Többváltozós függvény fogalma

1. Gazdasági matematika II.AV_PNA202 Matematika II.AV_KMNA202, AV_TNA102TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK, TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FELTÉTELES SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁSA

2. Többváltozós függvény fogalma Amikor egy X: a1,a2,...,an bázissal adott vektortérbeli vektorokat bázistranszformáció segítségével leképzünk egy Y:b1,b2,...,bk bázisvektorú térbe, akkor a leképezést végző A: XY függvényt többváltozós függvénynek nevezzük

3. Többváltozós függvény fogalma Mi csak az X=Rn , Y=R esettelfogunk foglalkozni (többváltozós valós függvény). Jelölése: f: D (Rn) R, vagy y = f(x1,x2,...,xn) ill. y = f(x) (itt x n elemű vektort jelent) Példa: f: R2R,

4. 2) Euklidészi tér Az x és y vektorok belső szorzataRn –ben: n=2-re: (ez a középiskolában már megismert skaláris szorzat) A belső szorzattal ellátott Rnvektorteret n dimenziós Euklidészi térnek nevezzük. Segítségével definiálható: - egyvektor hossza : - két vektor távolsága : d(x,y) = x-y Az olyan teret, melyben két pont távolsága értelmezve van, metrikus térnek nevezzük.

5. 3) Szélsőérték, határérték, folytonosság Az x0Rn pont r sugarú nyílt (gömb)környezete G(x0,r)= xRn x-x0 r. Az f: D(Rn) R n változós valós függvénynek az x0D pontban helyi (lokális) maximuma van, ha az x0-nak valamely G(x0,r) környezetében f(x0)f(x) xDG(x0,r) Szigorú helyi maximum van x0-ban, ha xx0 esetén a  reláció áll fenn az előző egyenlőtlenségben.

6. Globális szigorú maximumról beszélünk, ha a fenti relációk nem csak x0 valamely környezetében, hanem az egész értelmezési tartományon fennállnak. Hasonlóképp értelmezhető a lokális / globális (szigorú)minimum is. Az f(x) n változós függvény határértéke az x0-ban y0, ha bármely lim m xm = x0 (ahol xmD\(x0)) sorozat esetén a függvényértékek f(xm) sorozata konvergál y0 -hoz. Jele: lim xx0 f(x) = y0

7. A folytonosság is az egyváltozós függvényeknél megismerthez hasonlóan vizsgálható. Az f(x) folytonos az x0D pontban, ha - x0 -ban értelmezve van, - létezik x0 -ban a határértéke és - a határérték megegyezik a helyettesítési értékkel.

8. 4) Parciális derivált, derivált függvény, deriválási szabályok, magasabbrendű derivált függvények DEF.: Az f: D (Rn) Rn változós valós függvény a(a1,...,an)D pontbeli xj változó szerinti parciális deriváltja a ha a határérték létezik. Az a pontbeli függvényérték változásának sebességét adja meg a j. változó irányában. Egyéb jelölések:

9. Az xj változó szerinti parciális derivált függvény olyan függvény, mely az f(x) n változós függvény értelmezési tartományából vett xD pontokhoz az (j=1,2,...,n) értékeket rendeli. Az f(x) függvény xj irányú változását jellemzi – a többi változó állandó értéken tartása mellett. Egy f(x) többváltozós függvény folytonosan deriválható egy D halmazon, ha annak minden aD belső pontjában léteznek a parciális deriváltak és a derivált függvények folytonosak.

10. Folytonosan deriválható parciális derivált függvények gyakorlati meghatározása: • Az xj-n kívüli változók - átmenetileg - konstansok • Deriválási szabályok: az egyváltozós függvényeknél megismert szabályokhoz hasonlók Például: Legyenek f(x), g(x) n változós, folytonosan deriválható függvények és cR. • h(x) = c f(x) xj szerinti deriváltjai (j=1,2,…,n) • h(x) = f(x)+g(x) xj szerinti deriváltjai (j=1,2,…,n)

11. A többváltozós függvény első- (másod-,...) rendű derivált függvényeinek parciális deriváltjait (amennyiben ezek léteznek) másod- (harmad) rendű parciális deriváltaknak nevezzük. Pl. f”xjxi(a) az f(x) függvény xi és xj változó szerinti másodrendű parciális deriváltja az a pontban: • i=j esetén tiszta másodrendű parciális deriváltnak • ij esetén vegyes másodrendű parciális deriváltnak nevezzük. Az f: D (Rn) R (kétszerfolytonosan deriválható) n változós valós függvény vegyes másodrendű parciális derivált függvényei egyenlők: minden i,j=1,...,n, ij és xD -re.

