第九章数控系统插补（ CNC 系统）

第九章数控系统插补（CNC系统） 9.1 控制刀具运动轨迹的插补原理 9.2 刀具补偿（Tools compensation）

9．1 控制刀具运动轨迹的插补原理 1．概念插补和插值英文单词相同Interpolation 插补：对于给定的数学模型，并已知起点和终点坐标，确定其中间点的位置的过程。插补也简称为在起终点间进行数据密化的过程。插补算法：实现完成插补过程的计算步骤。插补算法种类：逐点比较插补法 a)硬件插补（通过插补器）数字积分（DDA）插补法比较积分插补法上一页章目录下一页

标准插补法(略） b）软件插补基于时间分割插补法硬件插补的结果：表现为脉冲数目的输出；软件插补的结果：表现为多坐标方向及角度方向的增量，如△X，△Y，△Z，△Qa，△Qb，△Qc。插补功能直线插补圆弧插补其他二次曲线（抛物线、摆线、渐开线）插补上一页章目录下一页

1．逐点比较插补法。 1）思路：每走一步都要和给定轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨迹的上方或下方（或给定轨迹的里面或外面），从而决定下一步的进给方向，使之逼近加工轨迹。 2) 约定： a.位置坐标取脉冲当量数； b.将直线起点和圆弧的圆心假定为坐标系的原点（相对坐标系）； c.可通过坐标平移变换达到插补坐标与实际位移统一； d.每次采取单步进给（插补结果每次以一个脉冲输出，或X，或Y，或Z）. 上一页章目录下一页

Y Me ( Xe,Ye ) 3）插补步骤（四个节拍） a. 偏差判别 b. 坐标进给 c. 新偏差计算 d. 终点判别 4）直线插补直线插补的偏差函数 F=Yi Xe - Xi Ye tgаi =Yi/Xi tgаo =Ye/Xe 若tgаi> tgаo则Yi/Xi> Ye/Xe Mi ( Xi,Yi ) 看图请单击 Mi ( Xi,Yi ) ai a0 0 X 上一页章目录下一页

因此，若 Yi Xe - Xi Ye > 0则Mi在直线上方 同理： Yi Xe - Xi Ye < 0则Mi在直线的下方 ≥0 下一步沿+X方向进给 Fi+1, j 所以 Fi,j <0 下一步沿+Y方向进给 Fi,j+1 Fi+1 , j = Yi Xe - Xi +1Ye= YiXe – (Xi+1)Ye = Yi Xe - Xi Ye-Ye =Fi ,j -Ye……..(1) 同理：Fi , j+1= Fi ,j+Xe……………………..(2) 终点判别总脉冲数 n=| Xe | + | Ye | 上一页章目录下一页

例：插补一条直线，起点（1.5,2.5）,终点（2,3.1）假设步进脉冲当量 0.1mm/pulse，试用逐点比较法来计算中间的插补过程。 F=10mm/min N01 G00 X1.5 Y2.5 LF N02 G01 X2 Y3.1 F10 LF 解：（1）进行坐标平移变换，且化为脉冲当量数 Me Xe=（2-1.5）/0.1=5(pulse) Ye= (3.1-2.5) /0.1=6(pulse) n=|Xe|+|Ye|=5+6=11(pulse) M0(0,0) Me(5,6) 上一页章目录下一页

(2) 进行插补计算 n=11 1) F=0， +X， F=0-6= -6， 10 2) F〈0，+Y， F= -6+5= -1， 9 3) F〈0，+Y， F= -1+5=+4 ， 8 4) F〉0，+X， F=+4-6=-2， 7 5) F〈0，+Y， F= -2+5=+3， 6 6) F〉0，+X， F=+3-6=-3， 5 7) F〈0，+Y， F= -3+5=+2 ， 4 8) F〉0，+X， F=+2-6=-4， 3 9) F〈0，+Y， F= -4+5=+1， 2 10) F〉0，+X， F=+1-6=-5 ， 1 11) F〈0，+Y， F= -5+5=0 ， 0 看图上一页章目录下一页

Y(pulse) Me（5，6） 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 X(pulse) 返回章目录

5 ) 圆弧插补： I.顺、逆圆弧判断：沿着垂直于加工平面的第三轴负方向观察圆弧，若走刀为顺时针方向，则为顺圆，用CLW表示；反之为逆圆，用CCLW表示。 II.圆弧插补代码 G02 顺时针方向圆弧插补指令 G03 逆时针方向圆弧插补指令上一页章目录下一页

