Fakulteti I shkencave te Aplikuara Dega: Makineri Industriale Viti akademik 2006/07

Fakulteti I shkencave te AplikuaraDega: Makineri IndustrialeViti akademik 2006/07 Matematika elementare Mesimdhenesi: Faton Merovci

Literatura [1] Isak Hoxha Matematika elementare ,Prishtine 2003 [2].Terry Wesner Harry Nustad Intermediate Algebra with Application [3] N.Braha, A.Shabani Permbledhje detyrash nga Matematika elementare, Prishtine 2006 [4] Faton Merovci Ligjerata dhe ushtrimet te publikuara ne www.fatonmerovci.com

Hyrje ne Bashkesi • Bashkesia • Kuptim Themelor • Ska perkufizim

Bashkesite • Radhitja e elemnteve ne bashkesi nuk eshte e rendesishme • A = {a, e, i, o, u} dhe • B = {e, o, u, a, i} jane dy bashkesi te njejta. • Ne bashkesi nuk preferohet te perseritet elemneti F = {a, e, i, o, a, u} ‘a’ perseritet.

Bashkesite numerike N = Bashkesia e numrave natyral = {1, 2, 3, …} Z = Bashkesia e numrave plote= {…,-2, -1, 0, 1, 2, …} • R = Bashkesia e numrave reale • Q = Bashkesia e numrave racional • C = Bashkesia e numrave kompleks

Disa shenime • Le te jete A = {a, e, i, o, u} atehere • Ne shenojme “‘a’ eshte element I ‘A’” si: • a  A • Ne shenojme “‘b’ nuk eshte element I ‘A’” si: • b  A • Shenim: b  A   (b  A)

Bashkesia univerzale dhe bashkesia boshe • Bashkesdia univerzale shenohet me ‘U’. • Bashkesia qe nuk ka asnje element quhet bashkesi boshe . Shenohet me  ose {}. • P.sh. {x | x2 = 4 dhe x eshte numer tek} = 

Diagrami I Venit • P.sh A = {a, e, i, o, u} A a i u e o

Bashkesite e Barabarta • Bashkesia ‘A’ eshte e barabarte me bashkesine ‘B’ atehere dhe vetem atehere nese te dy bashkesite i kane elementet e njejta. Nese bashkesite ‘A’ and ‘B’ jane te barabarta atehere shenojme: A = B. Nese bashkesite ‘A’ dhe ‘B’ nuk jane te barabarta shenojme A  B. • Me fjale te tjera mund te themi: A = B  (x, xA  xB) • P.sh. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 1, 2, 5}, C = {1, 3, 5, 4} D = {x : x  N  0 < x < 6}, E = {1, 10/5, , 22, 5} atehere A = B = D = E dhe A  C.

Numri kardinal I bashkesise • Numri I elementeve te nje bashkesie quhet numri kardinal I saj bashkesie. Le te jete ‘A’ ndonje bashkesi atehere numri kardinal I saj shenohet si |A| ose cardA. • P.sh. A = {a, e, i, o, u} then |A| = 5.

Nenbashkesia ( ang. Subset) • Bashkesia ‘A’ quhet nenbashkesi e bashkesise ‘B’ atehere dhe vetem atehere kur çdo element i bashkesise ‘A’ eshte gjithashtu element I bashkesise ‘B’. Ne mund te themi ‘A’ permbahet ne ‘B’ ose si ‘B’ e permban ‘A’. Kjo shenohet: • A  B or B  A. • Me fjale te tjera mund te themi: (A  B)  (x, x  A  x  B)

Nenbashkesia vazhdim… • Nese ‘A’ nuk eshte nenbashkesi e ‘B’ atehere kete e shenojme si A  B or B  A • P.sh. A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 3} dhe • C = {2, 4, 6} atehere B  A and C  A A B 5 C 4 1 3 2 6

Disa veti te bashkesive • Per çdo bashkesi ‘A’,   A  U • Per çdo bashkesi‘A’, A  A • A  B  B  C  A  C • A = B  A  B  B  A

Nenbashkesia e vertete(ang.Proper Subsets) • Nese A  B atehere eshte e mundur qe • A = B. • Themi se ‘A’ eshte nenbashkesi I vertete e bashkesise ‘B’ atehere dhe vetem atehere nese A  B and A  B. Dhe shenojme • A  B or B  A. • Me fjale te tjera mund te themi: (A  B)  (x, xA  xB  AB)

Nese A B B A

Bashkesia partitive (ang. Power set) • Bashkesia e te gjitha nenbashkesive te bashkesise ‘S’ quhet bashkesi partitive e bashkesise ‘S’. Kjo shenohet P(S) . P(S) = {x : x  S} • P.sh. A = {1, 2, 3} then P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} • Shenim |P(S)| = 2|S|. • P.sh |P(A)| = 2|A| = 23 = 8.

Komplementi (ang. Complement) • Komplementi I bashkesise A eshte bashkesia e te gjitha elementeve qe I takojne bashkesise Univerzale dhe nuk I takojne bashkesisa A. Shenohet Ac or Ā ose Á . • Ac = {x : xU  xA}

Diagrami I Venit per bashkesine A Pjesa e hijezuar eshte komplementi I A A Ac

- nioni A  B = {x : xA  xB} • P.sh A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5} A  B = {3, 5, 7, 2, 3, 5} = {2, 3, 5, 7}

Paraqitja e Unionit me diagramin e Venit • Unioni A  B A 7 B 5 3 2

Prerja() - Itersection A  B = {x : xA  xB} • P.sh. A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5} A  B = {3, 5}

Paraqitja e prerjes me diagramin e Venit A  B A 7 B 5 3 2

Diferenca A B = {x : xA  xB} • P.sh A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5} A B = {3, 5, 7} {2, 3, 5} = {7}

Diferenca A B A 7 B 5 3 2

Vetite • A  AB dhe B  AB • AB  A dhe AB  B • |AB| = |A| + |B| - |AB| • AB  BcAc • A B = ABc • Nese AB =  atehere themi ‘A’ dhe ‘B’ jane disjunkte.

Algjebra e Bashkesive • Ligji I Idempotentes • A  A = A • A  A = A • Ligji Asociativ • (A  B)  C = A  (B  C) • (A  B)  C = A  (B  C)

Ligji komutativ • A  B = B  A • A  B = B  A • Ligji distributiv • A  (B  C) = (A  B)  (A  C) • A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Ligjet e Identitetit • A  = A • A U = A • A U = U • A  =  • (Ac)c = A

Ligji I komplementit • A  Ac = U • A  Ac =  • Uc =  • c = U

Ligjet e De Morgan – it • (A  B)c = Ac Bc • (A  B)c = Ac Bc • Vertetojme se • (A  B)c = Ac Bc

Vertetimi x(AB)c  xAB  xA  xB  xAc  xBc  xAcBc  (AB)c  AcBc ()

xAcBc  xAc  xBc  xA  xB  xAB  x(AB)c  AcBc  (AB)c () ()  ()  (AB)c = AcBc

Detyra lidhur me bashkesite • Detyrat per ushtrime nga bashkesite jepen ne pjesen e veqante te pergatitura ne Word. • Me emrin • Ushtrimet nga Bashkesite

Fakulteti I shkencave te Aplikuara Dega: Makineri Industriale Viti akademik 2006/07