12. Példa: Adjuk meg az alábbi függvény első és másodrendű parciális derivált függvényeit (jelölje x és y a két változót) f(x,y)=10-3x2+y2-4x3y+ln(x2y3) f’x(x,y)= -6x-12x2y+2/x f’y(x,y)=2y-4x3+3/y f”xx(x,y)=-6-24xy-2/x2 f”yx(x,y)=-12x2 f”xy(x,y)=-12x2 f”yy(x,y)=2-3/y2

13. 5)Többváltozós függvény szélsőértékének meghatározása TÉTEL: A szélsőérték létezésének szükséges feltétele: Ha az f: D(Rn)R függvénynek az aD pontban lokális szélsőértéke van, és itt léteznek a parciális deriváltak, akkor ezek mindegyike nulla : j=1,...,n (1) (1)-ből viszont nem következik, hogy van a-ban szélsőérték. Ezért a parciális deriváltakból képzett homogén egyenletrendszer megoldásai adják a lehetséges szélsőérték helyeket,amelyek között lehetnek a tényleges szélsőérték helyek is.

14. A szélsőérték létezésének elégséges feltétele: A lehetséges szélsőérték helyek (Pl. a) behelyettesítésével készítsük el a i,j=1,2,…,n értékekkel a determinánst.

15. Ha az ezekből képzett D1=d11, D2= , ... sarokdeterminánsok előjele a vizsgált pontban • Dk(a)0 minden k=1,2,...,n esetén, akkor a-ban minimum • D10, D20, D30,... azaz váltakozó előjelűek az adott sorrendben, akkor a-ban maximuma van a függvénynek • Egyéb esetekben további vizsgálatokra van szükség. A szélsőérték nagyságát a helyettesítési érték, f(a) adja.

16. Speciálisan a kétváltozós függvényekre az elégséges feltétel: D2>0 esetén biztosan van szélsőérték, mégpedig D1=d11= f ”x1 x1 > 0 esetén minimum D1=d11= f ”x1 x1 < 0 esetén maximum van. Ezzel egyenértékű: D2= f ”x1 x1 f ”x2 x2 –(f ”x1 x2 )2 > 0 esetén van szélsőérték mégpedig f ”x1 x1 > 0 esetén minimum f ”x1 x1 < 0 esetén maximum D2 < 0 esetén biztosan nincs szélsőérték D2 = 0 esetén további vizsgálat szükséges.

17. Példák 1) f(x,y,z)=x4-32x-2y3+8y+4z2+4yz szélsőértékének meghatározása Szükséges feltétel: f’x(x,y,z)=4x3-32=0 f’y(x,y,z)=-6y2+8+4z=0 f’z(x,y,z)=8z+4y=0 Az első egyenletből x=2 A harmadikból 4z=-2y, ezt a második egyenletbe helyettesítve -6y2-2y+8=0, ahonnan y1=-4/3, y2=1 z=-1/2y így z1=2/3, z2=-1/2 A lehetséges szélsőérték helyek: a1(2,-4/3,2/3), a2(2,1,-1/2)

18. Elégséges feltétel: f”xx(x,y,z)=12x2 f”xy(x,y,z)=0 f”xz(x,y,z)=0 f”yy(x,y,z)=-12y f”yz(x,y,z)=4 f”zz(x,y,z)=8 a1(2,-4/3,2/3)-re: D1=48 D2= D3= Mivel minden sarokdetermináns pozitív, minimum van az a1 helyen A minimum értéke f(2,-4/3,2/3)= -65 5/27 a2(2, 1, -1/2)-re: D1=48 D2= D2 nem lehet negatív, ezért az a2 helyen nincs szélsőérték