在水平导轨车床车削，圆弧顺、逆与习惯相反 在倾斜导轨车床车削，圆弧顺、逆与习惯相同 Y Z -Y X 顺圆上一页章目录下一页

Xi2+Yi2=X02+Y02=R2 (圆方程) 若 Xi2+Yi2- R2=0 则Mi点在圆上， Xi2+Yi2- R2＞0 则Mi点在圆外， Xi2+Yi2- R2＜0 则Mi点在圆内，偏差计算公式为： F= Xi2+Yi2- R2 Y M0（X0，Y0） Mi（Xi，Yi） R Me（Xe，Ye） X 上一页章目录下一页

≥0 Mi点在圆外（或圆上），-Y进给一步 若F ＜0 Mi点在圆内， +X进给一步公式推导 F≥0 -Y进给 Fi, j+1=Xi2+Yj+12-R2 = Xi2+(Yj-1)2-R2 = Xi2+ Yj2-2Yj+1-R2 = Fi, j-2Yj+1 上一页章目录下一页

F<0 +X进给 Fi+1 , j = X2i+1+ Yj2 -R2 =（Xi+1）2+Yj2-R2 = Xi2+ 2Xi+1+ Yj2-R2 = Fi , j+2Xi+1 新的偏差函数为 F-2Y+1 （-Y进给） F= F+2X+1 （+X进给）上一页章目录下一页

Y Ⅰ象限逆圆 CCLW F=Xi2+Yj2-R2 ≥0 -X F= <0 +Y R 0 X 上一页章目录下一页

F+2Y+1 公式推导 Fi+1 , j=（Xi-1）2+Yj2-R2 =Fi,j- 2Xi+1 同理 Fi , j+1= Fi , j+2Yj+1 F-2X+1 (F≥0,- X进给 ) F= （F<0,+Y进给）上一页章目录下一页

Ⅰ象限顺圆 CLW 上一页章目录下一页

Ⅰ-Ⅳ象限顺圆 CLW 上一页章目录下一页

+Y Y b）抛物线逐点比较法的建立（第Ⅰ象限） Y2=2PX （Y>0） ≥0，+X F= Y2-2PX <0，+Y Fi+1,j=Yj2-2P(Xi+1) = Yj2-2PXi-2P = Fi,j-2P Fi,j+1=(Yj+1)2 -2PXi = Yj2-2PXi+2 Yj +1 = Fi,j+2Yj+1 +X O X 上一页章目录下一页

数字积分插补法（DDA法） （Digital Differential Analyzer）基本思想：用数字累加来代替积分 ∫ ∑ 矩形公式、梯形公式设有一函数Y=f（X）如图需求出曲线下的面积。 F(x) Y 单击 O X 上一页章目录下一页

Y M(Xe , Ye) DDA直线插补法：若如右图，第一象限的一条直线 Y=KX K=tgα= 对t求导，得 a X 上一页章目录下一页

ΔY=KyeΔt 增量形式 ΔX=KXeΔt ΔY=KyeΔt 全量形式 X= Δt 上一页章目录下一页

把Δt设为一个触发脉冲 则 ΔX=KXe ΔY=Kye 用两个累加器，根据Δt触发脉冲的情况分别求出ΔX，ΔY ΔX 看图单击 Δt 发生溢出时就有信号输出（ΔX或ΔY）（数字积分器） ΔY 上一页章目录下一页

ΔX、Δy溢出的有关说明： 1)溢出快慢与选取的累加器的容量2n的大小有关； 2)溢出快慢与被积函数Kxe，Kye的大小也有关； 3) ΔX、ΔY不再按单步进给，可能有同时进给的现象发生； 4)累加次数m1=m2=2n（容量）（m1为xe的累加次数；m2为ye的累加次数）上一页章目录下一页

设累加m次应到达终点。 所以 Km1= Km2=1m1= m2 ΔX≤1 KXe=K(2n-1) ≤1 ΔY≤1 KYe=K(2n-1) ≤1 所以 K≤1/2n-1 取K=1/2n 上一页章目录下一页

总结（3条） ΔX=KXeΔt=Xe 1) ΔY=KyeΔt=Ye ΔX Δt 2） ΔY 上一页章目录下一页

K=1/2n 3） Q=2n（累加器的容量）（2n-1） m=Q= 2n 例：用DDA法插补（0，0）（7，4）的一条直线解：（1）将坐标二进制化 7=（111）2B 4=（100）2B 由此至少选n≥3的数字积分器。取n=3 m=23=8 上一页章目录下一页

注意：最后一步必须同时溢出 看图上一页章目录下一页

Y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 X 返回章目录

Y 2 ) DDA圆弧插补法圆方程（以逆圆为例） X2+Y2=R2 X2+Y2-R2=0 对t求导逆圆 B(Xe,Ye) 顺圆 Vy Vx Vy Pi(Xi,Yi) Vx 看图请单击 Vy 逆圆 Vx A(X0,Y0) 0 X 上一页章目录下一页

