. Ez a munka konzervatív erőterek esetén csak az erőtértől és a két pont megválasztásától függ. • A vonatkoztatási pontot rögzítve már csak az erőtérnek és a vizsgált pontnak a függvénye.

13. Konzervatív erőtér • Konzervatív erőtérnek nevezzük azt az időben állandó erőteret, amelyben tetszőleges zárt görbe mentén a végzett munka zérus

14. Konzervatív erőtér • Konzervatív erők: • nehézségi erő • gravitációs erő • (elektromos erő) • Nem konzervatív erők: • súrlódási erő • közegellenállási erő

15. A mechanikai energia megmaradásának tétele • A mozgási, a helyzeti és a rugalmas energiát közös néven mechanikai energiának nevezzük. • Egy konzervatív erőtérben mozgó tömegpont kinetikus és potenciális energiájának összege (összes mechanikai energiája) a mozgás folyamán állandó.

16. Teljesítmény • Teljesítmény  az időegység alatt végzett munka

17. Harmonikus rezgőmozgás dinamikája • Lineáris erőtörvény, rugalmas erő: F=-Dx • D a direkciós állandó F = ma -Dx = ma

18. Harmonikus rezgőmozgás dinamikája • bevezetve:

19. Harmonikus rezgőmozgás dinamikája Keressük az egyenlet megoldását! és az általános megoldás két független megoldás lineáris kombinációjaként állítható elő: ahol B és C tetszőleges állandók, amelyeket a kezdeti feltételekből határozhatunk meg.

20. Harmonikus rezgőmozgás dinamikája A kezdeti feltételekből: ha t = 0 esetén a kezdeti kitérés és sebesség értéke x0és v0, akkor: x(t=0) =x0 = C A sebességfüggvényt a kitérés idő szerinti differenciálásával kaphatjuk:

21. Harmonikus rezgőmozgás dinamikája t = 0 esetén: C-t és B-t behelyettesítve:

22. Harmonikus rezgőmozgás dinamikája Bevezetve a és jelöléseket: felhasználva: kapjuk:

23. Harmonikus rezgőmozgás dinamikája A amplitúdó és aa fázisszög (kezdőfázis) A és aa kezdeti feltételek (x0, v0) által meghatározottak:

24. Pontrendszerek mechanikája Pontrendszer a kettő, vagy ennél több tömegpont együttese • n a pontrendszerhez tartozó tömegpontok száma • m1, m2, … mn az egyes tömegpontok tömege. • ri az mitömegpont helyvektora

25. Pontrendszerek mechanikája • Fi az i-dik tömegpontra ható eredő, függ a többi tömegpont helyétől, sebességétől: • n db differenciál vektoregyenlet, megoldása nehéz

26. Pontrendszerek mechanikája • Az i-dik tömegpontra ható erőket a rendszer szempontjából külső és belső erőkre oszthatjuk fel • Fij az i-dik tömegpontra a j-dik által kifejtett ún. belső erő, míg a pontrendszeren kívüli objektumok által mi-re kifejtett külső erőhatások eredőjét Fi jelöli. • Nyilvánvalóan Fii= 0.

27. Pontrendszerek mechanikája • az i-edik tömegpont mozgásegyenlete így: • a pontrendszer mozgását leíró egyenleteket összeadva kapjuk:

28. Tömegközéppont • Newton III. tv.-e értelmében: Fij=-Fji ezért : • A jobb oldalt átalakítva: Tömegközéppont helyvektora

29. Tömegközéppont tétel • Egy pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer teljes tömege ebben a pontban lenne egyesítve, és rá hatna a külső erők eredője. Ez a tömegközéppont tétele.

30. Impulzustétel • A jobb oldalt másként átalakítva: • A pontrendszer teljes impulzusa: • Impulzustétel: egy pontrendszer teljes impul-zusának idő szerinti differenciálhányadosa megegyezik a rendszerre ható külső erők eredőjével:

31. Impulzusmegmaradás törvénye • A pontrendszer belső erői tehát nem változtatják meg a rendszer teljes impulzusát. • Az impulzustétel speciális esete az impulzusmegmaradás törvénye, amely kimondja, hogy egy zárt rendszer esetén, vagy ha a külső erők eredője 0 a rendszer teljes impulzusa időben állandó. I = const.

32. Ütközések • Az ütközések során általában két (v. több) objektum kerül nagyon rövid ideig tartó intenzív kontaktusba. • Az ütköző testeket egyetlen pontrendszernek tekintve elmondhatjuk, hogy az ütközés során a belső erők játszanak meghatározó szerepet, ezek azonban nem változtatják meg a rendszer teljes impulzusát.