19. 2) f(x,y)=x4+y4+1 szélsőértékének meghatározása Szükséges feltétel: f’x(x,y)=4x3=0 x=0 f’y(x,y)=4y3=0 y=0 Lehetséges szélsőérték hely: a(0,0) Elégséges feltétel: f”xx(x,x)=12x2 f”xy(x,y)=0 f”yy(y,y)=12y2 a(0,0): D1=0, D2=0 De itt van szélsőérték, mégpedig minimum. A minimum értéke f(0,0)=1

20. 3.) V térfogatú téglatest formájú tároló milyen élhosszak mellett készíthető el a legolcsóbban, ha homlokzata „a”, egyéb oldalfalai „b”, teteje pedig „c” eFt-ba kerül négyzetméterenként? Jelentse x a homlokzat, y az oldallapok hosszát, z a magasságot. A költségfüggvény: K=axz+bxz+2byz+cxy (x,y,z>0) A térfogat V=xyz képletéből z-t kifejezve és a költségfüggvénybe írva K(x,y)=(a+b)V/y + 2bV/x + cxy K’x(x,y)= -2bV/x2 + cy=0 K’y(x,y)= -(a+b)V/y2 + cx=0 2bV=cyx2 (a+b)V=cxy2

21. A két egyenletet egymással osztva y=((a+b)/2b) x , majd Pl. V=30m3, a=2eFt/m2, b=1eFt/m2, c=5eFt/m2 esetén x=2m, y=3m, z=5m Könnyen ellenőrizhető a második deriváltakkal, hogy itt minimum van. K(x,y) megadja a minimum értékét.

22. 1) A feltételek egyenlőségek Lagrange módszer Úgy keressük az f(x), xD(Rn) n-változós függvény szélsőértékét, hogy egyidejűleg a gi(x)=0 (i=1,2,...,m) formában adott egyenlőségek is teljesüljenek. Lagrange féle multiplikátorok módszere (szükséges feltétel): Ha az f(x) függvénynek feltételes szélsőértéke van az „a” pontban, akkor az f(x) függvényből, a gi(x)=0 feltételekből és a λi skalárokból (a Lagrange-multiplikátorokból) képzett F(x)= f(x)+ ∑i=1m λi gi (x) Lagrange függvény összes parciális deriváltja zérus lesz az „a”-ban: F’xi(a)=0 (i = 1,2,...,n)

23. Fordítva viszont nem igaz az állítás. Ezért az f(x) függvény feltételes szélsőérték helyeit az alábbi n+m egyenletből álló egyenletrendszer megoldásai között kell keresni: F’xi(x)= 0 (i = 1,2,...,n) gi(x) = 0 (i = 1,2,...,m) A kapott lehetséges szélsőérték helyek közül logikai/szakmai meggondolásokkal választjuk ki a tényleges szélsőérték helyeket. Ezeket az f függvénybe helyettesítve kapjuk a feltételes szélsőértékeket.

24. Példa: Határozzuk meg az f(x, y) = x + y függvény szélsőértékhelyét, ha x2 + y2 = 4. Megoldás. Felírjuk a Lagrange-függvényt: L(x, y, ) = x + y +  · (x2 + y2 − 4). Ezek után az elsőrendű parciális deriváltak: L’x = 1 + 2x, L’y = 1 + 2y, L’ = x2 + y2 − 4.

25. A deriváltakat egyenlővé tesszük nullával: 1 + 2x = 0, 1 + 2y = 0, x2 + y2 − 4 = 0. Szorozzuk meg az első egyenletet y-nal, a másodikat x-szel, majd vonjuk ki egymásból a két egyenletet. Az eredmény: x = y. Ezt helyettesítjük az utolsó egyenletbe. A másodfokú egyenlet megoldásaként a ( , ) és (− ,− ). A megfelelő szélsőértékek rendre: 2 és −2 .