顺圆时增量形式 VY=-KX ΔY=-KXΔt=-X VX=KY ΔX=KYΔt=+Y （4—15）逆圆上一页章目录下一页

逆圆时 VY=KX ΔY=X VX=-KY ΔX=-Y 按（4-15）式，圆弧插补与直线插补相似，也可以用两套数字积分器来实现。上一页章目录下一页

ΔX 看图单击对第Ⅰ象限CLW（顺圆）DDA法： -1 X方向 Δt Y方向 ΔY +1 上一页章目录下一页

a）加、减1修正（m1≠m2≠2n） X= Y= b）终点判据若X=Xe，则停止X方向的累加； Y=Ye，则停止Y方向的累加。最后一次进给可能不一定同步。误差分析：法向方向误差不会超过一个脉冲当量。数字积分法圆弧插补计算过程，对于不同象限圆弧的不同走向都是相同的，只是溢出脉冲的进给方向为正或为负，以及被积函数Xi， Yi是进行“加1修正”或“减1修正”有所不同而已。具体情况见P86表4-3 上一页章目录下一页

圆弧插补积分器与直线插补器的差别： a） X坐标值（Xi）累加的溢出脉冲作为Y轴的进给脉冲；而Y轴坐标值（Yi）累加的溢出脉冲作为X轴的进给脉冲； b）X.Y坐标的函数值寄存器的内容是变化的（作加、减1修正）； X= ， Y= c）两坐标不一定同时到达终点。当X=| Xe-X0|，Y=| Ye-Y0|时，停止插补。上一页章目录下一页

讨论： 逐点比较法和DDA法对插补速度v的影响 1、逐点比较法对插补速度v的影响 fg=fx+fy+fz 在2维坐标系中 VX=60 fxδX（δX 为X方向脉冲当量） VY=60 fYδY （δy为Y方向脉冲当量）设：δX =δY=δ，fg=fx+fy 上一页章目录下一页

合成速度V插 当fx=1/2 fg时 V插=30×21/2δfg=Vmin 当fx=0或fx=fg V插=60δfg=Vmax 上一页章目录下一页

由上可知： 当加工与轴线成450的直线时，V插最小当加工与轴线成平行的直线时，V插最大 V插=（1~1.414）V虚拟若工艺进给速度为V0=60δfg V=（0.707~1）V虚拟上一页章目录下一页

V/Vg 一般情况下速度变化不会太大，能满足要求 1 0.707 0 26.560 450 63.440 900X 上一页章目录下一页

4 基于时间分割的插补法： 适用于二坐标两联动直线和圆弧插补运算，三坐标三联动直线插补。设进给速度为F或（V0），插补周期T插。基本思想：用若干微小直线段L=FT插（um）来逼近加工轮廓曲线。 V插≈V0 （V0为进给速度）近似逼近的精度（误差）为拱高误差（即径向误差） T为插补周期；F为刀具速度指令；R为圆弧半径。上一页章目录下一页

Y 计算对象Δxi ，ΔYi : 分为两步: a）准备阶段为了节省时间，将在插补过程中仅需要计算一次的常量先计算出来 b) 再计算Δxi ，ΔYi具体循环插补尺寸。 eK A B R 0 X 上一页章目录下一页

Δxi=L·Cosθ b）增量位移 ΔYi=Δxi·K Y Me(Xe , Ye) （1）直线插补：已知进给速度F和插补周期T a) 准备阶段：计算斜率K 0 X 上一页章目录下一页

xi= xi-1+Δxi Yi= Yi-1+ΔYi 坐标位移 Y Mi-1(Xi-1,yi-1) Yi-1 （2）圆弧插补 ① 准备阶段： a δ a Yi θ Mi(Xi,yi) 0 Xi-1 Xi X 上一页章目录下一页

5. 三坐标联动直线插补 三坐标联动的进给速度为合成进给速度f，是指刀具相对于工件的合成进给速度。由于合成量在三个坐标轴之间的分量不同，但插补时各坐标均应同时以各自对应的速度移动，以保证三坐标同时达到预定的值。插补时先计算出最长轴分量进给值。假如最长轴为ΔX，其余两轴的分量分别是ΔY、ΔZ。即：如图上一页章目录下一页

Z PYZ PZX PXYZ ß 0 Y a PXY X 返回章目录

9.2 刀具补偿（Tools compensation） 刀具补偿刀具半径补偿：要求数控系统根据工件轮廓程序和刀具中心偏移量，自动计算出刀具中心轨迹. 沿着刀子前进方向看，若刀具处在工件左侧，为左偏（G41）。沿着刀子前进方向看，若刀具处在工件右侧，为右偏（G42）。上一页章目录下一页

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