33. Ütközések • Az impulzusmegmaradás törvénye még külső erők jelenlétében is jó közelítéssel teljesül, ha közvetlenül az ütközés előtti és utáni időpillanatokat hasonlítjuk össze. • ha Dt=0, akkor DI is elhanyagolható • Az ütközések tárgyalása során tehát általában érvényesnek tételezzük fel az impulzusmegmaradás törvényét.

34. Ütközések • Centrális ütközés: a két érintkező felületnek az ütközési ponthoz tartozó normálisa, az ütközési normális egybeesik a két pont tömegközéppontját összekötő egyenessel • Egyenes vagy ferde ütközésről beszélünk aszerint, hogy közvetlenül az ütközés előtt a két golyó sebességvektora egy egyenesbe esik vagy nem.

35. Ütközések • Az ütközés során a találkozó testek deformálódnak, majd az ütközés után vagy visszanyerik eredeti formájukat (rugalmas ütközés), vagy a deformáció tartós marad (rugalmatlan ütközés). • Ütközések általában bonyolult jelenségek!!! • Mi csak a transzlációs mozgást végző homogén golyók ütközésével foglalkozunk.

36. Tökéletesen rugalmas ütközés m1v1+m2v2 = m1u1+m2u2 • m1ésm2tömegű testek sebessége ütközés előtt: v1, v2 • ütközés után: u1 , u2

37. Egydimenziós rugalmas ütközés A másodikat osztva az elsővel:

38. Egydimenziós rugalmas ütközés • Speciális esetek: • m1= m2 akkor u1= v2 és u2= v1

39. Egydimenziós rugalmas ütközés • Speciális esetek: • m1= m2 akkor u1= v2 és u2= v1

40. m2 >>m1és v2 =0, akkor u2= 0, u1≈-v1 Ha az egyik test tömege jóval nagyobb mint a másik, akkor az gyakorlatilag mozdulatlan marad az ütközés során, míg a másik ugyanakkora sebességgel pattan vissza.

41. Tökéletesen rugalmatlan ütközés Ebben az esetben a deformáció az ütközés után tartósan megmarad, a testek összetapadva egy közös sebességgel együtt mennek tovább, u1 = u2 = u m1v1+m2v2 = (m1+m2)u

42. Ütközés A valóságos ütközések a rugalmas és rugalmatlan határeset közötti átmenetként értelmezhetők. A testek ugyan visszapattannak, de a deformáció egy része megmarad. Hogy a valós ütközés milyen mértékben közelíti a tökéletesen rugalmas ütközést, azt egydimenziós esetben az ún. ütközési együttható fejezi ki:

43. Ütközés • tökéletesen rugalmas ütközésnél 1, tökéletesen rugalmatlannál 0, egyéb esetben 1 > > 0. Abban a speciális esetben, ha m2 >> m1 (pl. fal), akkor , amelynek megnyilvánulásaként pl. egy pattogó labda egyre kisebb magasságra pattan fel, amíg végül megáll.

44. Az impulzusmomentum tétele Az i-dik tömegpontra vonatkozó mozgásegyenlet mindkét oldalát az ri helyvektorral balról vektoriálisan megszorozva: Forgatónyomaték:

45. Az impulzusmomentum tétele A jobboldalt átalakítva: Impulzusmomentum:

46. Az impulzusmomentum tétele Az összes i-re összegezve: ahol N jelöli a pontrendszer teljes impulzusmomentumát.

47. Az impulzusmomentum tétele • Ha a belső erők centrálisak, azaz a belső erők a tömegpontokat összekötő egyenesek irányába mutatnak, akkor a belső erők forgatónyomatékainak összege zérus. • Tekintsük két tömegpont egymásra kifejtett forgatónyomatékainak az összegét. A hatás-ellenhatás törvénye alapján Fij = -Fji,

48. Az impulzusmomentum tétele • Az impulzusmomentum tétele szerint ha a belső erők centrálisak, akkoregy pontrendszer teljes impulzusmomentumának idő szerinti differenciálhányadosa megegyezik a külső erők forgatónyomatékainak összegével.

49. Impulzusmomentum megmaradás tétele • Speciális eset: Egy zárt rendszer esetén, vagy ha a külső erők forgatónyomatéka zérus, akkor a pontrendszer teljes impulzusmomentuma időben állandó.

50. Merev testek mechanikája • Az olyan pontrendszereket, ahol a tömegpontok közti távolságok a mozgás folyamán nem változnak, merev testeknek nevezzük. • Egy merev test helyzetét 6 független adat határozza meg, azaz egy merev test szabadsági fokainak száma 3n helyett csupán s = 6. (n a tömegpontok száma.)