26. Példák: • Egy 36 dm2 területű, téglalap formájú lemezből maximális térfogatú, egyenes hasáb formájú etetőt készítünk. Milyenek legyenek a lemez oldalai? Mekkora szélességű sáv felhajtásával készíthető a kívánt etető? Jelölje x,y a lemez oldalait, z a felhajtás méretét! V(x,y,z)=(x-2z)(y-2z)z maximumát keressük xy-36=0 (xy=36) feltétel mellett A Lagrange függvény: F(x,y,z, λ)=(x-2z)(y-2z)z +λ(xy-36) Innen F’x(x,y,z)= yz-2z2+ λy=0 F’y(x,y,z)= (x-2z)z+ λx=0 F’z(x,y,z)= -2(yz-2z2)+(x-2z)(y-4z)=0 xy=36

27. Ebből a lehetséges szélsőértékhelyek (x,y,z>0 mellett): a1(6,6,3) és a2(6,6,1) • a1(6,6,3) helyen a szélsőérték V(6,6,3)=0 dm3, ami a függvény feltételes minimuma, • a2(6,6,1) helyen a szélsőérték V(6,6,1)=16 dm3, ami a függvény feltételes maximuma A feltétel, xy=36 mindkét esetben teljesül.

28. 2. Az f(x1,x2,x3)=x12+3x1x2+2x22+4x1+0.5x32+12 függvénynek hol van szélsőértéke, ha a változókra adott feltételek x1+x2+x3=4 és x1-x3=2 Az egyszerűbb írás miatt használjuk x,y,z-t változókként! A Lagrange függvény: F(x,y,z,λ1,λ2)=x2+3xy+2y2+4x+0,5z2+12+λ1(x+y+z-4)+λ2(x-z-2) A 3+2 egyenletből álló homogén egyenletrendszer: F’x(x,y,z,λ1,λ2)=2x+3y+4+ λ1+λ2=0 F’y(x,y,z,λ1,λ2)=3x+4y+ λ1 =0 F’z(x,y,z,λ1,λ2)= z+ λ1 -λ2=0 g1(x,y,z)= x + y+ z-4 =0 g2(x,y,z)= x - z-2 =0 Az egyenletrendszer megoldása: a(4,-2, 2) Itt minimuma van a függvénynek: f(4,-2, 2)=30 A feltételek is teljesülnek.

29. 2) A feltételek egyenlőtlenségek Induljunk ki az alábbi feladatból: mely termékekből mennyit termeljen egy vállalkozás a rendelkezésre álló erőforrások működtetésével, hogy a legnagyobb eredményt (árbevételt, jövedelmet) érje el. Az ehhez szükséges optimális termékszerkezetet keressük. Pl.: Két termék 1-1 darabjának előállításához szükséges erőforrások (nyersanyag, élő munka, gépi munka): az elsőhöz 3; 4; 2egység, a másodikhoz 2; 0; 4egység. Ezekből összesen felhasználható 18; 16; 24 egység(kapacitás). A termékeken a fajlagos jövedelmek 4 ill. 2 eFt/db. Hány darab készüljön a termékekből, hogy - a rendelkezésre álló kapacitásokat ne lépjük túl (feltételek) - az összes jövedelem maximális legyen (szélsőérték).

30. Jelölje x1, x2 a termékek mennyiségét A matematikai modell: - A korlátozó feltételek: x1, x20 egyik termék száma sem lehet negatív 3x1+2x218 nyersanyagra 4x116 élő munkára 2x1+4x224 gépi munkára - A függvény, melynek a szélsőértékét keressük: z=4x1+2x2=max célfüggvény Ezen feltételes szélsőérték feladatnál tehát úgy keressük az - un. cél - függvény szélsőértékét, hogy egyidejűleg az egyenlőtlenségek formájában adott feltételek is teljesüljenek.

31. Ha az alábbi jelöléseket használjuk: ahol - x a program vektor - A a technológiai mátrix (egységnyi termékhez szükséges erőforrás) - c a fajlagos eredmények vektora (Pl. egységnyi termék ára) -b a kapacitás ( a felhasználható erőforrások mértéke) akkor a matematikai modell az alábbi rövidebb formában is írható: Az ilyen feladatok a matematikai programozás tárgykörébe tartoznak.

32. Ha a változók mindenütt első fokon szerepelnek, akkor lineáris programozásról vagy LP feladatról beszélünk. Mi a következő esetekkel foglalkozunk: • 2 változós LP feladat: megoldása grafikus módszerrel • 2-nél több változós LP feladat: megoldás szimplex módszerrel

33. A. Grafikus módszer A megoldás lépései: • Ábrázoljuk az x1, x2 tengelyű Descartes koordináta rendszerben a feltételeket. Írjuk az egyenlőtlenségeket tengelymetszetes alakba. A feltételek által kijelölt tartomány közös pontjai – ha léteznek – adják a lehetséges megoldások L halmazát.

34. Egy halmaz konvex, ha bármely két pontjával, az azokat összekötő szakasz pontjait is tartalmazza. L-nek ilyennek kell lenni. Extremális vagy sarokpontoknak nevezzük egy halmaz azon pontjait, melyek nem belső pontjai egyetlen, halmazban levő szakasznak sem (pl. ábránkon az O(0,0), A(4,0), P(4,3) pontok)

35. További lépések: • Ábrázoljuk a célfüggvényt néhány értékénél, pl. 12, 16-nál! Mindig párhuzamos, de nagyobb függvényérték esetén az origótól távolabbi egyenest kapunk. • Toljuk el egy kiválasztott célfüggvény képét az origótól legtávolabbi olyan távolságba, amikor még van közös pontja az L halmazzal. A kapott közös pont(ok) koordinátái, adják a feladat megoldását (a maximum helyet). • Amegoldás vektor koordinátáit a közös pontot meghatározó feltétel egyenletek egyenletrendszerként való megoldásával kapjuk.

36. A megoldások lehetséges száma • egy, ha csak egy közös pont van • végtelen sok, ha az eltolt célfüggvény egyenes egybeesik L valamely határoló egyenesével • nincs megoldás, ha L üres halmaz, vagy nem korlátos konvex halmaz • A célfüggvénybe helyettesítve számíthatjuk ki a célfüggvény maximumának értékét. Ellenőrizzük a kapacitások kihasználtsági szintjét!

37. Másik típus: minimum számítási feltételes szélsőérték Példa: Két takarmány fajlagos táplálóanyag tartalmát és ezekből egy állat napi szükségleteit (Pl. kJ-ban) a táblázat tartalmazza: Megnevezés Takarm.1 Takarm.2 Napi szüks. tápanyag.1 2 1 6 tápanyag.2 2 4 12 tápanyag.3 0 4 4 . Fajl.ktg(Ft/kg) 5 6 Mennyit adjunk az egyes takarmányokból, hogy - a napi szükséglet az egyes tápanyagokból biztosítva legyen - a takarmányozási költség a legkisebb legyen

38. A matematikai modell: • A korlátozó feltételek: Egyik mennyiség sem lehet negatív x1,x20 Tápanyag1-re 2x1+x26 Tápanyag2-re 2x1 +4x212 Tápanyag3-ra 4x24 A függvény, melynek a szélsőértékét keressük: • Célfüggvény z=5x1+6x2=min A feladat grafikus módszerrel megoldható, a megoldás az ábráról leolvasható.

39. B. Szimplex módszer A szimplex módszer a bázistranszformációt alkalmazva a változókhoz az extremális pontok koordinátáit rendeli olyan sorrendben, hogy a célfüggvény értéke ne csökkenjen. A feladat matematikai modellje: x,b 0 gazdasági feladatoknál teljesül! Ax  b z(x)=c’x=max Az ilyen feladat neve: normál feladat Ax  b -t egyenlőséggé alakítjuk  Ax+u = b, ahol u 0 Az uhiányváltozók (u=b-Ax) megadják az aktuális x program esetén még megmaradó erőforrásokat.

40. Először az induló szimplex táblát készítjük el: Ezen a táblán végezzük a bázistranszformációt. A tábla bal oldalán: • A programba vont változók jelei: induláskor u, később x is • A célfüggvény negatívjának jele A tábla jobb oldalán: • A programban levő változók értékei • A célfüggvény negatívjának értéke Induláskor: x=0, u=b, z=0

41. A megoldás lépései: 1. generáló elemet választunk a legnagyobb célfüggvény együttható oszlopából (z gyorsan nőjön) maxcj aij j. oszlopból 2. generáló elem csak pozitív szám lehet: aij0 3. szűk keresztmetszetnél választunk generáló elemet: minibi / aij i. sorbeli elem a j. oszlopból így nem használunk a meglevőnél többet a kapacitásokból 4. Elvégezzük az elemi bázistranszformációt (a bázisból kikerülő vektor koordinátáit is megadjuk az új bázisra) Az 1-4 lépéseket ismételjük, amíg van pozitív elem a célfüggvény sorában

42. 5.Különben leolvassuk a megoldást: • x: az optimális programban levő változók értéke • u: a fel nem használt kapacitások értéke • z: a célfüggvény optimális értéke

43. Példák: • Oldjuk meg szimplex módszerrel a korábbi, grafikus módszerrel már megoldott feladatot! Figyeljük meg az egyes transzformációs lépésekhez tartozó extremális pontokat, a szélsőérték alakulását! x=0 → „O” pont u’=(18, 16, 24) z=0 x’=(4, 0) → „A” pont u’=(6, 0, 16) z=16

44. x’=(4, 3) → „P” pont u’=(0, 0, 4) z(4,3) =22 optimális tábla, maximum Szimplex módszer: zO<zA<zP

45. 2) Négy növény termesztéséhez szükséges fajlagos (1 ha-ra eső) munkaerő és gép szükséglet 2; 2; 2; 0 ill. 0; 1; 0; 1 egység. A rendelkezésre álló kapacitás ezen erőforrásokból 60 ill. 40 egység. A növények fajlagos jövedelme 10; 10; 6; 4 eFt/ha. Milyen területen termeljük a növényeket, ha • A munkaerő és gép kapacitásokat nem léphetjük túl • Maximális jövedelmet szeretnénk elérni Az induló tábla: x=0 u’=(60, 40) z=0

46. Az első transzformáció után: x’=(30; 0; 0; 0) u’=(0; 40) z= 480 A második transzformáció után: x’=(30; 0; 0; 40) u’=(0; 0) z= 640 maximum A célfüggvény sorában nincs pozitív szám, a tábla optimális, a feltételek teljesülnek (100%-os erőforrás kihasználtság) a tábla belsejében a felesleges értékeket már nem számoltuk ki)

47. További példák 1. Elosztási feladatok xij 0 j xij = ti 0 (i= 1,…,m) i xij = rj 0 (j= 1,…,n) i ti = j rj ij cijxij = min Ide tartozik a klasszikus szállítási feladat: • m számú Fi feladóhelyen ti mennyiségű homogén termék (pl. szén, tégla, cukorrépa, üres vasúti kocsi, stb) • n számú Rj megrendelőnek rj mennyiségű igénye az adott termékből / szolgáltatásból • a kínálat és a kereslet egyenlő Milyen minimális költség mellett lehet a feltételek mellett az igényeket kielégíteni, ha • xij az i. feladótól a j. megrendelőhöz szállítandó mennyiség • cij a fajlagos szállítási költség

48. A matematikai modell: x11+x12+x13+x14 =50 x21+x22+x23+x24 =40 x31+x32+x33+x34 =30 x11 +x21 +x31 =40 x12 +x22 +x32 =10 x13 +x23 +x33 =60 x14 +x24 +x34 =10 600x11+400x12+ +100x34 =min

49. Az Excel megoldás:

50. 2. Pénzügyi termékválaszték modell Egy cég egy negyedévben kétféle terméket állít elő három megmunkálógépen. Ismert a fajlagos gépigény, a gépkapacitás valamint a termékek egységára ill. termelési költsége. A termelés pénzügyi fedezetéhez felhasználható • a cég saját 700 eFt-ja • max 300 eFt banki kölcsön, 5%-os negyedévi kamatra Kérdések: • Mennyit termeljen a termékekből és mennyi kölcsönt vegyen fel a cég, hogy a termelés hozama a lehető legnagyobb legyen? • Mennyi a termelés összes pénzszükséglete?